5.3 垂径定理-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

第五章圆 *3垂径定理 (教材P14-P17内容) 基础夯实 4.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，过AC 知识点一垂径定理 的中点P作弦PQ⊥AB,交AB于点D,求 1.如图，在⊙O中，直径MN⊥弦AB,垂足为 证：PQ=AC. C,则下列结论中错误的是 A.AC=CB B.AN=BN C.AM=BM D.OC=CN 第1题图 第2题图 2.(云南中考)如图，已知AB是⊙O的直径， 知识点二垂径定理的推论 CD是⊙O的弦，AB⊥CD,垂足为E.若 5.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一. AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为 如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形.D是弦AB ( 的中点，CD经过圆心O交圆O于点C,若 是 CD=8m,桥拱的半径OC=5m,则水面的 宽AB为 3.(威海乳山市期末)直径为 10分米的圆柱形排水管，截面 0 如图所示.若管内有积水（阴影 0 7B 部分)，水面宽AB为8分米， D D B 则积水的最大深度CD为 分米 A.11m B.10 m C.8 m D.9m 【变式】（东营实验中学模拟）陕西饮食文化源远 6.如图，⊙O的直径BC交弦AD于点E,且 流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图 AE=DE.若∠BCD=54°，则∠A= 2是从正面看到的一个“老碗”（图1）的形状示 意图.AB是⊙O的一部分，D是AB的中点， 连接OD,与弦AB交于点C,连接OA,OB. 已知AB=24cm,碗深CD=8cm,则⊙O的 半径OA为 cm. 第6题图 第7题图 7.(聊城阳谷县月考)如图，⊙O的直径AB= 10cm,C是⊙O上一点，点D平分BC, 图1 图2 DE=2cm,则弦AC= cm. 圆与水果我们见到的各种各样的水果，几乎都是圆的一圆球形的、椭圆形的、圆柱形的.为什么 水果是圆的，而不是方的呢？（待续） 131 练测考九年级数学全一册L小 8.已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上 12.如图，在⊙O中，弦AB= 一点，CD⊥AB,垂足为点D,E是AC的中 4,点C在AB上移动，连接 点，连接OE并延长与⊙O交于点F,AC OC,过点C作CD⊥OC, 8,EF=2. 交⊙O于点D,则CD长的 (1)求⊙O的半径； 最大值为 (2)求cosC的值. 13.[分类思想]已知⊙O的半径为10cm,AB, D CD是⊙O的两条弦，AB∥CD,AB= 16cm,CD=12cm,则弦AB和CD之间的 B 距离是 14.如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB,垂足为 点F,AO⊥BC,垂足为点E,BC=3. (1)求AB的长； (2)求⊙O的半径. 易错点悟考虑问题不全面导致漏解 9.⊙O的直径CD=10,AB是⊙O的弦，AB⊥ CD,垂足为M,OM：OC=3:5,则AC的长 为 能力提升 ☑素养培优 10.如图，已知⊙O的半径为10，⊙O的一条弦 15.[教材P16随堂练习T1变式]如图，某地有 AB=16,若⊙O内的一点P恰好在AB上， 一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为 则线段OP的长度为整数的值有 () 7.2m,拱高CD为2.4m. A.2个B.3个 C.4个 D.5个 (1)求拱桥所在圆的半径； (2)现有一艘宽3m,船舱顶部为长方形并 高出水面2m的货船要经过这里，问此货 船能顺利通过这座拱桥吗？ EF于 B 第10题图 第11题图 11.(北京海淀区模拟)如图，在平面直角坐标 系中，一条圆弧经过A(2,2),B(4,0),O三 点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的 () A.点DB.点EC.点FD.点G 植物学家告诉我们，在所有体积相等的物体里，圆球形物体的表面积最小.正因为圆球形物体的表面 132 积最小，水果把自己长成“圆”的，其表面的水分蒸发量小，有利于水果的生长发育.（待续）8.证明：连接AC,如图， .AB=CD. ..AB=CD. 即AC+CB=AC+AD. ∴.CB=AD, ∴.CB=AD. 又，AC=AC, .∴.△ADC≌△CBA(SSS) .∠ADH=∠CBH. 在△ADH和△CBH中， ∠DHA=∠BHC, {∠ADH=∠CBH, AD-CB. ∴.△ADH≌△CBH(AAS), ..AH=CH. 12 9.C10.A11.y= 12.12 13.证明：如图，连接O℃ .'CD=BD, ∴.∠COD=∠DOB= 2∠COB. OA=OC, 1 ∴∠A=∠C=2∠COB, ∴∠A=∠DOB, .OD∥AC. 14.解：(1)四边形OACB是菱形. 理由如下： 如图所示，连接OC. ∠AOB=120°，点C是AB的中点， ∠AOC=∠BOC= 2 ∠AOB=60° .OA=OC=OB, ∴.△AOC与△BOC都是等边三角形， ∴.AC=OA=OC=OB=BC, ∴.四边形OACB是菱形. (2)△AOC是等边三角形， ,.AC=OA,∠OAC=∠O0CA=60 又AP=OA, ..AP=AC, ∠P=∠ACP=2∠0AC=30, .∠0CP=90° R=2, ∴.O0C=2,OP=4, ∴.PC=/OP2-0C2=/42-22=23 15.2√10【变式】8 第2课时圆心角的度数与孤的度数的关系 1.B2.60或300°3.30 4.解：如图，连接CD. BD的度数是70°， ..∠BCD=70° .CD=CB, .∠B=∠CDB=55°. 在Rt△ABC中，∠A=90°-55°=35° 5.(1)证明：如图，连接AF ,AB=AF,∴.∠ABF=∠AFB. 四边形ABCD为平行四边形， ∴.ADBC, .∠AFB=∠DAF, ∠GAD=∠ABF, ∴∠GAD=∠DAF, ∴.GE=EF」 (2)解：BF的度数为50°， ∠BAF=50° .AB=AF, ∠B=∠AFB=I80-∠BAFP)=65 ,四边形ABCD为平行四边形， ..AB//CD, ∴.∠C=180°-∠B=115 6.A7.106和254°8.C9.B10.B11.40°12.2√13 13.23 14.解：如图，作OC⊥AB于点C,则OC=4v3cm 又OA=0BAC=C=号AB=4em 在Rt△OAC中，tan∠AOC= AC 43 OC433' ∴.∠A0C=30°，.∠AOB=2∠AOC=60°， ∴.AB的度数为60°. 15.解：(1)如图，连接OD,则AB=2OD. .'AB=2DE,..OD=DE, .∴.∠DOE=∠E=25°， ∴.∠ODC=∠E+∠DOE=50°. ‘OC=OD, .∠C=∠ODC=50°， .∴.∠AOC=∠E+∠C=75° (2)设∠E=x°.AB=2OD,AB=2DE, ∴.OD=DE,.∠DOE=∠E=x° ∴∠ODC=∠E+∠DOE=2x. .'OC=OD,..∠C=∠ODC=2x°， .∠AOC=∠E+∠C=3x°， ,∴.∠AOC=3∠DOE, AC的度数是BD的度数的3倍，m=3. 16.22 *3垂径定理 1.D2.B3.2【变式】13 4.证明：：P为AC的中点，∴PA=PC 又PQ⊥AB且AB是⊙O的直径，.PA=AQ, ..PA=AQ-PC...PQ=AC,..PQ=AC. 5.C6.367.6 8.解：(1)设AO=r,则OF=r,OE=r一2. E是AC的中点， AE=AC=4且OFLAC. 在Rt△AEO中， AE2十OE2=OA2, .42+(r-2)2=r2, 解得r=5, .⊙0的半径为5. (2),OE⊥AE, ∴.∠A+∠AOE=90°. .'CDLAB, .∴.∠A+∠C=90°， ∴.∠C=∠AOE, icwC-ca∠A0E-8货-5号2- 55 9.45或2√510.C11.B12.213.2cm或14cm 14.解：(1)如图，连接AC. :直径CD⊥AB,.AC=BC, ∴.AC=BC=3. 同理，得AB=AC=3. 0 (2)由(1)，得AB=AC=BC ∴.△ABC为等边三角形， ∴.∠BAC=60 又AE⊥BC, .AE平分∠BAC,即∠OAF=30° 由垂径定理，得AF=AB= 2 在Rt△OAF中， 0A-50-2-5, 即⊙O的半径为5. 15.解：(1)如图，连接OB. .OC⊥AB, ∴.D为AB的中点 .AB=7.2m, BD-AB-3.6 m 设OB=OC=rm, 则OD=(r-2.4)m. 在Rt△BOD中，根据勾股定理，得 x2=(r-2.4)2+3.62. 解得r=3.9, ∴.拱桥所在圆的半径为3.9m. M E\D B (2)如图，在CD上取点E,使DE=2m, 过点E作MN⊥CD交⊙O于点M,N(N在M的右边)， 连接ON,则MN=2EN. .CD=2.4m, ∴.CE=2.4-2=0.4(m), ∴.OE=r-CE=3.9-0.4=3.5(m). 在Rt△OEN中， EN=√/ON2-OE2=/3.92-3.52=√/2.96(m), .MN=2EN=2×√2.96≈3.44(m)>3m ,∴此货船能顺利通过这座拱桥 4圆周角和圆心角的关系 第1课时圆周角定理 1.A2.D3.C4.C5.24°6.737.C【变式】B 8专945或13510.A11.C12.C13.105 3 14.(1)证明：BE∥AC, ∴∠E=∠ACD. .'AD=BC. ∠ACD=∠D, ∴.∠D=∠E. (2)解：由(1)知，∠E=∠BDC, .'.BD=BE=8. 如图，连接OC交BD于点H,连接OD. ∵BC=CD, .XC LBD.DH-BD-4. 在Rt△CHD中，CD=25, .CH=√CD2-DH=2. 设OD=OC=r, 在Rt△OHD中，由勾股定理，得 OH2+DH2=OD2, 则(r-2)2+4=r2, 解得r=5, 即⊙O的半径为5. 15.(1)解：，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD 于点G, AC-BC.AG-BG-2AB. 如图，连接OB. :B为CF的中点， .BC=BF,OB⊥CF, ∴.AC+BC=BC+BF, 即AB=CF, .∴.AB=CF=8, ∴AG=BG=2AB=4 (2)证明：由(1)知，AC=BC=BF, ∴.∠CBH=∠BCH, ∴.HB=HC. 在△OCH和△OBH中， .OC=OB.HC=HB,OH=OH, ∴.△OCH≌△OBH(SSS), ∴.∠COH=∠BOH. 又.OC=OB, ∴.OH⊥BC 16.(1)证明：：∠CDE=∠BDA,∠E=∠A, ∴△CED∽△BAD. (2)解：如图，过点D作DF⊥EC 于点F. 在等边△ABC中， ∠A=60°，AC=AB=6. 又DC=2AD, ∴.AD=2,DC=4. .△CED∽△BAD, 器8- ..EC=3DE. :∠E=∠A=60°，DF⊥EC, .∠EDF=30°，.DE=2EF,DF=3EF 设EF=x,则DE=2x,DF=√3x,EC=6.x .FC=5.x.在Rt△DFC中，DC=√DF2+FC=2√7x.