5.5 第1课时三角形的外接圈-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

微专题十六垂径定理的几种常见应用类型 1.C【变式】B2.C3.164.B5.B6.400π 1 7.I)证明：“∠ACB=2∠AOB, 1 ∠BAC=2∠BOC,∠ACB=2∠BAC, .∠AOB=2∠BOC (2)解：过点O作半径OD⊥AB于点E,连接DB. ..AE=BE. ,∠AOB=2∠BOC, ∠DOB=)∠AOB, ∴.∠DOB=∠BOC. ∴.BD=BC. D .AB=4,BC=5,..BE=2,DB=5. 在Rt△BDE中，∠DEB=90°， ∴.DE=√BD2-BE2=1. 在Rt△BOE中，∠OEB=90°， .OB2=(OB-1)2+2, 解得OB=号，即⊙0的半径是 2 8.A9.210.4211.√5+1 12.解：如图，连接BC交MN于点P,此时 PA十PC的值最小，连接OB,OC,作 CH⊥AB于点H. M ,AB=8,CD=6,MN是⊙O的直径， AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F, B ∴BE=2AB=4,CF=2CD=3. ∴.OE=√OB2-BE=√52-4=3. OF=√OC2-CF2=√52-32=4， ∴.CH=OE+OF=3+4=7, BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7. 在Rt△BCH中，根据勾股定理，得 BC=√BH+CH=√72+72=7√2， 由圆的对称性可知PA=PB, ..PA+PC=PB+PC=BC=72, 即PA十PC的最小值为72. 5确定圆的条件 第1课时三角形的外接圆 1.C2.A3.可以4.C5.D6.D7.B8.1409.42 10.解：如图，连接CO并延长交⊙O于点E,连接BE 则∠E=∠A=30°，∠EBC=90°. ⊙O的半径为2， .CE=4, C-CE-2 0. CD⊥AB,∠CBA=45°， :CD=2BC=2. 2 1B2B1a5279 14.9+9215.6 3 16.(1)证明：如图，连接D℃， 则∠BDC=∠BAC=45°. BD⊥BC, .∴.∠BCD=90°-∠BDC=45°， ∴.∠BCD=∠BDC, ∴.BD=BC. (2)解：，∠DBC=90°， .CD为⊙O的直径， ∴.CD=2r=6, ÷BC=CD·sim∠BDC=6x 2 =3√2， .EC=√BE2+BC=√62+(32)=3N6. BF⊥AC, .∠BMC=∠EBC=90. :∠BCM=∠ECB, .△BCM∽△ECB, 瓷器器 .BM-BC-EB362. EC 3√6 CM-DC:/6. EC 36 连接CF,则∠F=∠BDC=45°，∴∠MCF=45°， ∴.MF=MC=√6， .BF=BM+MF=2W3+√6. 第2课时圆内接四边形 1.C2.A【变式B3.A4.211°5.A6.D7.70 8.C9.B10.40°11.y=2-x2 12.(1)证明：如图1，连接AC. .BC=CD, ∴BC=CD .∴.∠BAC=∠EAC CD=CE, 图1 ∴∠E=∠CDE,BC=CE. :∠CDE是圆内接四边形ABCD的外角， ∴∠B=∠CDE, ∠B=∠E. I∠B=∠E, 在△ABC与△AEC中，{∠BAC=∠EAC, AC=AC, .△ABC≌△AEC(AAS), ∴.AB=AE. (2)解：如图2，连接BD. :∠BAD=90°， BD是⊙O的直径， ∠BCD=90°. 由(1)可得AB=AE. .AD=DE=2, 图2 ∴.AE=AB=4. 在Rt△ABD中， BD=√AB2+AD=2√5. 在Rt△BCD中，CD=BC=,BD三√10， 8第五章圆 5确定圆的条件 第1课时 三角形的外接圆 (教材P25-P28内容) 基础夯实 则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ( 知识点一确定圆的条件 1.如图，点A,B,C均在直线l上，点P在直线 - 1外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆 的个数为 1-- ----- A.1 B.2 C.3 D.4 -E A.(0,0) B.(1,1) C.(0,1) D.(1,0) P。 7.[教材P27随堂练习变式]△ABC的外心在 3 三角形的一边上，则△ABC是 ( A B C A.锐角三角形 B.直角三角形 第1题图 第2题图 C.钝角三角形 D.无法判断 2.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四 8.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°， 块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样 点O是△ABC的外心，则∠BOC= 的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应 该是 () A第①块B.第②块C.第③块D.第④块 3.已知平面直角坐标系中的三个点分别为 A(1,-1),B(-2,5),C(4,-6),则A,B,C 第8题图 第9题图 这三个点 确定一个圆.（填“可以” 9.(常州中考)如图，AD是⊙O的直径， 或“不可以”) △ABC是⊙O的内接三角形.若∠DAC= 知识点二三角形的外接圆和外心 ∠ABC,AC=4,则⊙O的直径AD= 4.(自贡中考)如图，△ABC内接于⊙O,CD是 10.如图，△ABC内接于⊙O,∠CAB=30°， ⊙O的直径，连接BD,∠DCA=41°，则 ∠CBA=45°，CD⊥AB于点D.若⊙O的 ∠ABC的度数是 ( 半径为2，求CD的长. A.41 B.45 C.49° D.59° B A 第4题图 第5题图 5.(巴中中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆， 若∠C=25°，则∠BAO= ( A.25° B.50° C.60 D.65° 6.如图，一圆弧过方格的格点A,B,C,在方格中 建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(0,3)， 直到魏晋时期，刘徽提出了计算圆周率更科学的方法一“割圆术”，用圆内接正多边形的周长来逼 近圆周长.刘徽计算到圆内接九十六边形时，求得π=3.14.（待续） 139 练测考九年级数学全一册L小 易错点悟概念混淆致误 素养培优 11.下列说法：①过两点可以作无数个圆；②经 16.(陕西中考)如图，△ABC内接于⊙O, 过三点一定可以作圆；③任意一个三角形 ∠BAC=45°，过点B作BC的垂线，交⊙O 有一个外接圆，而且只有一个外接圆；④任 于点D,并与CA的延长线交于点E,作 意一个圆有且只有一个内接三角形.其中 BF⊥AC,垂足为M,交⊙O于点F. 正确的有 () (1)求证：BD=BC; A.1个 B.2个 (2)若⊙O的半径r=3,BE=6,求线段BF C.3个 D.4个 的长 能力提升 A 12.(十堰中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆， 弦BD交AC于点E,AE=DE,BC=CE, 过点O作OF⊥AC于点F,延长FO交BE 0 于点G,若DE=3,EG=2,则AB的长为 A.43 B.7 C.8 D.4√5 D B C 第12题图 第13题图 13.(呼和浩特中考)如图，△ABC内接于⊙O且 ∠ACB=90°，弦CD平分∠ACB,连接AD, BD.若AB=5,AC=4,则BD= CD= 14.在△ABC中，若AB=6,∠ACB=45°.则 △ABC的面积的最大值为 15.（湘西州中考)如图，⊙O是等边三角形 ABC的外接圆，其半径为4.过点B作 BE⊥AC于点E,点P为线段BE上一动 点（点P不与点B,E重合），则Cn+BP 的最小值为 0 6 刘徽还指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确.祖冲之在前人成就的基础上，经过刻 140 苦钻研，反复演算，求出π在3.1415926与3.1415927之间.（待续）