5.4 第1课时圆周角定理-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

第五章圆 4圆周角和圆心角的关系 第1课时圆周角定理 (教材P18-P21内容) ~基础夯实 6.(广安中考)如图，△ABC内接于⊙O,圆的 知识点一圆周角的定义 半径为7，∠BAC=60°，则弦BC的长度为 1.下列图形中的角是圆周角的是 B O 知识点二圆周角定理 第6题图 第7题图 2.(河南中考)如图，点A,B,C在⊙O上，若 知识点三圆周角定理的推论1、推论2 ∠C=55°，则∠AOB的度数为 ( 7.[教材P21习题5.5T3变式]如图，A,C,B A.95° B.100 C.105° D.110° 三点在⊙O上.如果∠AOB=100°，那么 ∠ACB等于 () A.100 B.120° C.130° D.150° 【变式】如图，已知点A,B,C在⊙O上，C为 第2题图 第3题图 AB的中点.若∠BAC=30°，则∠AOB等于 3.如图，EF,CD是⊙O的两条直径，点A是 ( ) 劣弧DF的中点.若∠COF=32°，则∠ADC A.130° B.1209 C.110 D.60° 的度数是 ( ) A.47 B.74° C.53 D.63 4.(西安雁塔区模拟)如图，已知AB是⊙O的直 径，弦CD⊥AB,垂足为E,∠ACD=22.5°， AB=4,则CD的长为 ( ) 变式图 第8题图 A.√2 B.2 C.2√2 D.4√2 8.(济南槐荫区模拟)如图，正方形网格中，点 A,O,B,E均在格点上.⊙O过点A,E且与 AB交于点C,点D是⊙O上一点，则 tan∠CDE= 第4题图 第5题图 易错点悟考虑不全面致错 5.如图，⊙O的弦AB,DC的延长线相交于点E, 9.点A,B,C在圆上，若弦AB的长度等于圆 ∠AOD=128°，∠E=40°，则∠BDC= 半径的√2倍，则∠ACB的度数是 而且害虫在水果表皮上的立足之地小，自然也就减少了病虫灾害，正因为水果是“圆”的，才使风不管 从任何方向吹来，都很容易沿着水果表面的切面掠过，受风影响的只有水果很小的一部分.（待续） 133 练测考九年级数学全一册L小 能力提升 15.如图1，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于 10.如图，AB是⊙O的直径，点C 点G,且B为CF的中点，CF交AB于点 D,E在⊙O上，若∠AED=20°， E H,若CF=8. 则∠BCD的度数是 ( (1)求BG的长： A.110 B.115 (2)如图2，连接OH,BC,求证：OH⊥BC. C.120° D.125° 11.(南京玄武区模拟)如图， AB是半圆O的直径，C, D,E三点在半圆上，F,G 是直径AB上的点，若 ∠AFC=∠DFB,∠DGA=∠EGB.已知 图1 图2 AC的度数为20°，BE的度数为60°，则 ∠FDG的度数为 ( ) A.30°B.40° C.50 D.60 12.如图，点A,B,C分别在⊙0上，若 cOs∠AOB= 3,则anC的值为 ( ) c号 6 D. 5 13.(中山模拟)如图，AB是⊙O ~素养培优 的一条弦，点C是⊙O上 0 16.(无锡中考)如图，边长为6的等边三角形 动点，且∠ACB=30°，点E, E ABC的三个顶点都在⊙O上，点D为AC F分别是AC,BC的中点， 上的动点（点A,C除外），BD的延长线交 直线EF与⊙O交于G,H ⊙O于点E,连接CE 两点，若⊙O的半径是7，则GE+FH的最 (1)求证：△CED△BAD; 大值是 (2)当DC=2AD时，求CE的长. 14.如图，在⊙O中，AD=CD=CB,连接AC, BD,过点B作BE∥AC交DC的延长线于 点E (1)求证：∠D=∠E: (2)若CD=25,BE=8,求⊙O的半径. 另外，因为圆球形的表面积最小，当风暴来袭时，风暴袭击水果的面也就最小.这样，风暴对水果的伤 134害也就减弱到了最低程度。(2),OE⊥AE, ∴.∠A+∠AOE=90°. .'CDLAB, .∴.∠A+∠C=90°， ∴.∠C=∠AOE, icwC-ca∠A0E-8货-5号2- 55 9.45或2√510.C11.B12.213.2cm或14cm 14.解：(1)如图，连接AC. :直径CD⊥AB,.AC=BC, ∴.AC=BC=3. 同理，得AB=AC=3. 0 (2)由(1)，得AB=AC=BC ∴.△ABC为等边三角形， ∴.∠BAC=60 又AE⊥BC, .AE平分∠BAC,即∠OAF=30° 由垂径定理，得AF=AB= 2 在Rt△OAF中， 0A-50-2-5, 即⊙O的半径为5. 15.解：(1)如图，连接OB. .OC⊥AB, ∴.D为AB的中点 .AB=7.2m, BD-AB-3.6 m 设OB=OC=rm, 则OD=(r-2.4)m. 在Rt△BOD中，根据勾股定理，得 x2=(r-2.4)2+3.62. 解得r=3.9, ∴.拱桥所在圆的半径为3.9m. M E\D B (2)如图，在CD上取点E,使DE=2m, 过点E作MN⊥CD交⊙O于点M,N(N在M的右边)， 连接ON,则MN=2EN. .CD=2.4m, ∴.CE=2.4-2=0.4(m), ∴.OE=r-CE=3.9-0.4=3.5(m). 在Rt△OEN中， EN=√/ON2-OE2=/3.92-3.52=√/2.96(m), .MN=2EN=2×√2.96≈3.44(m)>3m ,∴此货船能顺利通过这座拱桥 4圆周角和圆心角的关系 第1课时圆周角定理 1.A2.D3.C4.C5.24°6.737.C【变式】B 8专945或13510.A11.C12.C13.105 3 14.(1)证明：BE∥AC, ∴∠E=∠ACD. .'AD=BC. ∠ACD=∠D, ∴.∠D=∠E. (2)解：由(1)知，∠E=∠BDC, .'.BD=BE=8. 如图，连接OC交BD于点H,连接OD. ∵BC=CD, .XC LBD.DH-BD-4. 在Rt△CHD中，CD=25, .CH=√CD2-DH=2. 设OD=OC=r, 在Rt△OHD中，由勾股定理，得 OH2+DH2=OD2, 则(r-2)2+4=r2, 解得r=5, 即⊙O的半径为5. 15.(1)解：，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD 于点G, AC-BC.AG-BG-2AB. 如图，连接OB. :B为CF的中点， .BC=BF,OB⊥CF, ∴.AC+BC=BC+BF, 即AB=CF, .∴.AB=CF=8, ∴AG=BG=2AB=4 (2)证明：由(1)知，AC=BC=BF, ∴.∠CBH=∠BCH, ∴.HB=HC. 在△OCH和△OBH中， .OC=OB.HC=HB,OH=OH, ∴.△OCH≌△OBH(SSS), ∴.∠COH=∠BOH. 又.OC=OB, ∴.OH⊥BC 16.(1)证明：：∠CDE=∠BDA,∠E=∠A, ∴△CED∽△BAD. (2)解：如图，过点D作DF⊥EC 于点F. 在等边△ABC中， ∠A=60°，AC=AB=6. 又DC=2AD, ∴.AD=2,DC=4. .△CED∽△BAD, 器8- ..EC=3DE. :∠E=∠A=60°，DF⊥EC, .∠EDF=30°，.DE=2EF,DF=3EF 设EF=x,则DE=2x,DF=√3x,EC=6.x .FC=5.x.在Rt△DFC中，DC=√DF2+FC=2√7x. 27 ∴，27x=4,解得x= 7 CE=6x=127 7 第2课时 直径与所对圆周角的关系 1.C2.C【变式】D 3.解：(1)△ABC是等腰直角三角形. 证明：，AC为⊙O的直径， ∠ABC=90° '∠ADB=∠CDB, ..AB=BC. ..AB=BC, ∴△ABC是等腰直角三角形. (2):AC为⊙O的直径， .∠ADC=90°. 在Rt△ABC中，AC2=2AB2=2×(W2)2=4, 在Rt△ADC中，CD=√AC2-AD=√4-I=√5. .cm 6. 7.解：如图，连接AB. AC⊥BC, ∴.∠ACB=90°， AB为⊙O的直径，AB=8. ∠ADC=30°. .∠ABC=30°. 在Rt△ABC中， :cos∠ABC-B B' BC=AB·cOs∠ABC=8X5 2 =45. 8.B9.A10.13-2 11.证明：(1)如图1所示 :∠A与∠B都是CD所对的圆周角， ∠A=∠B. 又∠2=∠1 ,∴.△ADE△BCE. (2)如图2所示. 图 .AD2=AE·AC, 福把 又：∠A=∠A, OE ∴.△ADE∽△ACD, ∴.∠AED=∠ADC. 又，AC是⊙O的直径， 图2 .∠ADC=90°， 即∠AED=90° ∴AC⊥BD, .'.CD=CB. 12.(1)证明：连接BD,如图1. ,AB,CD为⊙O的直径， ∴.∠AEB=∠CBD=90°，AB=CD :点B是DE的中点， ..BE=BD, ∴.∠A=∠C 在△AEB与△CBD中， 图1 3 |∠A=∠C, ∠AEB=∠CBD=90, AB=CD. .△AEB≌△CBD(AAS),.AE=BC. (2)解：连接OE,如图2，设⊙O的半径 为r. 点B是DE的中点， .'.BD=BE. .∠DOB=∠EOB, ∠A=∠C-2∠0E, 图2 :AE垂直于直径CD于点F,AO=EO, ∠AOF=∠COE, ∠AFO=∠EFO=90°， AF-EF-TAE-/5. '∠DOB=∠AOF, ∴.∠AOF=∠COE=∠BOE. ,∠AOF+∠COE+∠BOE=180°， .∠AOF=∠COE=∠BOE=60°， ∴.∠A=∠C=30°， 1 0F=20A=2 在R△40F中，由勾股定理，得2-（分）°=(5)， 解得r=2. 13.(1)证明：如图，连接AD. 0 0 ,AB是⊙O的直径，.∠ADB=90°， 又AB=AC,∴.BD=DC (2)解：BD=DC=4, ∴.BC=DB+DC=8. 在R△ADC中，tanC=AC-1 C=2 .AD-CD:tn C-4X2 ∴.AC=√AD+CD2=√22+4=25. .AB是⊙O的直径 ∴∠AEB=90. :∠AEB=∠ADC=90°，∠C=∠C, ∴.△CEB∽△CDA, 器黑 E55 AE-CE-AC-6/5. 5