5.7 切线长定理-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

练测考九年级数学全一册LJ *7 切线长定理 (教材P42一P45内容) ~基础夯实 【变式】（湖北中考）如图，在△ABC中， 1.(益阳中考)如图，PA,PB ∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与AB, 为⊙O的切线，切点分别 BC分别相切于点D,E,连接DE,AO的延 为A,B,PO交AB于点 长线交DE于点F,则∠AFD= C,PO的延长线交⊙O于 点D,下列结论不一定成 立的是 A.PA=PB B.∠BPD=∠APD C.AB⊥PD D.AB平分PD 2.(湘西州中考)如图，AB 变式图 第4题图 为⊙O的直径，点P在 4.(武汉中考)如图，在四边形ABCD中，AB∥ AB的延长线上，PC,PD CD,AD⊥AB,以D为圆心，AD为半径的 与⊙O相切，切点分别为 D 孤格好与C相切，切点为上，右8-}则 C,D.若AB=10,PC=12,则sin∠CAD等 于 sinC的值是 号 A号 B.6 c 7 D. 4 贵 5.[教材P43想一想变式] 如图，四边形ABCD是 【变式】（泰安中考）为了测量一个圆形光盘的 ⊙O的外切四边形，且 0 半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放 AB=9,CD=15,则四 置于桌面上，并量出AB=4cm,则这张光盘 边形ABCD的周长为 的半径是 cm.(精确到0.1cm.参考 数据：√3≈1.73) 6.(南京中考)如图，PA,PB是 ⊙O的切线，A,B为切点，点C, D在⊙O上，若∠P=102°，则 ∠A+∠C= 0 B B D 易错点悟忽略隐含的切线长定理的基本图 变式图 第3题图 形导致思路受阻 3.(广州中考)如图，△ABC的内切圆⊙I与 7.(淄博中考)如图，在△ABC BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,若⊙I 中，AB=AC,点D在AC边 的半径为r,∠A=a,则(BF+CE一BC)的 上，过△ABD的内心I作 值和∠FDE的大小分别为 ( IE⊥BD于点E.若BD=10, A.2r,90°-& B.0,90°-a CD=4,则BE的长为( C2r,90-2 D.0,90°- 2 A.6 B.7 C.8 D.9 由于他的不懈努力，他的一篇数学论文终于发表了.机遇垂青这位下苦工夫的热心人.清华大学的数 154 学教授熊庆来得知华罗庚的事迹后，邀请华罗庚到清华大学工作，为他成为数学家提供了广阔舞台. 第五章圆 能力提升 9.如图，直角三角形ABC的内切圆分别与 8.如图，P为⊙O外一点， AB,BC相切于点D,点E,根据图中标示的 PA,PB分别切⊙O于点 长度与角度，可求AD的长度为() A,B,CD切⊙O于点 E,分别交PA,PB于点 C,D,若PA=8,则△PCD的周长为( A.8 B.12 C.16 D.20 B 【变式1】如图，⊙O为△ABC A.g 5 B.2 C.3 的内切圆，AC=9,AB= 【变式】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 8,BC=10,点D,E分别 ⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为 为BC,AC上的点，且DE B M D D,E,F,若BF=2,AF=3,则△ABC的面 为⊙O的切线，切点为Q,则△CDE的周长 为 积是 A.9 B.7 C.11 D.8 【变式2】如图，⊙O是边长为6的正方形ABCD 的内切圆，EF切⊙O于点P,交AB,BC于 点E,F,求△BEF的周长 10.(滨州滨城区期中)如图，⊙O内切于正方形 ABCD,O为圆心，作∠MON=90°，其两边 0 分别交BC,CD于点N,M,若CM+CN= 10,则⊙O的面积为 B ~素养培优 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O交AB于点D,过点D作⊙O 的切线，与边BC交于点E,若AD=号 AC=3,则DE的长为 () A.2 B.2 C. D.√5 伽利略的故事意大利科学家伽利略17岁那年，考进了比萨大学医科专业.他非常喜欢提问题，不问 个水落石出决不罢休.一次课上，比罗教授正在讲胚胎学.（待续） 1555.解：(1)如图，连接AD,作AH⊥BD于H. ,∠BAC=90°，BC=5,AC=25, AB=√BC2-AC=5. :2AB·AC=2BC·AH. AH=5X25=2. 5 BH=√AB2-A=1. AB=AD,AH⊥BD, ..BH=HD=1. ∴.BD=2. M (2)作DM⊥AC于M. :S△AB=S△ABD十S△AD, ×5x26= 2 ×2×2+2×25×DM DM=35 5 3V5 sim∠DAC=DM53 AD5=5 6.2 7.(1)证明：连接AD,如图. B AC是⊙O的直径， ∴.∠ADC=90°，即AD⊥BC. AB=AC, ,∴.BD=CD (2)解：∠EAC=∠EDC, a∠EAC=m∠BDC-24 AC是⊙O的直径， ∴.∠AEC=90°， mEAC-器-琴 设AE=7x,则EC=24x, .∴.AC=/AE2+EC2=25.x, ∴.AB=AC=25.x, ..BE=AB+AE=25x+7x=32x. BD=20, .BC=2BD=40. 在Rt△BEC中，BE2+CE2=BC2, .∴.(32x)2+(24x)2=402, 解得x=1(负值已舍去)， .∴.AC=25x=25. 892Ea10.B1 12.(1)证明：连接OC,如图 ,CD是⊙O的切线， .OC⊥CD. 又，CD⊥AE, ∴.AEOC, ∴.∠E=∠OCB .'OC=OB, .∠ABC=∠OCB, ∴.∠ABC=∠E, ..AE=AB (2)解：连接AC,如图. ,AB为⊙O的直径， .∠ACB=90. 在Rt△ABC中， 由勾股定理，得AC=√AB2-BC=√6-4=2√5. AB=AE,AC⊥BE, .∠EAC=∠BAC. 又：∠ADC=∠ACB=90°， ∴.△ADC△ACB, .CD_AC 'BC AB' 即CD25 4-6 CD=45 3· 13.A14.128 15.(1)证明：如图1，连接DF,DG. :BD是⊙O的直径， ∴∠DFB=∠DGB=90 .EF-GH. ∴.∠EDF=∠HDG :∠DFB=∠EDF+∠A,∠DGB=∠HDG+∠C, ∴∠A=∠C 图1 (2)解：结论：a十3+0=180°. 理由：如图2，连接DF,BH. .EF=GH, ∠ADF=∠HBG=2O, ,∠A+∠ADF+∠AFD=180°，∠AFD=∠DHB= ∠C+∠HBG, ∴∠A+20+∠C+20=180, ∴.a十3+0=180°. *7切线长定理 1.D2.D【变式】6.93.D【变式】35°4.B5.48 6.2197.B8.C【变式1】C 【变式2】解：设⊙O切AB于点M,切BC于点N,连接OM, ON,如图. 则∠OMB=∠ONB=90. ,四边形ABCD是正方形， .∠B=90. .ON-OM, -0 ,.四边形MBNO是正方形 B :⊙O是边长为6的正方形ABCD的内 切圆， ∴BM=BN=OM=0N=2AB=2×6=3. 由切线长定理，得EM=EP,PF=FN, ∴.△BEF的周长为BF十EF+BE=BF+PF十PE十 BE=BF+FN+EM+BE=BN+BM=3+3=6. 9.D【变式610.25π11.B 微专题十八证明圆的切线的两种常用思路 1.证明：(1)如图1，连接AD 图1 'AB是⊙O的直径，AB⊥CD, .BC=BD,∴∠CAB=∠BAD. :∠BOD=2∠BAD, ∴.∠BOD=2∠CAB,即∠BOD=2∠A. (2)如图2，连接O℃ 图2 ,F为AC的中点，DF⊥AC ∴.AD=CD,∴∠ADF=∠CDF. .BC=BD,∴∠CAB=∠DAB. :OA=OD,∴.∠OAD=∠ODA, ,.∠CDF=∠CAB ,OC=OD,∴.∠CDF=∠OCD, ∴.∠OCD=∠CAB. .BC=BC.∠CAB=∠CDE,∴∠CDE=∠OCD, ∠E=90°，∴.∠CDE+∠DCE=90°， .∠OCD+∠DCE=90°，即OC⊥CE OC为⊙O的半径， .直线CE为⊙O的切线！ 2.(1)证明：连接OD,如图. ,AD平分∠CAM交⊙O于点D, .∴.∠DAE=∠DAO. .OA=OD, .∠DAO=∠ADO, ∴.∠DAE=∠ADO, ∴.ODMN. .DE⊥MN, ∴.DE⊥OD. OD为⊙O的半径， .DE是⊙O的切线. (2)解：连接DC,:AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=90° 而∠DAE=∠DAC, ,Rt△ADECORU△ACD, 福把即品把 AD 15 AD=35. 在Rt△ADE中，.'AE=3,AD=3√5， ∴.DE=√AD2-AE=6. 3.证明：连接O℃，如图. ⊙0的半径为3， ∴.OC=OB=3. 又BP=2, ∴.O0P=5. 在△OCP中， OC2+PC2=32+42=25, OP2=52=25, ∴.OC2+PC2=OP2 △OCP为直角三角形， .∠OCP=90°，即OC⊥PC. 又，OC是⊙O的半径， ∴.PC是⊙O的切线. 4.证明：(1)连接OD,如图. .AD//OC. '.∠DAO=∠COB,∠ADO=∠DOC 又OA=OD, .∠DAO=∠ADO, ∴.∠COB=∠COD .DE=BE. (2)由(1)知∠DOE=∠BOE. 在△COD和△COB中， CO=CO, ∠DOC=∠BOC, OD=OB, ∴.△COD≌△COB(SAS), ∴.∠CDO=∠B 又，BC⊥AB, ∴.∠B=90°=∠CDO,即OD⊥CD. 又，OD是⊙O的半径，.CD是⊙O的切线 5.证明：如图，连接OE .OA=OE. ∴∠OAE=∠OEA, ∴.∠FOE=∠OAE+∠OEA=2∠OAE. :∠CAB=2∠EAB, ∴.∠CAB=∠FOE. 又：∠AFE=∠ABC .∠CAB+∠ABC=∠FOE+∠AFE. .AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， ∴.∠CAB+∠ABC=90°=∠FOE+∠AFE, .∠OEF=90°，即OE⊥EF. OE是⊙O的半径， .EF是⊙O的切线. 6.证明：连接OD,作OM⊥BC于点M,如图. AC=BC,O是AB的中点， 3