5.3垂径定理同步练习2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

垂径定理 一、单选题 1．已知圆的直径，为圆的弦，，且，垂足为点，且满足，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，的半径为5，圆心O到弦的距离的长为3，则弦的长是（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 3．如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　） A． B． C． D． 4．如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（  ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，的直径与弦交于点，若为的中点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，是的弦，半径，垂足为D．若，则的直径为（   ） A． B．6 C．5 D．4 8．如图，是的弦，点 是圆上一点，于点．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 9．如图，的半径为10，，P是弦上的一个动点（不与A，B重合），符合条件的的值不可能是（    ） A．7.5 B．6.5 C．6 D． 10．管是灌溉的常用工具之一，如图是一个圆柱形水管在某次灌溉时横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面的宽为，水面最深的地方高度为，则该水管的半径为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为 ． 12．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 13．如图①是小聪帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为， ，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是 cm． 14．一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为 ． 15．如图，在中，弦，O到的距离，则的半径为 ． 16．如图所示，在中，直径弦，垂足为，已知，则直径 ． 三、解答题 17．如图，是的两条弦，且于M，于N．求证：． 18．如图是一个圆形模具，是圆的一条弦，用尺规作出该圆形模具的一条直径．（不写作法，保留作图痕迹） 19．如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．，若，，求的半径． 20．如图，是的直径，弦于点E，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B D B A B D B 1．C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．连接，如图，先利用垂径定理得到，在中利用勾股定理计算出，则可计算出，然后在中利用勾股定理可计算出． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵直径， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理， 先连接，根据垂径定理得，再根据勾股定理求出，则答案可得. 【详解】解：连接， ∵， ∴. 在中，， 根据勾股定理，得， ∴. 故选：D. 3．C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，连接，作线段的垂直平分线，其交点即为圆心，根据点A的坐标即可求得答案． 【详解】解：如图所示， 连接，作出的垂直平分线，其交点即为圆心． ∵点A的坐标为， ∴该圆弧所在圆的圆心坐标是． 故选：C． 4．B 【分析】根据垂径定理及其推论判断即可． 【详解】解：∵是的直径与弦交于点，， 根据垂径定理及其推论可得，点B为劣弧的中点，点为优弧的中点， ∴， ， 但不能证明，故选项说法错误，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 5．D 【分析】本题主要考查垂径定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选D． 6．B 【分析】本题考查了垂径定理，在5个条件中：①1平分弦所对的一条弧，②平分弦所对的另一条弧，③平分弦，④垂直于弦，⑤经过圆心(或者说直径)，只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个结论． 【详解】解：∵为的中点，的直径与弦交于点， ∴，，，故A，C，D 正确； 无法说明． 故选B． 7．A 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，在解答此类问题时往往先构造出直角三角形，再利用勾股定理求解． 根据垂径定理求出的长，在中由勾股定理求出半径的长，进而可得出结论． 【详解】解：连接， 半径， ， 设的半径为，则，， 在中， 根据勾股定理， 即， 解得，， 的直径为． 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理得，进而由勾股定理得，再根据线段的和差关系即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：于点，， ，， ∵， ∴， ∴， ， 故选：． 9．D 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，垂线段最短等知识．取的中点C，分别连接、，由垂径定理及勾股定理可求得的长，根据垂线段最短，则的值介于与之间，由此可求得结果． 【详解】解：如图，取的中点C，分别连接、，则，且， 在中，， ∴ ， 点P线段上（不与重合），则，即 ， ∵， ∴选项D符合题意； 故选：D． 10．B 【分析】本题考查了圆的几何性质、垂径定理以及勾股定理，过点作的垂线交于点，交优弧于点，连接，利用垂径定理得到，再用勾股定理得到方程求解即可． 【详解】过点作的垂线交于点，交优弧于点，连接 ， 设 ，即 解得： 故选：B． 11．或/7或1 【分析】如图，，，过点作于，交于点，连，根据垂径定理得，由于，，则，根据垂径定理得，然后利用勾股定理可计算出，再进行讨论即可求解． 【详解】解：如图，，， 过点作于，交于点，连， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ， 同理可得， 当圆心在与之间时，与的距离； 当圆心不在与之间时，与的距离． 故答案为7或1． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 12． 【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 13． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 设圆的圆心为，连接，交于点，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，设圆的圆心为，连接，交于点， 根据题意得，， ， ， ， ， 锅盖最低点到的距离是， 故答案为：． 14．13 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则是的直径，过作，连接，再结合正方形的性质以及垂径定理得，，由勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示：是的直径，过作，连接， 依题意，， ∵， ∴，， ∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， ∴， 在中，， 即这枚古钱币的半径为， 故答案为：13 15．2 【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，由垂径定理可得，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴的半径为2， 故答案为：2． 16． 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理等知识，连接，如图所示，由垂径定理得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，直径弦，垂足为， , 在中，,，， 则由勾股定理可得, ， 故答案为：． 17．见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 连接．由垂径定理结合可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】证明：如图：连接． ∵于M，于N． ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 18．见解析 【分析】本题考查了尺规作图作垂直平分线.作垂直平分线即可. 【详解】解：由垂径定理可知垂直平分线在圆内部的部分即为直径 19．的半径为． 【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理等；连接，设，可得，由线段和差得，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ， ， ， ， 为直径，， ， 在中， ， ， 解得：（舍去），， 故的半径为． 20．(1)4 (2)5 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理的应用． （）根据垂径定理即可求解； （）根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $垂径定理 一、单选题 1.己知圆O的直径CD=I0,AB为圆O的弦，AB=8,且AB⊥CD，垂足为点M，且满 足DM>CM,则AC的长为() A.45 B.4V5 C.25 D.2W5 2.如图，⊙0的半径为5，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是() M B A.4 B.6 C.7 D.8 3.如图所示，一圆弧过方格的格点ABC,试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标 为(0,4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是() A.(-1,2) B.(1,-1 C.-1,1 D.(2,1 4.如图，OO的直径AB与弦CD交于点E,CE=DE,则下列说法错误的是() A 0 公 C D B A.CB=BD B.OE=BE C.CA=DA D.AB⊥CD 5.如图，AD是OO的直径，弦BC与AD交于点E,连接AB,AC,CD,BD.若 BD=CD,∠BAC=50°，则∠ABC的度数为() 答案第1页，共2页 B D A.50° B.55° C.60° D.65° 6.如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E,若B为CD的中点，则下列说法错误的是() A E D A.AC=AD B.OE=BE C.CE=DE D.AB⊥CD 7.如图，AB是⊙0的弦，半径0C1AB,垂足为D.若AB=6,CD=2,则⊙0的直径为 () B C B.6 c.5 D.4 8.如图，BC是⊙0的弦，点A是圆上一点，OA⊥BC于点D.若OA=5,BC=8,则 AD的长是() A.3 B.2 c.万 D.6 9.如图，⊙0的半径为10，AB=16,P是弦AB上的一个动点（不与A,B重合），符合条 件的OP的值不可能是() 答案第1页，共2页 A.7.5 B.6.5 C.6 D.5.5 10.管是灌溉的常用工具之一，如图是一个圆柱形水管在某次灌溉时横截面的示意图，阴影 部分为有水部分，如果水面AB的宽为24cm,水面最深的地方高度为18cm,则该水管的半 径为() B 0 A.12cm B.13cm C.14cm D.15cm 二、填空题 11.在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离 为」 12.如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心0到弦AB的距离为2，则∠A0C的度数为 B 13.如图①是小聪帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右 两竖杆的交点为A,B,AB=32cm,锅盖直径为40cm,则锅盖最低点C到AB的距离是_ cm. 答案第1页，共2页 图① 图② 14.一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm)如图，这枚古 钱币的半径为 mm. ←-10- 15.如图，在00中，弦AB=25,O到AB的距离0C=1,则⊙0的半径为 16.如图所示，在⊙0中，直径CD⊥弦AB,垂足为E,已知AB=6,0E=4,则直径 CD=一· D A ⊙ E 0 三、解答题 17.如图，AB,CD是⊙O的两条弦，且AB=CD,OM⊥AB于M,ON⊥CD于N.求证： 0M=0N. 答案第1页，共2页 D 0 B M 18.如图是一个圆形模具，CD是圆的一条弦，用尺规作出该圆形模具的一条直径.（不写 作法，保留作图痕迹) D I9.如图，在OO中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E,BF⊥AC于F,BF与 CD相交于G.ED=EG,若AB=2√7，OG=2,求O0的半径. 答案第1页，共2页 C G E 20.如图，AB是OO的直径，弦CD⊥AB于点E,连接OC,若OE=3,CD=8. A E D B (I)求CE的长度； (2)求0C的长度. 答案第1页，共2页