3.5 确定二次函数的表达式 同步训练 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

2.5 确定二次函数的表达式 同步训练 一、单选题 1．若抛物线的顶点坐标为，与轴相交于点，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线先向左移动3个单位，再向下移动2个单位，所得新抛物线经过原点，则a的值为（    ） A． B． C． D． 3．若二次函数的图象经过点，则下列选项中，对应的的值最大的是（   ） A． B． C． D． 4．已知二次函数（）的图象经过点，，，则当时，x的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D． 5．二次函数（a，b，c为常数，且）与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列关于二次函数的说法中正确的是（    ） A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是3 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是8 6．如图，若二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 7．已知二次函数（，，为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象经过第二、三、四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图象的对称轴是直线 8．二次函数的与的部分对应值如下表： … … … … 则下列判断中正确的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当时，随的增大而减小 D．当时 二、填空题 9．写出一个满足与抛物线开口方向相同，且过点的抛物线的表达式： ． 10．已知二次函数的图象经过点，则当时，y的取值范围是 ． 11．已知二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 10 5 2 1 2 5 若点都在该函数的图象上，则 ．（填“>”，“<”或“=”号） 12．若二次函数（）的x与y的部分对应值如下表：则当时，y的值为 ． x 0 1 2 3 y 14 7 2 三、解答题 13．抛物线与轴交于点，，与轴交于点，求抛物线的解析式． 14．已知二次函数的图象如图所示．求该二次函数的表达式． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．    (1)求这条抛物线的解析式； (2)当时，求出函数值的取值范围； (3)当时，求函数值的最大值． 16．在二次函数中，与的几组对应值如表所示． … … … … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)根据图象写出一条函数性质． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据顶点坐标设抛物线解析式为，再代入点，求出系数，问题得解． 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴设解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴解抛物线析式为． 故选：A 2．D 【分析】本题考查抛物线的平移规律，掌握“左加右减”和“上加下减”的原则是解题的关键． 根据抛物线平移规律求出平移后的解析式，再代入原点求解a． 【详解】解：由题意得平移后的抛物线表达式为：。 ∵所得新抛物线经过原点(0,0)， ∴ 代入得， 解得， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图象性质．由于二次函数图象经过点和，可设交点式，再代入点表达a的值，然后计算各选项中a的值并比较大小，即可作答． 【详解】解：∵图象经过和， ∴设二次函数为 ， ∵图象经过点， ∴， ∴， 当，则， 当，， 当，， 当，， ∵， 故a的值最大为， 故选：B． 4．A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质与性质是解题的关键，由点和可知二次函数的根为和，再代入点求出系数，从而函数开口向上，故时的取值范围在根之外． 【详解】解：∵ 二次函数图象经过点和， ∴ 和是的两个根， 设二次函数为， ∵函数图象过： ∴， ∴， ∴， ∴，即： ∴， ∴或 故选A． 5．D 【分析】本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是求出二次函数解析式． 利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据其性质，对称性，增减性进行判断即可． 【详解】解：将二次函数转化为， 又∵二次函数的顶点坐标为， ∴， ∵二次函数与x轴的一个交点的横坐标是， ∴ ， ∴二次函数的解析式为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是4，故选项B错误； ∵，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 将代入解析式得 ， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是8，故选项D正确， 故选D． 6．A 【分析】本题考查了二次函数图象上的点，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．将坐标代入二次函数表达式即可求出a的值，再由二次函数图象开口向上即可得出结果． 【详解】解：把代入函数解析式， 得： 解得， 由图象得：开口向上， ， 故． 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据即可判断选项A；根据四个象限内均存在函数图象经过的点，即可判断选项B；根据二次函数的增减性和对称性即可判断选项C、D． 【详解】解：将点，和代入二次函数得： ， 解得， 二次函数的解析式为， ， 函数图象的开口向下，故A选项错误，不符合题意； 当时，， 当时，， 函数图象经过点， 位于第一象限， 函数图象经过点， 位于第三象限， 由表格可知，函数图象经过点， 位于第二象限， 函数图象经过点， 位于第四象限， 这个二次函数的图象经过第一、二、三、四象限，故B选项错误，不符合题意； 对称轴为直线 ， ， 当时，的值随的值增大而增大， 当时，的值随的值增大而减小，故C选项错误，不符合题意； D选项正确，符合题意． 故选：D ． 8．C 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．根据表格数据，代入二次函数解析式求出、、的值，得到函数表达式，再逐一分析各选项． 【详解】解：把，，代入解析式， 得 解得 二次函数为， A、，抛物线开口向下，故该选项错误； B、当时，，抛物线与轴交于正半轴，故该选项错误； C、对称轴，，当时，随增大而减小，故该选项正确； D、当时，，故该选项错误． 故选：C． 9．（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的开口方向由二次项系数的符号决定，并利用待定系数法确定函数表达式． 先根据开口方向相同确定二次项系数的符号，再结合过点确定常数项，进而写出抛物线表达式． 【详解】解：抛物线的二次项系数为1，开口向上， 要满足与它开口方向相同，则所求抛物线的二次项系数也需大于0， 又因为抛物线过点，将代入抛物线一般式，可得， 不妨取，则抛物线表达式为． 故答案为：（答案不唯一）． 10． 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值． 先将点代入函数解析式求出 b 的值，得到二次函数表达式，再根据开口方向和对称轴确定当的最值即可． 【详解】解：将点代入，得，即， 解得， 因此函数为． 该二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 比较端点值：当时，； 当时，． 因此，最大值为5， 故y的取值范围是． 故答案为：． 11．> 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据表格数据，确定二次函数的解析式，进而计算点A和点B的函数值，比较大小，即可作答． 【详解】解：由表可知，当时，，代入，得； 当时，，代入，得，解得； 故二次函数为， ∵点都在该函数的图象上， 则， ∵， ∴， 故答案为：>． 12． 【分析】本题考查了求二次函数解析式． 求出二次函数解析式，将代入计算即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数经过、、， 则， 解得：， 即， 当时，． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键，用待定系数法求函数的解析式即可． 【详解】解：将点、代入得： ， 解得：， ∴． 14． 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式．利用待定系数法求出二次函数的解析式． 【详解】解：根据图象可设二次函数的表达式为，且过点， ， 解得． 该二次函数的表达式为． 15．(1)抛物线的解析式为 (2)的取值范围是 (3)当时，的最大值为，当时，的最大值为16 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把点，代入进行计算，即可作答． （2）先根据得出对称轴为直线，抛物线开口向上，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． （3）理解题意，根据，进行分类讨论，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：抛物线经过点，． ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为； ∴对称轴为直线， 又， ∴抛物线开口向上， 当时，随的增大而减少； 当时，随的增大而增大． 则当时，， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是 （3）解：由（1）得抛物线的解析式为；对称轴为直线，抛物线开口向上， 当时，， 令， 解得，， 当时，随的增大而减少． 当时，随的增大而增大． ①当时，在有最大值 ②当时，在有最大值 综上所述，当时，的最大值为，当时，的最大值为16 16．(1) (2)顶点坐标为，见解析 (3)时，随的增大而减小；时，随的增大而增大（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由表格所给数据用待定系数法求函数解析式； （2）将二次函数解析式化为顶点式求顶点坐标，描点连线画函数图像； （3）写出二次函数的增减性（答案不唯一）． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 由题意图象过，，代入得， ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：， 顶点坐标为． 作图如下： （3）解：当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大（答案不唯一） 学科网（北京）股份有限公司 $