第3章 二次函数章末复习-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

第三章 二次函数 章末复习 考点一函数 1.(齐齐哈尔中考)在函数y= 人、1 √x-1 x-2 中，自变量x取值范围是 2.(赤峰中考)已知王强家、体育场、学校在同 一直线上，下面的图象反映的过程是：某天 早晨，王强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结 第5题图 第6题图 束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学 6.（日照中考)已知二次函数y=ax2+bx+c 校.图中t表示时间，y表示王强离家的距 (a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线 离.则下列结论正确的是 .(填写所 3 有正确结论的序号) x一 ,且经过点(-1,0)，下列结论： ①体育场离王强家2.5km ①3a+b=0: ②王强在体育场锻炼了30min ③王强吃早餐用了20min ②若点(y).(3,y)是抛物线上的两点， ④王强骑自行车的平均速度是0.2km/min ↑y/km 则y1<y2; ③10b-3c=0; ④若y≤c,则0≤x≤3. 其中正确的有 A.1个 B.2个 1530 6787102t/lmim C.3个 D.4个 考点二二次函数的图象与性质 7.已知二次函数y=一x2-2x十3，当a≤x≤ 3.抛物线y=2(x十9)2一3的顶点坐标是 ( 时，函数值y的最小值为1，则a的眉 A.(9,-3) B.(-9,-3) C.(9,3) D.(-9,3) 为 4.(郴州中考)关于二次函数y=(x-1)2+5, 考点三抛物线的平移与表达式的确定 下列说法正确的是 ( 8.小嘉说：将二次函数y=x2的图象平移或翻 A.函数图象的开口向下 折后经过点(2,0)有4种方法： B.函数图象的顶点坐标是（一1,5） ①向右平移2个单位长度 C.该函数有最大值，最大值是5 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个 D.当x>1时，y随x的增大而增大 单位长度 5.如图，若抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)与 ③向下平移4个单位长度 x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,若 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度 ∠OAC=∠OCB,则ac的值为 你认为小嘉说的方法中，正确的有 ( A.-1B.-2 C.a D. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 太阳光谱由红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七色组成.以牛顿为代表的科学家，曾对“七音”与“七色”之间奥 妙的对应关系进行过有趣的探索.人体生理结构分为七大系统.（待续） 107 练测考九年级数学全一册L小 9.(泰安宁阳县期末)抛物线y=一x2十bx十c 11.(成都锦江区模拟)在探究关于x的二次三 与直线y=-x十5的一个交点为A(2,m), 项式x2+12x一15的值时，小明计算了如 另一个交点B在x轴上，点P是线段AB上 下四组值： 异于A,B的一个动点，过点P作x轴的垂 x 1.1 1.2 1.3 1.4 线，交抛物线于点E x2+12x-15 -0.590.84 2.29 3.76 (1)求抛物线的表达式； 小明说，他通过这四组值能得到方程x2十 (2)是否存在这样的点P,使线段PE的长度 12x一15=0的一个近似根，这个近似根的 最大？若存在，求出最大值及此时点P的坐 个位是 ,十分位是 标；若不存在，说明理由。 考点五二次函数的实际应用 12.如图，用一根60cm的铁丝制作一个“日” 字型框架ABCD,铁丝恰好全部用完， (1)若所围成的矩形框架ABCD的面积为 144cm2,则AB的长为多少厘米？ (2)矩形框架ABCD面积的最大值为 cm. 考点四二次函数与一元二次方程的关系 10.(衡阳中考)已知m>n>0,若关于x的方 程x2+2x一3-m=0的解为x1,x2(x1< x2),关于x的方程x2+2x一3-n=0的解 为x3,x4(x3<x4).则下列结论正确的是 () A.x3<x1<x2<x4 B.x1<x3<x4<x2 C.x<x2<x3<x D.x3<x4<x1<x2 旧约圣经中上帝创造世界用了七天，因此一个星期有七天.就连神话中的牛郎织女也选“七夕”来相 108会.门捷列夫的“元素周期表”中有七个周期，还有七个主族，七个副族， 第三章二次函数 13.[应用意识]某企业投入60万元（只计入第 考点六二次函数的综合应用 一年成本)生产某种产品，按网上订单生产 14.（泰安中考)若二次函数y=ax2十bx十c的 并销售（生产量等于销售量）.经测算，该产 图象经过点A(一2,0)，B(0,一4)，其对称 品网上每年的销售量y(万件)与售价 轴为直线x=1,与x轴的另一交点为C. x(元件)之间满足函数关系式y=24一x, (1)求二次函数的表达式； 第一年除60万元外其他成本为8元/件. (2)若点M在直线AB上，且在第四象限， (1)求该产品第一年的利润心（万元）与售 过点M作MN⊥x轴于点N 价x之间的函数关系式； ①若点N在线段OC上，且MN=3NC,求 (2)该产品第一年利润为4万元，第二年将 点M的坐标； 它全部作为技改资金再次投入（只计入第 ②以MN为对角线作正方形MPNQ(点P 二年成本)后，其他成本下降2元/件 在MN右侧)，当点P在抛物线上时，求点 ①求该产品第一年的售价； M的坐标. ②若第二年售价不高于第一年，销售量不超 过13万件，则第二年利润最少是多少万元？ B (备用图) 蝴蝶效应美国气象学家爱德华·洛伦兹于1963年在一篇提交纽约科学院的论文中分析了这个效 应，名叫“一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在Taxas引起龙卷风？”（待续） 109即直线AB的表达式为y= 3x+65, 则五=（ 60x2+3 1 2x+65白-3x+65=白 5W3 6, 53 6 所以当x= =253时，h取得最大值，此时 2×（-60 因为0<25√3<50W3, 所以当x=25√3时，h取得最值，符合题意， 将x=25√3代入x=10√3t,得25√3=10W3t, 解得t=2.5, 即当t为2.5s时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最 大值是5m 9.解：(1)由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x=一2，顶 点坐标为（一2,2），将点P(a,6)代入抛物线表达式， 得6=子（a十2)+2，解得a=-6或2（含去）， 即点P的坐标为（一6,6）. 故抛物线的对称轴为直线x=一2，顶点坐标为（一2,2）， a=-6. (2)对于抛物线C:y=4(x十2)+2， 当x=0时，y=3,即点A(0,3). 抛物线C:y=2-x-2可整理为y=(x-2)-3. 1 。1 相当于把抛物线C:y=4(x+2)2+2,先向右平移4个单 位长度，再向下平移5个单位长度，所以m=4,n=一5. 则数对[m,n]的值为[4，-5]. 抛物线C:y-子-t-2与y轴交于点A则点A0,-2》. 则△AAP的面积=专×AM·xr=号×5×6=15，即 △AA'P的面积为15. 章末复习 1.x>1且x≠22.①③④3.B4.D5.A6.C 7.-1-√38.D 9.解：(1)对于y=一x十5，令y=0,则x=5,故点B的坐标 为(5,0)， 将点A的坐标代入y=-x十5，得m=-2+5=3,故点A 的坐标为(2,3)， 把A(2,3),B(5,0)代入y=-x2+bx十c, 得一4+26十c=3:解得6=6， -25+5b+c=0, lc=-5, ∴.y=-x2+6x-5. (2)假设存在符合条件的点P,并设点P的横坐标为， 则E(n,-n2+61-5),P(n,5-n), .∴.PE=-n2+6n-5-(5-n)=-n2+7n-10= -(n-3.5)2+2.25. 3 一1<0，∴PE有最大值 2<n<5,当n=3.5时，PE最长，PE长度的最大值为2.25， 此时点P的坐标为(3.5,1.5). 10.B11.11 12.解：(1)设框架的长AD=xcm,则宽AB=60,2 3 cm, 根据题意，得x.60,2红=14，解得x=12或1=18. 将x=12或x=18代入602z 3 得AB=12cm或8cm. 所以AB的长为12cm或8cm. (2)设框架的长AD为xcm, 则宽AB为0之m 所以S=x.60-2x 3 即s=号+20x=号-15r+150, 因为一号<0，所以要使框架的面积最大则上=15，此时 AB=10,最大面积为150cm2. 答案：150 13.解：(1)根据题意，得w=(x一8)(24-x)-60=-x2+ 32x-252. (2)①因为该产品第一年利润为4万元， 所以4=-x2+32x一252，解得x=16. 故该产品第一年的售价是16元. ②因为第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超 过13万件， 所以s6. 解得11x16. 24一x13, 设第二年利润是'万元， =(x-6)(24-x)-4=-x2+30x-148. 因为抛物线开口向下，对称轴为直线x=15,又11≤ x16,所以当x=11时，'有最小值，最小值为(11一 6)×(24-11)-4=61(万元). 故第二年的利润最少为61万元. 14.解：(1)因为二次函数y=ax2十bx十c的图象经过点 B(0,一4)，所以c=一4. 因为抛物线的对称轴为直线x=1,经过点A(一2,0)， 所以 2a =1 解得 a=2 4a-2b-4=0, 6=-1, 1 所以抛物线的表达式为y=2x2-x一4 (2)①设直线AB的表达式为y=kx十n(k≠0)， 把A(-2,0),B(0,-4)代入， 得厂2十n=0 n=-4, 解得2. (n=-4,. 所以直线AB的表达式为y=一2x一4. 因为点A,C关于直线x=1对称，所以C(4,0). 设N(m,0)(0m<4),因为MN⊥x轴， 所以M(m,一2m-4),所以MN=2m+4, 因为MN=3NC,NC=4-m,所以2m+4=3(4-m), 所以m=号所以点M停-）。 ②如图，连接PQ,与MN交于点E.设M(t,一2t一4)，则 点N(t,0), 因为四边形MPVQ是正方形， 所以PQ⊥MN,NE=EP,NE 2MN, 所以PQ∥x轴，E(t,一t-2), 所以NE=t+2,所以ON+EP= ON+NE=1+1+2=21+2, 所以P(2t+2,-t-2). 1 因为点P在抛物线y=2x2-x一4上， 所以2(2+22-(21+2》-4=1-2， 1 解得t1=22=-2. 由题意，知点P在第四象限，所以：=， 所以点M坐标为（合一5）】 第四章投影与视图 1投影 第1课时中心投影 1.A2.A3.D4.B5.变小6.97.45cm 8.解：(1)点P位置如图. (2)线段MQ如图. P Q N 9.B10.B11.B12.4 13.解：(1)如图，点O为路灯的位置， 0 、.B A M P O (2)如图，作OA垂直于地面.由题意，得AM=20步， MP=5步，MN=PB=1.6(m). 因为MNOA, 所以△PMN∽△PAO, 所以哈n 解得OA=8m. 因为PBOA,所以△QPBC∽△QAO, 所u费器即pd5 解得PQ=华 所以路灯的高为8m,影长PQ为5步. 3 14.解：(1)如图，连接MA,B并延长MA,NB,它们的交点为路 灯O的位置，再连接QC,OD,并延长OC,OD交地面于P,Q 两点，连接PQ,则PQ为CD的影子，所以点O和PQ为所作. B C六D MF N P O (2)如图，作OF⊥MN交AB于E,交MN于F. 由题意，知AB=1.2m,EF=1.2m,MN=2m ,ABMN,∴.△OAB∽△OMN, .AB:MN=OE:OF,即1.2：2=(OF-1.2):OF, 解得OF=3m. ∴.路灯O与地面的距离为3m. 第2课时平行投影及正投影 1.B2.D3.C4.A5.平行6.C7.C 8.三角形（答案不唯一）9.A 10.解：(1)如图，连接AC,过点D作DF∥AC,交直线BC延 长线于点F,连接EF,则线段EF即为DE的投影 01 说明：画图时，不要求学生做文字说明，只要画出两条平行 线AC和DF,再连接EF即可. (2).AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE :∠ABC=∠DEF=90°， ∴.△ABC△DEF, ..AB_BC 5 3 DEEF心DE=6, .DE=10m. 11.C12.C13.B14.S1=S<Sg 15解：①)由题意，得8= 即16=二，解得BD=162(米). BD 2 答案：16√2 (2)如图，过E作EF⊥AB于点F, 则四边形BDEF为矩形 ∴.FE=BD,FB=ED ,物高与影长的比是1：2， 年AF=号n=8反（米. ∴.DE=FB=(16-8V2)米 .落在乙楼上的影子DE的长为(16-8√2)米. 16.解：连接CD,DO⊥BF, 4 B .∠D0E=90°，，OD=0.8m,OE=0.8m,