5.9 弧长及扇形的面积&5.10 圆锥的侧面积-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

第五章圆 9 弧长及扇形的面积 (教材P53-P56内容) ~基础夯实 知识点二扇形面积公式 知识点一弧长公式 4.一个扇形的弧长是10πcm,其圆心角是 1.(朝阳中考)如图，四边形ABCD内接于 150°，此扇形的面积为 () ⊙O,若∠C=120°，⊙O的半径为3，则BD A.30πcm2 B.60πcm2 的长为 C.120πcm D.180πcm2 A.元 B.2π C.3π D.6π 【变式】一个扇形的半径是3，面积为6π，那么这 个扇形的圆心角是 () A.260° B.2409 C.140° D.120° 5.在一次手工制作中，小颖将长为16cm的铁 丝首尾相接围成半径为4cm的扇形，则此扇 第1题图 第2题图 形的面积为 cm2 2.[教材P55习题5.16T2变式]某校在社会实 践活动中，小明同学用一个直径为30cm的 定滑轮带动重物上升.如图，滑轮上一点A A(B) 绕点O逆时针旋转108°，假设绳索（粗细不 计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 6.（内蒙古中考)如图，正方形ABCD的边长为 2,对角线AC,BD相交于点O,以点B为圆 A.6πcm B.9πcm 心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延 C.12元cm D.15πcm 长线于点E,则图中阴影部分的面积为 3.(镇江中考)如图，扇形OAB的半径为1，分 别以点A,B为圆心，大于2AB的长为半径 画弧，两弧相交于点P,∠BOP=35°，则AB 的长l= (结果保留π) 第6题图 第7题图 知识点三求阴影部分的面积 7.(青海中考)如图，正方形ABCD的边长是 4,分别以点A,B,C,D为圆心，2为半径作 第3题图 变式图 圆，则图中阴影部分的面积是 .(结 【变式】（济宁微山县一模）如图，一条公路的转 果保留π) 弯处是一段圆弧（弧AB),点O是这段弧所 8.(绥化中考)如图，⊙O的半径 在圆的圆心，连接OA,OB,AB,点C是 为2cm,AB为⊙O的弦，点C AB的中点，连接OC并延长交弧AB于点 .0 为AB上的一点，将AB沿弦 D.若AB=2,CD=2-√3，则弧AB的长是 AB翻折，使点C与圆心O重 ( 合，则阴影部分的面积为 (结果保 B.π C D. 留π与根号) 3 人们对π的研究随着时代一起更新.目前，圆周率已经算到了小数点后超过30万亿位.圆周率有很多 种计算方法，每位科学家都有自己独特的方法计算这串“充满想象的数字”.（待续） 163 练测考九年级数学全一册L小 9.(重庆中考)如图，在矩形ABCD中，AB=2, 14.（枣庄中考)如图，AB为⊙O的直径，点C BC=4,E为BC的中点，连接AE,DE.以E为 是AD的中点，过点C作射线BD的垂线， 圆心，EB长为半径画弧，分别与AE,DE交于 垂足为E 点M,V.则图中阴影部分的面积为 (1)求证：CE是⊙O的切线； (结果保留π) (2)若BE=3,AB=4,求BC的长； (3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积。 (用含有π的式子表示) 第9题图 第10题图 10.如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若 AB=4,AD=3,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留π) 易错点悟 错用弧长或扇形面积公式导致 出错 11.(金昌中考)若一个扇形的圆心角为60°，面积 为管cm,则这个扇形的孤长为 cm. (结果保留π) ~能力提升 12.(淄博模拟)如图，四边形 ABCD内接于圆，∠ABC= 110°，BAD的长度为5π， ~素养培优 BCD的长度为7π，则ADC 15.(潍坊寿光市模拟)如图，点A1的坐标为 的长度为 (1,0),过点A1作x轴的垂线交直线l:y= 11 22 x于点B1,以原点O为圆心，OB1的长为 A.3π B.3π 半径画弧交x轴正半轴于点A2,再过点A? C.7π D.8π 作x轴的垂线交直线l于点B2,以原点O 13.(通辽中考)如图，在扇形 为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正 AOB中，∠AOB=60°，OD平 半轴于点A3·按此作法进行下去，则 0 分∠AOB交AB于点D,点 A2024B2023的长是 C是半径OB上一动点，若 OA=1,则阴影部分周长的最小值为( A.+ B. 2 B C2+8 n2+ OA:A2A3 A4 令人意外的是，如此严谨的数学问题，法国博物学家蒲丰却发明了一个既神奇又简单的验证方法：他 164把一些针随机扔到桌子上，根据针的分布情况来计算圆周率，这就是著名的蒲丰投针实验，（待续） 第五章圆 10 圆锥的侧面积 (教材P56一P59内容) ~基础夯实 6.已知圆锥的底面半径为10cm,母线长为90cm, 知识点一圆锥及其侧面展开图的相关计算 则圆锥的表面积是 cm2.(结果保留π) 1.(宿迁中考)若圆锥的底面半径为2cm,侧面展 能力提升 开图是一个圆心角为120°的扇形，则这个圆锥 7.如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆 的母线长是 cm. 柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米， 【变式】（牡丹江中考）用一个圆心角为90°，半径为 圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛 8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底 毡的面积为 面直径是 ( A.(30+529)π米2 A.6 B.5 C.4 D.3 B.40π米2 2.(云南中考)数学活动课上，某同学制作了一顶 圆锥形纸帽.若圆锥的底面圆的半径为1分米， C.(30+521)π米 母线长为4分米，则该圆锥的高为 D.55π米2 分米. 8.如图，矩形纸片ABCD 【变式】（内江中考）如图，用圆心角为 中，AD=12cm,把它分 120°，半径为6的扇形围成一个圆 割成正方形纸片ABFE 120° 锥的侧面（接缝忽略不计），则这个 和矩形纸片EFCD后， 分别裁出扇形ABF和 B 圆锥的高是 知识点二圆锥的侧面积和全面积 半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧 3.(邵阳中考)如图，某数学兴趣 面和底面，则AB的长为 ( 30 cm 小组用一张半径为30cm的扇 A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.9 cm 形纸板做成一个圆锥形帽子（接 9.(聊城中考)若一个圆锥体的底面积是其表 缝忽略不计)，如果做成的圆锥 形帽子的底面半径为8cm,那 面积的子，则其侧面展开图圆心角的度 么这张扇形纸板的面积为 cm2.(结果 数为 保留π) 素养培优 4.(呼和浩特中考)圆锥的高为2√2，母线长为 10.(赤峰中考)[教材P59习题 3,沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形） 5.17T5变式]某班学生表演课 的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 本剧，要制作一顶圆锥形的小 (结果用含π的式子表示) 丑帽.如图，这个圆锥的底面圆 5.(娄底中考)[教材P59习题 周长为20πcm,母线AB长为 5.17T4变式]如图，在△ABC 30cm.为了使帽子更美观，要粘贴彩带进 中，AC=3,AB=4,BC边上 行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始， 的高AD=2,将△ABC绕着 绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度 BC所在的直线旋转一周得 忽略不计)，这条彩带的最短长度是() 到的几何体的表面积为 A.30 cm B.30√3cm C.60 cm D.20x cm 他是怎么计算的呢？一天，蒲丰约了很多好友来家里做客.在大家畅谈的间隙，蒲丰拿出一张大白 纸，在纸上画满了平行线，且每条线之间都保持着相同的距离α.（待续） 165.∴.CO平分∠ACB,CO⊥AB :AC切⊙O于点D, .∴.OD⊥AC, .∴.OD=OM, ,∴.BC是⊙O的切线. 7.(1)证明：如图所示，过点O作OE⊥AB 于点E AD⊥BO, .∠D=90°， ∠BAD+∠ABD=90°， ∠AOD+∠OAD=90°. :∠AOD=∠BAD, .∴.∠ABD=∠OAD 又，BC为⊙O的切线 AC⊥BC, ∠BCO=∠D=90° .∠BOC=∠AOD, ∴.∠OBC=∠OAD=∠ABD 在△BOC和△BOE中， I∠OBC=∠OBE .{∠OCB=∠OEB, BO=BO, '.△BOC≌△BOE(AAS), ∴.OE=OC OE⊥AB, AB为⊙O的切线， (2)解：，∠ABC+∠BAC=90°，∠EOA十∠BAC=90°， .∠EOA=∠ABC n∠ABC-=专C=6 ∴AC=BC·tan∠ABC=6X 3=8 根据勾股定理，可得 AB=BC2+AC=√62+82=10. 由(1)可知BE=BC=6, ∴.AE=AB-BE=10-6=4. an∠EOA=am∠ABC=号， .OE=3,即⊙O的半径是3. 根据勾股定理，得 OB=√BE2+OE=√62+32=3√5. ∠ABD=∠OBC,∠D=∠ACB=90°， .∴.△ABDC∽△OBC, 8把即00 35 3 ∴.AD=25. 8 正多边形和圆 第1课时圆内接正多边形的画法 1.A2.D3.54.C5.A 6.解：如图. ①正三角形 ②正方形 ③正六边形 ④正八边形 0 7.解：作法：(1)如图所示，作AB,BC的 垂直平分线相交于点O,以点O为圆 心，OA的长为半径作⊙O,⊙O就是 正六边形的外接圆. (2)如图所示，以点O为圆心，点O到 AB的垂线段(OH)的长为半径作圆， 所作的圆就是正六边形的内切圆. 8.C9.2r3 10.(1)解：由题图1知∠AFC对ABC CF=AD,而∠DAF对的DEF=DBC+CF=AD十 DBC=ABC. .∠AFC=∠DAF.同理可证，其余各角都等于∠AFC, 故题图1中六边形各角相等. (2)证明：：∠A对BEG,∠B对CEA, 又.∠A=∠B,.CEA=BEG,∴.BC=AG 同理，BA=CD=EF=AG=BC=DE=FG, ..AB=BC=CD=ED=EF=FG=AG, .∴.各内角相等的圆内接七边形ABCDEFG是正七边形， (3)解：猜想：当边数是奇数时（或当边数是3,5,7,9，… 时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形；当边数为偶 数时（或当边数为4,6,8,10，…时），各内角相等的圆内接 多边形不一定是正多边形 第2课时正多边形的有关计算 1.B2.B3.A4.A【变式1C5.A6.144°7.10 8.2+29.C10.D11.B【变式】24°12.3：2 13.24°14.215.8√316.2 9弧长及扇形的面积 1.B2B3x【变式D4B【变式B5.166元 716-领&（号-5）m94-元10空x-12 山. 12.B13.A 14.(1)证明：如图1，连接OC. :点C是AD的中点， ∴.AC=DC, ∠ABC=∠EBC. .OB=OC. ∴.∠ABC=∠OCB, 图1 ∴.∠EBC=∠OCB, ∴.OCBE. .'BE⊥CE .半径OC⊥CE, ∴.CE是⊙O的切线 (2)解：如图2，连接AC AB为⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， .∴.∠ACB=∠CEB=90°. :∠ABC=∠EBC, 图2 ∴.△ACB∽△CEB, 0距成 .BC=2W3. (3)解：如图3，连接OD,CD. AB=4, ∴.OC=OB=2. 在Rt△BCE中，BC=23,BE=3, BE3√3 .os∠CBE=BC232 ∴.∠CBE=30°. ∴.∠C0D=60°， 图3 ∴∠AOC=60° .O0℃=OD, ∴.△COD是等边三角形 ∴∠OCD=60°， ∴.∠OCD=∠AOC ∴.CD∥AB, .∴SACOD=S△cBD, _60xX222 .S阴影=S刚形oD 360 3元 15.(√/2)2019π 10圆锥的侧面积 1.6【变式】C2.√15【变式】423.240x4.1203π 5.14π6.1000元7.A8.C9.120°10.B 微专题十九求阴影部分面积的技巧 3π 1.C2.6x3.4-元4.6-x5.2-46.2 π 7.3 8.89.B10.6π11.4π 12.解：根据题意画图： 将△ABC内的阴影绕点C顺时针旋转 到△A'B'C中， 则S阴形=S扇形ACA'一S扇形MCM =.14x×-314x2× =12.56(cm2). 故AB边扫过图形的面积是12.56cm. 13.A14.8π-1615.A 16.(1)证明：连接OD,如图. .OA=OD, ∠OAD=∠ODA. .'AD平分∠BAC, ∴.∠OAD=∠BAD, .∠ODA=∠BAD. ..OD//AB. ∴.∠ODC=∠B=90°， .半径OD⊥BC于点D, BC是⊙O的切线. (2)解：连接OF,DE,如图. :∠B=90°，tan∠ADB=√3 ∴.∠ADB=60°，∠BAD=30° BD=5, .AD=2BD=10. .AE是⊙O的直径， ∴.∠ADE=90°. ,AD平分∠BAC, .∠DAE=∠BAD=30°，∠BAC=60° 在Rt△ADE中，AD=10, ·Cos∠DAE=AD-3 AE 2' AE=203 3 01=A-1og 3 .OA=OF. △AOF是等边三角形， .∴.∠AOF=60°. OD∥AB, .S△ADF=S△AOF, 60πX(103)2 3 50元 .S阴影=S喇形A0F 360 9 微专题二十隐圆问题 1D2号32549 5.5+526.2g53 Z18020 8.解：连接AP,如图」 点O是AB的中点， ..OA=OB. ,OB绕点O顺时针旋转a(0°<a<180),得 到OP, ∴.OP=OB, ,∴.点P在以AB为直径的圆上， ∴∠BAP=3∠BOP= 2a. ,∠ACB=90°， ,∴.∠APC=∠ABC=70°， ∴.点P,C在以AB为直径的圆上， ∠ACP=∠ABP=90°-2a. 当AP=AC时，∠ACP=∠APC.即90°-&=70. 解得a=40°； 当PA=PC时，∠PAC=∠ACP.即2a+20=90-a, 解得a=70°； 当CP=CA时，∠CAP=∠CPA,即2a+20°=70， 解得a=100°， 综上所述，a的值为40或70或100°. 微专题二十一 圆中的最值问题 1.C2.√5-13.3 4.解：若△ABE的面积最小，则AD与 ⊙C相切，连接CD,则CD⊥AD. 在Rt△ACD中，CD=1, AC-OC+OA-3. 由勾股定理，得AD=2√2！ :∠ADC=∠AOE=90°，∠CAD=∠EAO, ∴.△ACDO△AEO, 器-器 08-