3.7 第2课时利用图象法求一元二次方程的近似根-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

练测考九年级数学全一册LJ 第2课时 利用图象法求一元二次方程的近似根 (教材P107-P111内容) ~基础夯实 5.小颖用几何画板软件探索方程ax2十bx+c=0 知识点一利用表格求一元二次方程的近似根 (a≠0)的实数根，作出了如图所示的图象.观 1.(东营期末)下表中列出了二次函数 察后得一个近似根为x1=一4.5，则方程的另 y=ax2十bx十c(a≠0)的一些对应值，则一 一个近似根为x2= (精确到0.1) 元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)的一个 近似解x1的范围是 -3-2 345x -3 -2 -1 0 -11-5 -1 A.-3<x1<-2 B.-2<x1<-1 6利用二次函数图象求方程-号2+x十2=0 C.-1<x1<0 D.0<x1<1 的近似解（精确到0.1）. 2.小颖在探索一元二次方程x2+十x一7=0的 近似解时作了如下表的计算 0 2 3 x2+x-7 -7 -5 5 观察表中对应的数据，可以估计方程的其中 一个解的整数部分是 ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.观察表格，一元二次方程x2一x一1=0的最精 7.可以用如下方法求方程x2一2x一2=0的实 确的一个近似根是 (保留一位小数) 数根的范围：利用函数y=x2一2x一2的图象 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 可知，当x=0时，y<0;当x=-1时，y>0, x2-x- -0.44 -0.25 0.040.19 0.44 所以方程有一个根在一1和0之间. 知识点二 利用图象法求一元二次方程的近 (1)参考上面的方法，求方程x2一2x一2=0 似根 的另一个根在哪两个连续整数之间； 4.(临沂临沭县期末)如图，点A(2.18,一0.51)， (2)若方程x2-2x+c=0有一个根在0和1 B(2.68,0.54)在二次函数y=a.x2+bx十c 之间，求c的取值范围. (a≠0)的图象上，则方程ax2十bx+c=0的 一个近似根可能是 () B2.68,0.54) -2-10 2/34x A(2.18,-0.51) A.2.18 B.2.68 C.-0.51D.2.45 古希腊数学家尼柯玛赫早就提出“音乐是对立因素的和谐统一，把杂多导致统一，把不协调导致协 96 调.”简言之，就是“一”变“多”，“多”变“一”的原理.中国俗语也有“九九归一”.（待续） 第三章二次函数 能力提升 (2)已知函数y=一6的图象（如图所示），利 8.下表给出了二次函数y=ax2十bx十c(a≠0) 的自变量x与函数值y的部分对应值，那么 用图象求方程 一x十3=0的近似解（结果 方程ax2+bx+c=0的一个根的近似值可能 精确到0.1). 是 ( ) 1.1 1.2 1.3 1.4 y -1 -0.49-0.040.591.16 A.1.08 B.1.2 C.1.28 D.1.38 9.(济南模拟)二次函数 y=一x2+mx的图象如 图，对称轴为直线x=2, 若关于x的一元二次方程 -x2十mx一t=0(t为实数)在1<x<5的范 围内有解，则t的取值范围是 A.t>-5 B.-5<t<3 C.3<t≤4 D.-5<t≤4 10.（泰安模拟)已知二次函数y=ax2+bzx十2 (a,b是常数)的图象与y轴交于点A,点A 与点B关于抛物线的对称轴对称，且点 C(x1y1),D(x2,y2)在该函数图象上.二次 函数y=ax2+bx+2(a,b是常数)中的自变 量x与函数值y的部分对应值如表： x … -2 -1 0 1 3 y=a.x2十 -10-3 bx+2 下列结论：①点B的坐标是(2,2)；②这个函 数的最大值大于5；③ax2+bx=-1有一个 根在4与5之间；④当0<x1<1,4<x2<5 时，y1>y2.其中正确的为 .(将所 ~素养培优 有正确结论的序号都填入) 12.(扬州中考)方程x2+3x一1=0的根可视为 11.利用图象解一元二次方程x2十x一3=0时， 我们采用的一种方法：在平面直角坐标系中 函数y=x十3的图象与函数y=的图象交 画出抛物线y=x2和直线y=一x十3的图 点的横坐标，则方程x3十2x一1=0的实根 象，两图象交点的横坐标就是该方程的解， x。所在的范围是 () (1)利用图象解一元二次方程x2十x一3=0 A.0< 也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出 3 抛物线 和直线y=一x,其交点的 1 1 .9x。<2 横坐标就是该方程的解。 D.2<x<1 文艺复兴时期以来专业音乐在内容上和形式上尽管存在天壤之别，但都共同遵循这个原理.音乐上许多 发展乐思的手法，如重复、变奏、衍生、展开、对比等，有时强调统一，有时强调变化.（待续） 97k=- 1 解得 4’y= 4x十40， b=40, 130(0<x≤40)， .y= 1 -4x+40(40<x≤100). (2)①设甲种花卉种植面积为xm,则乙种花卉种植面积 为(360一x)m.·甲种花卉种植面积不少于30m,且乙种 花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍， -28 解得30x90. ②当30≤x≤40时，w=30x+15(360-x)=15.x+5400, ,15>0, ,∴，当x=30时，心取最小值，为15×30十5400=5850； 当40<≤90时，w=x(-7x+40）+15(360-x) 4(x-50)2+6025. :一1<0，对称轴为直线工=50且50-40<90-50， 4 气90时，w取最小值，为一×(90一50)+6025 5625. .56255850 .当x=90时，w取最小值，为5625， 此时360一x=270. 因此，甲种花卉种植面积为90m2,乙种花卉种植面积为 270m,才能使种植的总费用（元）最少，最少是5625元. 5y=日 6.解：(1)根据题意，可知点F的坐标为(6，一1.5)，可设拱桥 侧面所在二次函数表达式为y1=a1x2(a1≠0). 将F(6,-1.5)代入y1=a1x2,得-1.5=36a1, 解得a== 当x=12时三24122三二6， ∴.桥拱顶部O离水面高度为6m. (2)①由题意，可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(6， 1),可设其表达式为y2=a2(x-6)2+1(a2≠0). 将H(0,4)代入其表达式，得4=a2(0-6)2+1, 解得a2=12 1 小右边钢缆所在抛物线表达式为y:=12(x一6)十1 1 或同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为y,=2(x十 6)2+1. ②设彩带的长度为Lm, 则L=-=2x-6+1-(2）=8- 1 1 4=8(x-4)2+2. g00<6 ∴当x=4时，L取最小值，L最小值=2. ∴，彩带长度的最小值是2m 7二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程的关系 1.A2.C3.A4.C 5.(1)证明：当y=0时，2(x-1)(x-m-3)=0, 解得x1=1,x2=m十3. 当m十3=1，即m=一2时，方程有两个相等的实数根； 当m十3≠1，即m≠一2时，方程有两个不相等的实数根. 不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点. (2)解：当x=0时，y=2m十6，即该函数的图象与y轴交点 的纵坐标是2m十6. 当21十6>0，即m>一3时，该函数的图象与y轴的交点 在x轴的上方. 6.C7.x1=-2,x2=18.①③④9.A10.D11.D 12.B13.m>3 14.解：(1)将(2,4)代入y=x2+mx十m2-3, 得4=4十2十m2-3,解得m1=1,m2=-3. 又.m>0,∴.m=1. (2)m=1,.y=x2+x-2. 令y=0,即x2+x-2=0. .'△=b2-4ac=12+8=9>0, ∴.一元二次方程x2十x一2=0有两个不相等的实数根， 二次函数图象与x轴有2个交点。 15.C 第2课时利用图象法求一元二次方程的近似根 1.C2.C3.1.64.D5.2.5 6解：函数y=一号十十2的图 象如图所示 设-号十z十2=0的两根分别 -210 为x1,x2,且x1<x2,观察图象可 -2 知-2<x1<-1,3<x2<4. 当x1时y=二2×(-102-1+2=0.5>0，遇 =-1.5时y=2×(-1.5)2-1.5+2=-0.625<0 ∴.-1.5<x1<-1. :当x=3时y=-2×3+3+2=0.5>0,当x=3.5 时，y=7X3.5+3.5+2=-0.625<03<x2<3.5 继续缩小根所在的范围如下： -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 y -0.625 -0.38 -0.145 0.08 0.295 x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.295 0.08 -0.145 -0.38-0.625 1 六方程一22+x+2=0的根x1的近似值为-1.2x:的 近似值为3.2. 7.解：(1)利用函数y=x2一2x一2的图象可知， 当x=2时，y<0,当x=3时，y>0, 所以方程的另一个根在2和3之间. (2)函数y=x2-2x十c的图象的对称轴为直线x=1, 由题，得2k0 解得0c<1. 8.B9.D10.②③④ 11.解：(1)y=x2-3 (2)如图， 由图象得出方程的近似解为x1≈一1.4，x2≈4.4. 12.C 微专题十二二次函数的图象与系数的关系 1.A2.C3.D4.C5.D6.D7.B8.B9.C10.C 11.B12.C13.-4<m<0 14.解：(1)，点(2,2)是此函数的同值点， .抛物线经过点(2,2)， 将(2,2)代入y=2x2+3x十m,得2=8+6十m, 解得m=-12. (2)(a,a),(b,b)在直线y=x上，令2x2+3x十m=x, 整理，得2x2+2x+m=0, ,函数有两个相异的同值点， “4=2-8m>0,解得m< 设y=2x2+2x+m,a<1<b, ∴.x=1时，y=4十m<0, 解得m<-4. 微专题十三 二次函数与方程、 不等式的综合应用 1.A2.D3.C4.(0,-3) （20)或(-3.0)5.4 6.27.(3,0)或(4,0) 8.解：(1)抛物线y=2x2一4x十c与x轴有两个不同的 交点， ∴.二次函数2x2一4x十c=0有两个不相等的实数根， ∴.△=b2-4ac=16-8c>0,.c<2. (2)m<n.理由如下：抛物线y=2x2一4x十c的对称轴为直 线x=1, .当x≥1时，y随x的增大而增大，A(2,m)和点B(3,n) 都在对称轴的右侧，.m<n. 9.解：(1)将点A(0,一3)，B(一2,5)代入y=x2+bx+c中， 得3=c, 6%+6- ∴.抛物线的表达式为y=x2-2x-3. (2)令y=0,则x2-2x-3=0, 解得x1=-1,x2=3, .C(-1,0),D(3,0), .∴.CD=3一（一1）=4，即抛物线向右平移的距离为4： 10.解：(1)抛物线y=x2+bx十c与x轴交于点A(-1,0), B(4,0), 一的都得任 1c=-4. ∴抛物线的表达式为y=2-3x-4=(红-)25 p(是) (2)连接OP, A(-1,0),B(4,0),C(0,-4), 1 :.S orc-2 3 ×4×2=3, 1 2525 S△=2X4X4=2 5m=5ae+5am-5ar=3+2-8-5 11.B12.x1=-3,x2=1 13.解：(1)，直线y=kx+2经过点C,C在y轴上， .C(0,2) 设抛物线的表达式为y=a(x十3)(x一1)，把C(0,2)代 入，得2=-3a,解得a=-2 3 ∴y= +0-1》--+2. 即这个二次爵数的表达式为)=一号：一号十2 (2把A(-30代入y-c+2.得-=号 y=2 x+2. 设点Ma,-号r-青m+2)则Nm号m+2, 则N=-号-n+2(m+2)=-号 2m=号(m+2)+ -号0-3m<0 当m=一号时MN有设大值号， 比时-号m-青m十2-8M() 4 即当点M的堡标为(-号号)时，线段MN有放大值，最 大值为是 14解，1将A(0.-号)代人y=}-号十c, (2)设M(x,-2). A(0,-）B53. Aw=+(-2+)f=+第 BM2=(x-5)2+(-2-3)2=x2-10x+50, AB=子+(3+)广=3+g ,∠AMB=90°，.AM+BM=AB2, 即+0+2-10+90=3+ 8