第5章 4 第2课时 圆周角和直径的关系-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（鲁教版 五四制）

第2课时 圆周 (教材P21 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>>难度等级基础题 知识点：圆周角定理的推论3 命题角度1：直径所对的圆周角是直角 1.如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=28°，则 ∠ADC=( ) A.32° B.58 C.62° D.116° 第1题图 第2题图 2.如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB.若 ∠ABD=65°，则∠ADC= 命题角度2：90°的圆周角所对的弦是直径 3.[一题多辨](1)如图①，把直角三角尺的直角 顶点O放在破损的圆形玻璃镜的圆周上，两 直角边与圆弧分别交于点M,N,量得OM= 8cm,ON=6cm,则该圆形玻璃镜的半径是 () A.√10cmB.5cm C.6cm D.10 cm 121156180 ① ② (2)[应用意识]在数学实践活动课中，小辉利 用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一 些圆的直径，如图②，∠AOB=90°，将点O放 在圆周上，分别确定OA,OB与圆的交点C, D,读得数据OC=8,OD=9,则此圆的直径 约为() A.17 B.14 C.12 D.10 命题角度3：利用直径和圆周角的关系进行计算 4.如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点 第五章圆☑ 角和直径的关系 23练习) O,并且分别与x轴、y轴交于B,C两点，已 知B(8,0),C(0,6),则⊙A的半径为() B A.3 B.4 C.5 D.8 5.(吉林中考)如图，AB是⊙O的直径，点C在 ⊙O上，∠ABC=50°，动点P在弦BC上，则 ∠A可能为 度.（写一个符合条件的 度数即可) 第5题图 第6题图 6.(南通中考)如图，AB是⊙O的直径，点C是 ⊙O上的一点，若BC=3,AB=5,OD⊥BC 于点D,则OD的长为 即能力提升 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级中等题 7.(聊城中考)如图，BC是半圆O的直径，D,E 是BC上两点，连接BD,CE并延长交于点 A,连接OD,OE.如果∠A=70°，那么∠DOE 的度数为( ) A.35° B.38° C.40° D.42° 0 第7题图 第8题图 8.如图所示，在⊙O中，弦AC的长为2，sinB= 则⊙0的直径为( 2 A.4 B.3 C.2 D.1 做神龙题得好成绩 15 ☑同行学案学练测数学九年级下LJ 9.如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD,BC D等于 相交于点P,如果∠DPB=a,那么AB () A.sina B.cosa C.tana D. 第9题图 第10题图 10.(襄阳中考)如图，AD是⊙O的直径，BC是 弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB 相交于点P,下列结论错误的是( ) A.AP=2OP B.CD=2OP C.OB⊥AC D.AC平分OB 11.如图，小杨将一个三角尺放在⊙O上，使三 角尺的一直角边经过圆心O,测得AC= 5cm,AB=3cm,则⊙O的半径长为() 10 A.3 cm B.cm C.4 cm 0 第11题图 第12题图 12.如图，△ABC是等边三角形，点A,B在数 轴上，点A表示数一2，点B表示数2，以AB 为直径作圆交边AC于点P,以B为圆心， BP为半径作弧交数轴于点Q,则点Q在数 轴上表示的数为( ) A.-√3 B.23 C.2-2√3 D.2√3一2视频讲解 16做神龙题得好成绩 13.如图，AB为⊙O的直径，AB=AC,BC交 ⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=45°. (1)求∠EBC的度数. (2)连接ED,若BC=6,求ED的长. 即培优创新>>>>>难度等级综合题 14.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， P是反比例函数y(:>0)图象上任意 一点，以P为圆心，PO长为半径的圆与 x轴交于点A,与y轴交于点B,连接AB. (1)求证：P为线段AB的中点. (2)求△AOB的面积.∠OKP=90°，∴△KOP是等腰直角三角形，PK= 4圆周角和圆心角的关系 OP-1.CK-FK-PC-CK+PK-+ 第1课时圆周角和圆心角、弧的关系 1.B2.D3.C4.B5.110°6.D 两个正方形的面积之和为16，.x2+(x十2)2=16，.x 7.D[解析]∠APQ=115°，∴.∠APQ对应优弧ABQ, =√7-1或x=-√7-1（舍去），∴.PC=x十2=√7+1， .优弧ABQ所对圆心角为230°，则劣弧APQ所对应圆心 PH=x=√7-1，.PD=√2PC=√I4+√2，PG=√2PH 角∠AOQ=130°.：C,D为AB的三等分点，∴.∠AOD= 120°，故点Q应位于DB上. =√14-√2，∴.DG=PD+PG=2√14. 8.909.D10.A11.30 12.C[解析]如图，连接OA,OD.AC=BD,.AC=BD, AD=BC,∠ABD=∠BAC,.AE=BE.AC⊥ BD,AE=BE,∴.∠ABE=∠BAE=45°，.∠AOD= 2∠ABE=90°.OA=OD,AD=√2r.AD=2√2， E .r=2. 7.A[解析]如图，连接OD.:CD⊥OC交⊙O于点D, ∴△OCD是直角三角形.根据勾股定理得CD= √OD2-OC.半径OD是定值，当OC⊥AB时，线段OC 最小，此时D与B重合，CD=√OB2-OC.,OC⊥AB, AC--AB.CD-/0B- 13.60或120 14.(1)证明：连接OD.AB是⊙O的直径，AB⊥CD,BC ，即线段CD的最大值是 1 2 =BD,∴∠COB=∠D0B=3∠COD.又：∠CPD= 合∠c0D,÷∠CPD=∠00B. (2)解：∠CP'D与 ∠COB的数量关系是∠CP'D十∠COB=180°.证明如 下：CPD与CD的度数之和为360°，∴∠CP'D+ D 1 ∠CPD=2×360°=180.∠CPD=∠C0B, 8.C[解析]对于直线y=kx十2k一4，当x=一2时，y= ∴.∠CP'D+∠COB=180°. 一4，故直线y=kx+2k一4恒经过点(-2，一4)，记为点 第2课时圆周角和直径的关系 D.连接OB,OD,如图.由于过圆内定点D的所有弦中，与 1.C2.25°3.(1)B(2)C4.C5.示例：306.2 OD垂直的弦最短，即当DB⊥OD时，BC最短.D(一2， 7.C8.B9.B10.A -4),∴.0D=√22+4=2√5.⊙0经过点(0,10)， 11.D[解析]如图，延长CA交⊙O于点D,连接BC,BD. CD为直径，∴∠CBD=90°.∠CAB=90°，∴.∠D= ∴.0B=10,.BD=√OB2-OD=√102-(2√5)2= ∠CBA,∴.Rt△ABC∽Rt△ADB,∴.AB:AD=AC: 45.,DB⊥OD,.BC=2BD=8√5，∴.弦BC的最小值 是8√5. AB,即3：AD=5:3,AD=号cm,CD=5+号 cm)⊙0的半径长为17。 34 5 cm. 12.C[解析]由题意可得AB=4.,△ABC是等边三角形， 培优专题5：圆周角定理及其推论的综合应用 ∠BAC=60°.AB是⊙O的直径，∠APB=90°， 1.B2.B3.15 ∠ABP=30,AP=7AB=2.在R△APB中，AB 4.20[解析]连接BC,OC⊥AB,.∠COB=90°..OB= =4,AP=2,∴.PB=√AB2-AP=√/42-22=2√5， OC,.∠OBC=45°.，∠AEC=65°，.∠BCD=65°-45° =20°，.∠BAD=∠BCD=20°. 以BP为半径作弧交数轴于点Q,.BQ=PB=2√3， .点Q表示的数为2-23. 5.2√3 13.解：(1)连接AD.,AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°. [解析]点M,N分别是AC,BC的中点，∴.MN= 又知AB=AC,根据等腰三角形“三线合一”的性质，得 1 ∠DAC=7∠BAC=7X45=2.5,∴∠EBC AB,一当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB ∠DAC=22.5°.(2)由等腰三角形“三线合一”的性质， 是直径时，AB最大.连接AO并延长交⊙O于点B',连接 得BD=DC.,AB是⊙O的直径，.∠AEB=90°， CB.,AB是⊙O的直径，∴∠ACB'=90°.∠ABC= ∠BC=90ED=2BC=2×6=3. 45°，.∠AB′C=45°，.AB′=√2AC=5√2， 14.(1)证明：：点A,O,B在⊙P上，且∠AOB=90°，∴.AB MN大值=5Y2 21 为⊙P的直径，即P为线段AB的中点.(2)解：，P为 7.C y-2(x>0)上的点，设点P的坐标为(m,m),则m [解析]连接OC.,AB⊥CD,∠CHO=90°.在 12.如图，过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点 Rt△COH中，CH=4,设OC=r,则OH=r-2,∴.r2=42 N,.点M的坐标为(m,0),点N的坐标为(0，n),且OM =m,ON=n.易得M为OA中点，OA=2m,N为OB中 十(r-2)2,.r=5.连接OD.AB⊥CD,AB是直径， 点，OB=2n,.S△A0B= 20A·OB=2mm=24. ∴AD=Ac=2D,∴∠A0c=2∠coD.:∠CMD= z∠COD,∴∠CMD=∠COA,.sin∠CMD=sin∠COA =00=51 0 [解析]：OB平分∠AOC,∴∠AOB=∠COB,.AB 培优专题4：圆心角、弧、弦之间关系的应用 =BC,.∠ADB=∠BDC.'AN=AM,∴.∠ANM= 1.D2.A3.1204.(1)70°(2)60 ∠AMN.:∠AMN=∠DMO,.∠DMO=∠DNA, 5.C6.C7.B 8.解：如图，作点B关于直线MN的对称点B',则点B必在 ÷△DM0△DNM,÷8-88∠MoD=∠NAD, ⊙O上，且BN=B'N.连接OB,OB',由已知得∠AON= CD是直径，∴∠NAD=90°，∴.∠MOD=90°.，OA= 60°.，点B是AN的中点，∴.∠B'ON=∠BON= 号∠AON=30,∠AOB'=90.连接AB'交MN于点 0D△A0D是等聚直角三角形，小器-言-号 P',则点P即为所求的点.连接BP',此时AP'十BP'= 微 AP'+P'B'=AB'=√2OA=√2，即AP+BP的最小值 1~4节阶段测试 为√2. 1.C2.B3.A4.D5.A6.B7.D8.A9.D 10.D11.D12.A13.C 14.解：如图，摩天轮每分钟转动360÷18=20°.由题意得AD ⊥PE,AD=88米，AC=100米，CE=PQ=34米，则OP =OD=44米，DC=AC-AD=12米，∴.ED=EC-DC 同行学案学练测·11·