5.9 弧长及扇形面积 同步练习 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

弧长及扇形面积 一、单选题 1.如图，在⊙0中，直径AB=6,BC是⊙0的弦，若∠B=60°，则AC的长为() A.6π B.4π C.2π D.n 2.在⊙0中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm,那么⊙0的半径是() A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm 3.一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是10cm,当重物上升15.7cm时，问滑轮的一 条半径OA绕轴心0按逆时针方向旋转的角度为( )(假设绳索与滑轮之间没有摩擦，π 取3.14) A 滑轮 口重物 A.60° B.90 C.120° D.180° 4.如图，摆钟是一种技术与艺术相结合的机械时钟，图是其钟摆摆动示意图，0A=24cm, 当钟摆从OA摆动到OB时，若摆动角度LA0B=15°，则端点A移动的路径长为() A.3cm B.πcm C.2πcm D.3πcm 5.一个扇形的半径是3，面积为6π，那么这个扇形的圆心角是() A.260 B.2409 C.140 D.1209 答案第1页，共2页 6.如图，将ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C,己知AC=10,BC=6,则线段AB扫过的 图形面积为() A B A.10元 B. 32 3交 D. 7.《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公 式：弧田面积-；（弦×矢+矢2）.弧田（如图所示）由圆孤和其所对弦围成，公式中的弦 指圆弧所对的弦AB,“矢”指半径长与圆心O到弦AB的距离(d)之差.若“弦”为24，d为 5,根据上述经验公式计算，该弧田的面积为() B A.80 B.100 C.104 D.128 8.如图，AB为O0的直径，AB=8,劣弧AC的长2π，则弦AC的长为() B A.2√2 B.4 C.42 D.6 9.150°的圆心角所对的弧长是5π，则此弧所在圆的半径是（) A.12 B.9 C.6 D.5 10.铅球场地是田赛场地设施之一.如图是某学校操场的铅球场地，其沙盘区域可以看作是 扇形的一部分（即如图的阴影部分）.通过测量AC=BD,约为10m;C0=D0,约为1 米，圆心角约为40°，则图中沙盘的面积约为() 答案第1页，共2页 B D 40 A. πm 3 B.33m C.99nm2 D.120元m2 二、填空题 11.若扇形的圆心角为120°，半径为5，则该扇形的弧长为 12.已知扇形的3弧长是等，圆心角120，则这个扇形销半径是 13.若长度为π的圆弧所在圆的半径为3，则该圆弧所对的圆心角的度数为· 14.如图，己知一钟表的分针OA段的长为10cm,若时间从10：00到10：20，则经过扇形的 面积为】 cm2. 11 10 =9 3 8 6 15.如图，在3×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，A,B,C三个点均在格点上，连 接AB,AC并作AC,AC过点B.则图中阴影部分的面积为一·（结果保留） B 16.如图，在扇形A0B中，∠AOB=90°，OA=62,∠A0B的平分线交弧AB于点C,过点 C作CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E,则图中阴影部分的面积为 (结果保留 π) 答案第1页，共2页 B 三、解答题 17.如图，四边形ABCD的面积为6√5，扇形ABD的半径为4，圆心角∠BAD为60°，求图 中阴影部分的面积.（结果保留根号和刀） 18.如图，四边形ABCD内接于⊙0，∠BAD=90°，AC为对角线，点E在BC的延长线上， 且∠E=∠BAC. (1)判断DE所在直线与O0的位置关系，并说明理由； (②)若∠CDE=25°，⊙0的半径为3，求阴影部分的面积.（结果保留π） 答案第1页，共2页 19.如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，E为弧AC的中点，OE交弦AC于点D ,若AB=4,AC=2V5,求： ○ (I)DE的长. (2)阴影部分的面积. 20.如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD,此时点C的对应点 D落在AB上，延长CD,交OO于点E. 答案第1页，共2页 A D E B (1)证明：0C⊥0E: (2)若CE=4,求图中阴影部分的面积. 答案第1页，共2页 弧长及扇形面积 一、单选题 1．如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 3．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，问滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为（ ）（假设绳索与滑轮之间没有摩擦，取） A． B． C． D． 4．如图，摆钟是一种技术与艺术相结合的机械时钟，图是其钟摆摆动示意图，，当钟摆从摆动到时，若摆动角度，则端点A移动的路径长为（　　） A． B． C． D． 5．一个扇形的半径是3，面积为，那么这个扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 6．如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 7．《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 8．如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 9．的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（   ） A．12 B．9 C．6 D．5 10．铅球场地是田赛场地设施之一．如图是某学校操场的铅球场地，其沙盘区域可以看作是扇形的一部分(即如图的阴影部分)． 通过测量， 约为； ， 约为1米， 圆心角约为， 则图中沙盘的面积约为（    ）      A． B． C． D． 二、填空题 11．若扇形的圆心角为，半径为5，则该扇形的弧长为 ． 12．已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 13．若长度为的圆弧所在圆的半径为3，则该圆弧所对的圆心角的度数为 ． 14．如图，已知一钟表的分针段的长为，若时间从到，则经过扇形的面积为 ． 15．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C三个点均在格点上，连接，并作，过点B．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 16．如图，在扇形中，，的平分线交弧于点C，过点C作于点D，于点E，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 三、解答题 17．如图，四边形的面积为，扇形的半径为4，圆心角为，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和） 18．如图，四边形内接于，，为对角线，点在的延长线上，且． (1)判断所在直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，的半径为3，求阴影部分的面积．（结果保留） 19．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧的中点，交弦于点，若，求：    (1)的长． (2)阴影部分的面积． 20．如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．    (1)证明：； (2)若，求图中阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C B D D C C A 1．C 【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长．熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键．连接，由圆周角定理可得，再求出半径，根据弧长公式计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵直径， ∴， ∴的长为． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可． 【详解】解：根据弧长公式：，其中， 代入得： 解得： 故选：A． 3．D 【分析】重物上升，说明点转过的路径长为，然后根据弧长公式计算即可． 本题考查了弧长的计算和生活中的旋转现象，关键是熟练掌握弧长公式． 【详解】解：设旋转的角度为， 根据题意得，， 解得， 所以半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为． 故选：D． 4．C 【分析】本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键． 根据弧长计算公式，计算即可． 【详解】解：端点A移动的路径长， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了扇形面积公式，根据扇形面积公式，代入已知条件求解圆心角，即可作答． 【详解】解：设扇形的圆心角为， ∵一个扇形的半径是3，面积为， ∴， 解得， 故选：B． 6．D 【分析】本题考查扇形面积的计算；旋转的性质．由于将绕点C旋转得到，可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，再计算其差即可． 【详解】解：如图： ； ； 则． 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了弧田面积计算问题，也考查了理解与运算能力．根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C， 由题意可知， ∴， 在中， ， ∴矢， ∴该弧田的面积为， 故选：D． 8．C 【分析】本题考查了弧长公式，勾股定理； 先利用弧长公式求出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接， 设的度数为， ∵， ∴半径， 则， ∴， ∴弦， 故选：C． 9．C 【分析】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式（为圆心角，为半径），根据弧长公式即可求解． 【详解】解：设此弧所在圆的半径为， 则， 解得：， 故选：C． 10．A 【分析】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 再根据，求解即可． 【详解】解：根据题意可得， ， 故选：A． 11． 【分析】本题考查了弧长公式．根据弧长的计算公式（是扇形圆心角的度数，是扇形的半径），由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，该扇形的弧长， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了弧长公式：，其中是弧长，是扇形的半径，是扇形的圆心角，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：设这个扇形的半径是， 则， 解得， 所以这个扇形的半径是2， 故答案为：2． 13． 【分析】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式：弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为是解题的关键． 设该圆弧所对的圆心角的度数为n，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：设该圆弧所对的圆心角的度数为n， 由题意得：， 解得：， 故答案为： 14． 【分析】本题考查了扇形面积的计算；根据分针转一大格即5分钟所转的角度是，则可计算出分针从到所转的角度，即可得扇形的圆心角，从而由扇形面积公式即可求解． 【详解】解：分针从到所转的角度为， 所以分针所扫过的扇形的面积是； 故答案为：． 15． 【分析】 本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，圆周角定理的应用，弓形面积的计算，先证明，，再证明，再利用割补法求解阴影部分的面积即可． 【详解】解： 如图，连接， 由勾股定理可得：，， ∴， ∴， ∴为直径， ∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：． 16．/ 【分析】本题主要考查求其他不规则图形的面积，角平分线的性质，扇形面积；根据题意得到，，求出，证出四边形是正方形，得到，，再结合扇形面积公式求出结果即可． 【详解】解：连接，如图： ∵的平分线交弧于点C，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了扇形的面积公式，不规则图形的面积，先根据扇形面积公式：求出扇形的面积，然后根据阴影部分的面积=四边形的面积-扇形的面积求解即可． 【详解】解：∵扇形的半径为4，圆心角为， ∴扇形的面积为， 又四边形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 18．(1)所在直线与相切，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了切线的判定，圆有关的性质，扇形的面积，熟练运用是解答本题的关键． （1）根据圆周角为直角的弦是直径得到是直径，再根据直径所对的圆周角是直角得到，从而得到，根据已知得，同弧所对的圆周角相等得，从而得到，即可证明； （2）找到圆心角，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：所在直线与相切，理由如下：连接， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 即， 点D在上， 是的切线； （2）由（1）知，， ， ， ， ． 19．(1)1 (2) 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理及扇形面积计算，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． （1）由E是弧的中点，可得．根据垂径定理得：，在中，运用勾股定理可将的长求出，由即可求解； （2）利用阴影部分面积等于扇形面积减去面积即可求出． 【详解】（1）解：∵E是弧的中点，， ∴， ∴， ∵为半圆O的直径，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的长为1； （2）解：连接，    在中，， ， ， ， ， ． 20．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据等边对等角可得，，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得，从而得证； （2）根据扇形面积减三角形面积计算即可． 【详解】（1）证明：∵弦绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设的半径为， 由（1）知：是等腰直角三角形， ∵， ∴，即， 解得：， ∴图中阴影部分的面积： ， ∴图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，勾股定理，扇形和三角形面积的计算，熟练掌握旋转的性质和扇形面积的计算是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $