5.6 第2课时切线的性质-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

第2课时 (教材P35 ☑基础夯实 知识点一直接应用圆的切线的性质 1.(河池中考)如图，AB是⊙O的直径，PA与 ⊙O相切于点A,∠ABC=25°，OC的延长 线交PA于点P,则∠P的度数是( ) A.25° B.35° C.40 D.50 D 第1题图 第2题图 2.(哈尔滨中考)如图，AB是⊙O的切线，A为 切点，连接OA,点C在⊙O上，OC⊥OA,连 接BC并延长，交⊙O于点D,连接OD,若 ∠B=65°，则∠DOC的度数为 () A.45°B.50° C.659 D.759 3.(北京中考)如图，OA是⊙O的半径，BC是 ⊙O的弦，OA⊥BC于点D,AE是⊙O的切 线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC= 45°，BC=2,则线段AE的长为 D C 第3题图 第4题图 4.(河南中考)如图，PA与⊙O相切于点A,PO 交⊙O于点B,点C在PA上，且CB=CA.若 OA=5,PA=12,则CA的长为 知识点二先连半径，再应用切线的性质定理 5.(重庆中考)如图，AB为⊙O B 的直径，直线CD与⊙O相 切于点C,连接AC,若 ∠ACD=50°，则∠BAC的 D 度数为 A.30° B.40° C.50 D.60° 祖冲之还与他的儿子祖恒（也是我国著名的数学家） 题.他们当时采用的一条原理：“幂势既同，则积不容异 第五章圆 切线的性质 P38内容) 6.如图，AC是⊙O的切线，B 为切点，连接OA,OC.若 ∠A=30°，AB=23,BC= 3,则OC的长度是() A.3 B.23 C.√/13 D.6 7.(衡阳中考)如图，在Rt△ABC A 中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6. 以点C为圆心，r为半径作圆， 当所作的圆与斜边AB所 在的直线相切时，r的值为C 8.如图，线段AB与⊙O相 切于点B,线段AO与 ⊙O相交于点C,AB= 12,AC=8,则⊙O的半 径为 9.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上， AD垂直于过点C的切线，垂足为D,且 ∠BAD=60°. (1)求∠DAC的度数； (2)若DC的长为3，求⊙O的半径长. 0 一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算问 ”(待续) 145 练测考九年级数学全一册LJ 易错点悟考虑问题不周全导致漏解 10.(宁波中考)如图，在△ABC 中，AC=2,BC=4,点O在 BC上，以OB为半径的圆 与AC相切于点A,D是 BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时， AD的长为 ~能力提升 11.(泰安岱岳区模拟)如图， CD是⊙O的切线，点C 在直径AB的延长线上 若5D=号AD,AC=3,则CD= 12.(青岛中考)如图，在平面 直角坐标系中，已知点 A(1,0),P(-1,0),⊙P 过原点O,且与x轴交于 另一点D,AB为⊙P的切线，B为切点， BC是⊙P的直径，则∠BCD的度数为 13.如图，在△ABC中，∠ACB= 90°，AC=4,BC=3.⊙C的半 径为1，点P是AB边上的动 点，过点P作⊙C的一条切D 线PD,点D为切点，则线段 PD长的最小值为 14.如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一 条弦，AP是⊙O的切线.作BM=AB并 与AP交于点M,延长MB交AC于点E, 交⊙O于点D,连接AD,BC (1)求证：AB=BE; B 0 意思是位于两平行平面之间的两个立体，被任 146 恒相等，则这两个立体的体积相等，（待续） (2)若BE=3,0C-8,求BC的长. 15.如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切 于点C,交AB的延长线于点D,连接AC, BC,∠D=30°，CE平分∠ACB交⊙O于 点E,过点B作BF⊥CE,垂足为F. (1)求证：CA=CD: (2)若AB=12,求线段BF的长. B ~素养培优 16.如图，在平面直角坐标系 y个 中，直线y=x一4与x轴， y轴分别交于点B,C,半径 为2的⊙P的圆心P从点 0 A(8,m)(点A在直线 y=x一4上)出发，以每秒 √2个单位长度的速度沿射线AC运动，设 点P运动的时间为t秒，则当t= 时，⊙P与坐标轴相切. ·平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积13.（1)证明：，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∠ADE=∠ABC. .AB=AC, ,∴.∠ABC=∠ACB, ∴.∠ADE=∠ACB. .∠ACB=∠ADB, ∠ADB=∠ADE. (2)解：如图，连接C0并延长，交⊙O 于点F,连接BF,则∠FBC=90 在Rt△BCF中，CF=4,BC=3, F答是 0 ,∠F=∠BAC, &sin BnC-是 14.(1)证明：方法一：如图1，连接BD. ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°. :∠ADC-∠BDC=∠ADB, ∠BDC=∠BAC, 图 ∴.∠ADC-∠BAC=90° 方法二：如图2，连接BC, ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90. .·∠PBC=∠BAC+∠ACB, ∴.∠PBC-∠BAC=90° ,四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ,∴.∠ADC=∠PBC, ∴∠ADC-∠BAC=90, (2)解：由方法二可得∠ADC=∠PBC. ,∠ACP=∠ADC, .∠PBC=∠ACP,即∠PBC=∠PCA. ∠BPC=∠CPA, ∴.△PBC∽△PCA, ..PB_PC PC PA .PC2=PA·PB ⊙0的半径为3， ∴.AB=6, ∴.PA=PB+6 .CP=4, ∴.42=(PB+6)·PB, 解得PB=2或PB=一8（舍去）， 则AP=2+6=8. 6直线和圆的位置关系 第1课时直线和圆的位置关系 1.B2.B3.A4.D5.相切6.D7.D8.B9.4 10.3cm或5cm11.D12.B13.4或514.8cmAB 10 cm 15.解：(1)A城受到这次沙尘暴的影响.理由如下：如图，过点 A作AC⊥BM,垂足为C. 在Rt△ABC中，由题意可知∠CBA=30°，AB=240m, ∴AC=7AB=2×240=120km. 3 AC=120150,.A城将受这次沙尘暴的影响 北 E-M 、 西B A东 (2)设点E,F是以A为圆心，150km为半径的圆与MB 的交点，连接AE,AF,则CE=CF 由题意得CE=√AE2-ACz=90(km), ∴.EF=2CE=2×90=180(km). .A城受沙尘暴影响的时间为180÷12=15（小时）. 答：A城将受到这次沙尘暴的影响，影响的时间为15小时. 16.解：把(12，一5)代入y=kx,得-5=12k, 5 解得k= 12 将直线y=是：向上半移m(m>0)个单位长度后得到 5 直线L:y=-i2+m(m>0), C 如图所示，设直线1与x轴，y轴分别 B 交于点A,B. 0 当x=0时，y=m; 当y=0时，x=12 点A的坐标为（号mo0),点B的坐标为0m）, 0A-号m,0B=m 在Rt△OAB中， AB=vOn+0B-√m+m- 5m. 过点O作OC⊥AB于点C, 则SAm=0C·AB=20A·0B. 当⊙O与直线AB相切时，OC=6, 13 解得m= 2 当⊙0与直线AB相交时m的取值范图是0<m<号 第2课时切线的性质 1.C Z.B 3.J 41 5B 6.C7. 8.5 9.解：(1)如图，连接OC CD是⊙O的切线， .OC⊥CD.又AD⊥CD, ∴.OC∥AD,∴.∠DAC=∠ACO. ,OA=OC,∴.∠CAO=∠ACO 1 ∠DAC=∠CA0=2∠BAD=30. 0 (2)如图，连接BC. AD⊥CD,∴.∠D=90 ,∠CAD=30°，CD=3,∴.AC=2CD=6. ,AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°. ∠BAC=30°， 9 AC ..AB= 3 c0s30=6÷2 =43, ∴.⊙0的半径长为23. 10号或号1.22018丽 5 14.(1)证明：，AP是⊙O的切线， ∴.∠EAM=90°， ∴.∠BAE+∠MAB=90°，∠AEB+∠AMB=90°. 又AB=BM, .∠MAB=∠AMB, .∠BAE=∠AEB, .'.AB=BE (2)解：，AC是⊙O的直径， ∠ABC=90°. 在Rt△ABC中，AC=2OC=5,AB=BE=3. 由勾股定理，得BC=√AC”-AB=4. 15.(1)证明：如图，连接O℃. :CD与⊙O相切于点C, ∴∠OCD=90. ∠D=30°， ∴∠COD=90°-∠D=60°， ∠A=号∠0=30. .∠A=∠D=30°， ∴.CA=CD. (2)解：，AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°. :∠A=30,AB=12BC=2AB=6, ,CE平分∠ACB, ∴∠BCE=3∠ACB=45 ,BF⊥CE,∠BFC=90, RBF=BC·sim45=6X7 =32, 线段BF的长为3√2. 16.2或6或10 第3课时 切线的判定 1.D2.C3.64.相切 5.证明：连接OC,DC,如图. .CA=CB, .∠A=∠B D是OA的中点， .∴.DA=OD=OB. BD是⊙O的直径， ∴.∠BCD=90° DA=OB, 在△ADC和△BOC中， ∠A=∠B, CA=CB. ,∴.△ADC≌△BOC(SAS),.∴.∠ACD=∠BCO, ∴.∠OCA=∠OCD+∠ACD=∠OCD+∠BCO= ∠BCD=90. OC是⊙O的半径，且AC⊥OC, ,∴.AC是⊙O的切线. 6.证明：过点O作OF⊥DE于点F,如图. AB是⊙O的直径， .∴.∠ACB=90°， ∴.BCDE. .∠ABC=30, .∴.∠E=∠ABC=30°， 0F=30E, .BE=OB, 0B=20E. ∴.OF=OB,即OF是⊙O的半径， ∴.DE是⊙O的切线. 7.(1)证明：如图，连接OB :AB=AC,∠ABC=∠ACB. :∠ACB=∠OCD, ∴.∠ABC=∠OCD. .OD⊥AO,∴.∠COD=90°， ∴.∠D+∠OCD=90°. OB=OD,.∠OBD=∠D, ∴∠OBD+∠ABC=90°， 即∠ABO=90°，∴.AB⊥OB. 又：点B在⊙O上， ,∴.直线AB与⊙O相切 (2)解：在Rt△ABO中，由勾股定理，得OA=13. .AC=AB=5,..OC=OA-AC=8, ∴m∠B06品是-号 答案号 8.D9.C10.(±13,0) 【变式】(-2,1)，(2,1)，(0，-1) 1L.(1)证明：连接OD,如图. ,AB为⊙O的直径， .∴.∠ADB=90°」 ,DF⊥BC, .∠F=90° :∠EAD+∠BDF=180°，∠EAD+∠BAD=180°， ∠BDF=∠BAD, ,.∠ABD=∠DBF .OB=OD, .∴.∠ABD=∠ODB ∴.∠ODB=∠DBF, ..OD//BF. BF⊥EF, ∴.OD⊥EF OD是⊙O的半径， EF为⊙O的切线. (2)解：连接AC,如图 AB为⊙O的直径， .∠ACB=90. .DF⊥BC, .AC∥EF, .∠E=∠BAC=∠BDC. 设⊙0的半径为r,则OE=10-r, 在Rt△EOD中， aE-nB0C-8沿-号周，号 2 解得r=4,