微专题10 求二次函数表达式的几种常用方法-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

第三章 二次函数 微专题十求二次函数表达式的几种常用方法 类型一利用一般式y=ax2十bx+c(三点 类型二利用顶点式y=a(x一h)2+k求解 式)求解 3.已知二次函数的图象的顶点坐标为（一2，一2）， 1.(宁波中考)如图，已知二次函数y=x2十 且过点(1,0). bx+c的图象经过点A(1,一2)和B(0,一5). (1)求该二次函数的表达式； (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点 (2)当-5≤x<4时，求函数值y的取值范围. 坐标； (2)当y≤一2时，请根据图象直接写出x的 取值范围 2.已知二次函数的图象经过点A(3,0), 类型三利用交点式y=a(x-x1)(x-x2)求解 B(2,-3),C(0,-3). 4.已知一抛物线与x轴的交点是A(一2,0)， (1)求抛物线的表达式； B(1,0),且经过点C(2,8),求该抛物线的表 (2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对 达式 称的两点，如果点D的横坐标为一2，试求点 E的坐标. 导师激动地对青年说：“你知不知道，你解开了一道有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解出 来，牛顿也没有解出来，你竟然一个晚上就解出来了！你真是天才！”（待续） 83 练测考九年级数学全一册L小 5.(深圳南山区模拟)如图，抛物线y=ax2+ 9.某同学利用描点法画二次函数y=ax2+bx十c bx十c经过点A(一1,0)，点B(3,0),且 (a≠0)的图象时，列出的部分数据如下表： OB=OC. … 0 2 34 (1)求抛物线的表达式； … 0 -2 03… (2)如图，点D是抛物线的顶点，求△BCD 的面积. 经检查，发现表格中有一组数据计算错误， D 请你根据上述信息写出该二次函数的表达 式： 类型六利用几何知识求解 10.如图所示，△ABC是一块锐角三角形材料， 边BC=6,高AD=4,要把它加工成一个矩 形零件EGHF,使矩形的一边在BC上，其 余两个顶点分别在AB,AC上，设EG的长 为x,矩形EGHF的面积为S,求S与 x(0<x<4)之间的函数关系式. 类型四利用平移或对称规律求解 6.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2十2x一1 先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所 得到的抛物线的顶点坐标是 7.已知抛物线C。:y=-x2十2x+1. (1)将C。向右平移3个单位长度，向下平移 2个单位长度得到函数C,的表达式为 (2)将C。沿x轴翻折得到函数C,的表达式 为 (3)将C。沿y轴翻折得到函数C,的表达式 为 类型五利用图表信息求解 8.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛 物线的表达式可能是 ) A.y=x2-x-2 B=1 2x+1 C.y-- 2_1 2x+1 D.y=-x2十x+2 多年以后，这个青年回忆起这一幕时总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难 84 题，我不可能在一个晚上解决它.”这个青年就是数学王子高斯微专题十求二次函数表达式的几种常用方法 1.解：(1)把A(1,-2)和B(0,-5)代人y=x2+bx+c,得 1+b十c=一2”解得=2， c=-5, c=-5 .该二次函数的表达式为y=x2十2x一5. y=x2+2x-5=(x十1)2-6， .顶点坐标为（一1，一6）. (2)如图. 点A(1,一2)关于对称轴直线x=-1的对称点C(-3,一2)， .当y≤一2时x的取值范围是一3≤x≤1. 2.解：(1)设二次函数的表达式为y=ax2十bx十c(a≠0)， 9a+3b+c=0, 1a=1, 由题意，得{4a十2b十c=-3,解得{b=-2, c=-3, c=-3, ∴.这个抛物线的表达式为y=x2-2x一3. (2)由(1)，得y=x2-2x-3. ∴.该抛物线的对称轴是直线x=1. 点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，点D的 横坐标为一2，.点E的横坐标是4， ∴.当x=4时，y=16-8-3=5,∴.E(4,5). 3.解：(1)由抛物线顶点式，设y=a(x+2)2-2(a≠0)， 当x=1时y=a1+2)2-2=0,解得a=名 -91 2 故抛物线的表达式为y=9(x+2)-2 (2)当x=-2时，y=-2;当x=4时，y=6, .当一5x<4时，函数值y的取值范围是一2y<6. 4.解：设这个抛物线的表达式为y=a(x一x1)(x一x2)(a≠ 0),,抛物线与x轴的交点是A(一2,0)，B(1,0), .∴.y=a(x+2)(x-1). 把C(2,8)代入，得8=4a,解得a=2, y=2(x十2)(x-1)=2x2+2x-4, 即该抛物线的表达式为y=2x2+2x一4. 5.解：(1)：抛物线y=ax2十bx十c经过点A(-1,0),点 B(3,0),且OB=OC,.OC=OB=3,.C(0,3). 设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3),将C(0,3)代人， 得-3a=3,∴.a=-1, ∴.抛物线的表达式为y=一(x+1)(x一3)=一x2+ 2x+3. (2),y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,.D(1,4). 如图，过点D作DF⊥AB于点F,交 y D BC于点E. 设直线BC的表达式为y=kx十3，将 (3,0)代入，得0=3k十3，.k=-1, ∴.直线BC的表达式为y=一x十3. 当x=1时，y=2, ∴.E(1,2),∴.DE=4-2=2, Sae=2·DE0B=2×2X3=3, 1 2 6.(1,-3) 7.(1)y=-(x-4)2(2)y=(x-1)2-2(3)y=-(x+1)2+2 8.D9.y=x2-4x+3 10.解：由题意，易得△AEFc∽△ABC, 震子图 6 解得EF=12-3x 2· S=EF.BG1223xx=-2x2+6 2 S与x之间的函数关系式为S=二3十6x(0x<4, 6二次函数的应用 第1课时面积问题 1.B2.525 3.解：设矩形鸡场与墙垂直的一边长为xm,则与墙平行的一 边长为(47-2x+1)m, 由题意，得y=x(47-2x十1)， 即y=-2(x-12)2+288. 因为一2<0， 所以当x=12时，y有最大值为288. 当x=12时，47一x一(x一1)=2425（符合题意）， 所以鸡场的最大面积为288m. 4.解：(1)因为AB=xm,则BC=(28一x)m, 所以x(28一x)=192, 解得x1=12,x2=16, 所以当x=12时，BC=16m; 当x=16时，BC=12m. 所以x的值为12m或16m. (2)由题意可得S=x(28-x)=-x2+28x=-(x 14)2+196, 因为在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和 6m, 所以x≥6,28-x≥15，所以6≤x≤13. 因为a=-1<0,且对称轴为直线x=14, 所以在6≤x≤13范围内，S随x的增大而增大， 所以当x=13时，S有最大值， S鼓大值=-(13-14)2+196=195. 所以花园面积S的最大值为195m2, 5.C6.B 7.解：(1)根据题意，可得矩形较长边MD=AB-AM=(6 x)m, 则小正方形的边长EH=MD一AM=(6一2x)m. EH>0, ∴.6-2x>0, 解得x<3. 四个矩形用材料甲制作，中间的小正方形EFGH用材料 乙制作，且甲材料的价格为8元m,乙材料的价格为 5元m2, ∴.y=4·8x(6-x)+5(6-2x)2, 整理，得y=-12x2+72x十180， .y与x之间的函数表达式为y=一12x2+72x十180(0< x<3).