5.5 第2课时圆内接四边形-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

第五章圆 第2课时【 圆内接四边形 (教材P28-P31内容) ~基础夯实 知识点一圆内接四边形的对角互补 1.已知圆内接四边形ABCD中，∠A:∠B: ∠C=1:2:3,则∠D的大小是 () A.45°B.60° C.90° D.135° B E 第5题图 第6题图 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O 6.如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=45°， 的直径，点E在⊙O上，且∠AED=37°，则 BC=√2，CD=2,则⊙O的半径为 ∠BCD的度数是 ( ) A.127°B.126° C.125° D.143 A.210 B.25 C.√/10 D.5 7.(宁夏中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O,延 长AD至点E,已知∠AOC=140°，则∠CDE= 第2题图 变式图 【变式】如图，四边形ABCD内接于⊙O.若四边 形ABCO是菱形，则∠D的度数为 A.45° B.60° C.90° D.120° D 3.(赤峰中考)如图，圆内接四边形ABCD中， 第7题图 第8题图 ∠BCD=105°，连接OB,OC,OD,BD, 易错点悟忽略构造圆内接四边形导致问题 ∠BOC=2∠COD.则∠CBD的度数是( 难以突破 A.25 B.30 C.35 D.40 8.如图，在⊙O中，点D为AB的中点，CD为 ⊙O的直径，AE∥BC交⊙O于点E.连接 CE,若∠ECD=50°，则∠DCB= ( A.10° B.15 C.20° D.25 能力提升 9.如图所示，点O为线段BC的 第3题图 第4题图 中点，点A,C,D到点O的距 4.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中， 离相等，若∠ABC=40°，则 0 ∠EBD=31°，则∠A十∠C= ∠ADC的度数是 知识点二圆内接四边形的外角等于内对角 A.130° B.140° C.150° D.160 5.(青岛市南区模拟)如图，在△ABC中，AB= 10.[教材P31习题5.8T3变 AC=5,BC=2,以AB为直径的⊙O分别 式]如图，圆内接四边形 交AC,BC两边于点D,E,则△CDE的面积 ABCD两组对边的延长 为 ( ) 线分别相交于点E,F, 2 B D.25 且∠A=55°，∠E=30°， 5 5 则∠F= 并得出了元分发形式的近似全5索为密率，共中取七位小藏是品.1415920，它是分于、分好在 141 1000以内最接近π值的分数.祖冲之究竟用什么方法得出的这一结果，现在无从考查.（待续） 练测考九年级数学全一册LJ 11.如图，AB为半圆的直径， 素养培优 AB=2,点C为半圆上一 14.(内蒙古中考)[一题多解]如图，AB是⊙O 点，点D和点B关于直线 A 的直径，AC是弦，D是AC上一点，P是 AC对称，连接AD交AC于点E,连接 AB延长线上一点，连接AD,DC,CP。 CE.设BC=x,AE=y,则y关于x的函 (1)求证：∠ADC-∠BAC=90°；（请用两 数关系式为 种证法解答) 12.如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD= (2)若∠ACP=∠ADC,⊙O的半径为3， 90°，BC=CD,过点C作CE,使得CD= CP=4,求AP的长， CE,交AD的延长线于点E. (1)求证：AB=AE; 0 (2)若AD=DE=2,求CD的长 备用图 13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， 连接AC,BD,延长CD至点E (1)若AB=AC,求证：∠ADB=∠ADE: (2)若BC=3,⊙O的半径为2，求sin∠BAC 若设想他按刘徽的“割圆术”方法去求的话，就要计算到圆内接16384边形，这需要花费大量时间和 142精力，由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智.（待续）微专题十六垂径定理的几种常见应用类型 1.C【变式】B2.C3.164.B5.B6.400π 1 7.I)证明：“∠ACB=2∠AOB, 1 ∠BAC=2∠BOC,∠ACB=2∠BAC, .∠AOB=2∠BOC (2)解：过点O作半径OD⊥AB于点E,连接DB. ..AE=BE. ,∠AOB=2∠BOC, ∠DOB=)∠AOB, ∴.∠DOB=∠BOC. ∴.BD=BC. D .AB=4,BC=5,..BE=2,DB=5. 在Rt△BDE中，∠DEB=90°， ∴.DE=√BD2-BE2=1. 在Rt△BOE中，∠OEB=90°， .OB2=(OB-1)2+2, 解得OB=号，即⊙0的半径是 2 8.A9.210.4211.√5+1 12.解：如图，连接BC交MN于点P,此时 PA十PC的值最小，连接OB,OC,作 CH⊥AB于点H. M ,AB=8,CD=6,MN是⊙O的直径， AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F, B ∴BE=2AB=4,CF=2CD=3. ∴.OE=√OB2-BE=√52-4=3. OF=√OC2-CF2=√52-32=4， ∴.CH=OE+OF=3+4=7, BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7. 在Rt△BCH中，根据勾股定理，得 BC=√BH+CH=√72+72=7√2， 由圆的对称性可知PA=PB, ..PA+PC=PB+PC=BC=72, 即PA十PC的最小值为72. 5确定圆的条件 第1课时三角形的外接圆 1.C2.A3.可以4.C5.D6.D7.B8.1409.42 10.解：如图，连接CO并延长交⊙O于点E,连接BE 则∠E=∠A=30°，∠EBC=90°. ⊙O的半径为2， .CE=4, C-CE-2 0. CD⊥AB,∠CBA=45°， :CD=2BC=2. 2 1B2B1a5279 14.9+9215.6 3 16.(1)证明：如图，连接D℃， 则∠BDC=∠BAC=45°. BD⊥BC, .∴.∠BCD=90°-∠BDC=45°， ∴.∠BCD=∠BDC, ∴.BD=BC. (2)解：，∠DBC=90°， .CD为⊙O的直径， ∴.CD=2r=6, ÷BC=CD·sim∠BDC=6x 2 =3√2， .EC=√BE2+BC=√62+(32)=3N6. BF⊥AC, .∠BMC=∠EBC=90. :∠BCM=∠ECB, .△BCM∽△ECB, 瓷器器 .BM-BC-EB362. EC 3√6 CM-DC:/6. EC 36 连接CF,则∠F=∠BDC=45°，∴∠MCF=45°， ∴.MF=MC=√6， .BF=BM+MF=2W3+√6. 第2课时圆内接四边形 1.C2.A【变式B3.A4.211°5.A6.D7.70 8.C9.B10.40°11.y=2-x2 12.(1)证明：如图1，连接AC. .BC=CD, ∴BC=CD .∴.∠BAC=∠EAC CD=CE, 图1 ∴∠E=∠CDE,BC=CE. :∠CDE是圆内接四边形ABCD的外角， ∴∠B=∠CDE, ∠B=∠E. I∠B=∠E, 在△ABC与△AEC中，{∠BAC=∠EAC, AC=AC, .△ABC≌△AEC(AAS), ∴.AB=AE. (2)解：如图2，连接BD. :∠BAD=90°， BD是⊙O的直径， ∠BCD=90°. 由(1)可得AB=AE. .AD=DE=2, 图2 ∴.AE=AB=4. 在Rt△ABD中， BD=√AB2+AD=2√5. 在Rt△BCD中，CD=BC=,BD三√10， 8 13.（1)证明：，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∠ADE=∠ABC. .AB=AC, ,∴.∠ABC=∠ACB, ∴.∠ADE=∠ACB. .∠ACB=∠ADB, ∠ADB=∠ADE. (2)解：如图，连接C0并延长，交⊙O 于点F,连接BF,则∠FBC=90 在Rt△BCF中，CF=4,BC=3, F答是 0 ,∠F=∠BAC, &sin BnC-是 14.(1)证明：方法一：如图1，连接BD. ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°. :∠ADC-∠BDC=∠ADB, ∠BDC=∠BAC, 图 ∴.∠ADC-∠BAC=90° 方法二：如图2，连接BC, ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90. .·∠PBC=∠BAC+∠ACB, ∴.∠PBC-∠BAC=90° ,四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ,∴.∠ADC=∠PBC, ∴∠ADC-∠BAC=90, (2)解：由方法二可得∠ADC=∠PBC. ,∠ACP=∠ADC, .∠PBC=∠ACP,即∠PBC=∠PCA. ∠BPC=∠CPA, ∴.△PBC∽△PCA, ..PB_PC PC PA .PC2=PA·PB ⊙0的半径为3， ∴.AB=6, ∴.PA=PB+6 .CP=4, ∴.42=(PB+6)·PB, 解得PB=2或PB=一8（舍去）， 则AP=2+6=8. 6直线和圆的位置关系 第1课时直线和圆的位置关系 1.B2.B3.A4.D5.相切6.D7.D8.B9.4 10.3cm或5cm11.D12.B13.4或514.8cmAB 10 cm 15.解：(1)A城受到这次沙尘暴的影响.理由如下：如图，过点 A作AC⊥BM,垂足为C. 在Rt△ABC中，由题意可知∠CBA=30°，AB=240m, ∴AC=7AB=2×240=120km. 3 AC=120150,.A城将受这次沙尘暴的影响 北 E-M 、 西B A东 (2)设点E,F是以A为圆心，150km为半径的圆与MB 的交点，连接AE,AF,则CE=CF 由题意得CE=√AE2-ACz=90(km), ∴.EF=2CE=2×90=180(km). .A城受沙尘暴影响的时间为180÷12=15（小时）. 答：A城将受到这次沙尘暴的影响，影响的时间为15小时. 16.解：把(12，一5)代入y=kx,得-5=12k, 5 解得k= 12 将直线y=是：向上半移m(m>0)个单位长度后得到 5 直线L:y=-i2+m(m>0), C 如图所示，设直线1与x轴，y轴分别 B 交于点A,B. 0 当x=0时，y=m; 当y=0时，x=12 点A的坐标为（号mo0),点B的坐标为0m）, 0A-号m,0B=m 在Rt△OAB中， AB=vOn+0B-√m+m- 5m. 过点O作OC⊥AB于点C, 则SAm=0C·AB=20A·0B. 当⊙O与直线AB相切时，OC=6, 13 解得m= 2 当⊙0与直线AB相交时m的取值范图是0<m<号 第2课时切线的性质 1.C Z.B 3.J 41 5B 6.C7. 8.5 9.解：(1)如图，连接OC CD是⊙O的切线， .OC⊥CD.又AD⊥CD, ∴.OC∥AD,∴.∠DAC=∠ACO. ,OA=OC,∴.∠CAO=∠ACO 1 ∠DAC=∠CA0=2∠BAD=30. 0 (2)如图，连接BC. AD⊥CD,∴.∠D=90 ,∠CAD=30°，CD=3,∴.AC=2CD=6. ,AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°. ∠BAC=30°， 9