第三章 专题五 二次函数系数与图象形状和对称轴的关系-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(鲁教版2012 五四学制)

专题五二次函数系数与图象形状和对称轴的关系（答案27） (含课程标准新增考查内容) 类型1根据表格中x,y的对应值确定二次 :类型2根据二次函数的表达式确定其对称轴 函数的对称轴 3.已知二次函数y=(x一5)2一2，那么该二次函 1.已知二次函数y与自变量x的部分对应值 数图象的对称轴是( ) 如表： A.直线x=5 B.直线x=-5 -3 -20 1 3 C.直线x=2 D.直线x=-2 > 0 -8 -9-50 40 4.在平面直角坐标系中，设二次函数y=(x十 a)(x一a一1)，其中a≠0，则此二次函数图象 则二次函数图象的对称轴是() 的对称轴为直线x= A.x=-1 B.x=1 5.已知二次函数y=ax2-2ax-2(a>0) C.x=4 D.x=-4 (1)求该二次函数图象的对称轴， 2.二次函数y=ax2十bx+c(a,b,c是常数， (2)当一1≤x≤5时，函数图象的最高点为 a≠0)的自变量x与函数y的部分对应值如 表所示。 M,最低点为N,点M的纵坐标为号，求点M x 0 和点N的坐标. y= (3)对于该二次函数图象上的两点A(x1,y1), ax2+bx+c B(x2,y2),当t+1<x1<t+2,t+3<x2< 根据上表，回答下列问题： t十4时，均有y1≠y2,请结合图象，直接写出 (1)直接写出c的值和该二次函数图象的对称轴. t的取值范围. (2)写出关于x的一元二次方程ax2+bx+ c=t的根， 类型3根据对称轴确定二次函数的系数 1 6.运算能力》已知二次函数y=2x2十b6x十C 的图象经过点A(c,2),且这个二次函数图象 的对称轴是直线x=3,则二次函数的表达式 为 96 九年级·上册数学，鲁载版 7.已知y=x2十(1-a)x+2是关于x的二次 的是() 函数，其对称轴为直线x=2. (1)a的值为 (2)当0≤x≤4时，y的取值范围是 8.已知某二次函数的图象是由二次函数y=2x2 的图象平移后得到的，并且该二次函数图象 的对称轴是直线x=1,同时该二次函数的图 A.b恒大于0 B.a,b同号 象经过点(3,2)，求这个二次函数的表达式. C.a,b异号 D.以上说法都不对 11.新视野如图所示是二次函数y=ax2十 bx十c的图象的一部分，图象过点A(3,0), 二次函数图象的对称轴为x=1,给出下列结 论：①b2>4ac;②bc<0;③2a+b=0;④a+ b+c=0;⑤当-1<x<3时，y<0.其中正 确的结论是() A.②③⑤ B.①③ C.②③ D.①④⑤ 12.推理能力》已知二次函数y=ax2十bx十c 类型4根据抛物线图象形状确定其对称轴 (a≠0)的部分图象如图所示，抛物线的对称 9.已知一个二次函数的图象如图所示，根据图 象可得： 轴为直线x-,且经过点（一1,0>，下列结 (1)函数图象的顶点坐标为 论错误的是( ) (2)图象的对称轴为直线 (3)当x= 时y有最大值，是 (4)当 时，y随x的增大而增大。 (5)当 时，y>0. A.3a+b>0 B若点(-2y小，（侵y)是抛物线上的两 类型5根据对称轴完善抛物线图象形状 点，则y1>y2 10.如图所示，直线l为二次函数y=ax2+bx+ C.10a+c>0 c(a≠0)的图象的对称轴，则下列说法正确 D.若y≤c,则0≤x≤3 一优沙学案·课时通 97(3)由图象，知当一x十2>ax2时，x的取值范围一2< 专题五二次函数系数与图象 x<1. 12.解：(1)以AB的中点为平面直角坐标系的原点O,AB所在 形状和对称轴的关系 线为x轴，过点O作AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标 (含课程标准新增考查内容)） 系如图所示： 1.B 2.解：(1)根据图表可知： 二次函数y=ax2+bx十c的图象过点(0，一2)，(1，-2)， 小对称箱为直俊0安-2。=一2 (2)根据二次函数的对称性可知： （一20)关于对称轴直线x=号的对称点为8)， 根据所建立的平面直角坐标系可知，B点的坐标为(8,0)，抛 物线的顶点坐标为(0,4)， 即x=-2和x=3是关于x的方程ax2十bx十c=t的两 因此设抛物线的函数表达式为y=ax2十4， 个根 3.A 将B(8,0)代入，得82×a十4=0， 1 解得a=- 、 16 解析：，二次函数y=(x十a)(x一a一1)， ,该二次函数图象经过点（一a,0)和(a十1,0）， 1 一所求的抛物线的函数表达式为)y=一1622+4， ·对称轴为直线工=二a十a十1_1 2 -2 2)由题意，令y=1得y=G2+41, 5解：1)该二次函数图象的对称轴是直线x=-,2 =1 2a 解得x=士4√3,4√3-(-45)=8V3(米).则水面上升 (2)该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1, 1米后的水面宽度为8√3米 -1x≤5， (3)由题意，当x=1.6时，y=一i6×(1.6)2+4=3.84. ∴当=5时的值最大，即M6,号》 .这艘货船的高为2.16米， ∴，水面在正常水位的基础上最多能上升3.84一2.16= 把6，号)代入y=ax2-2ax-2,解得a= 1.68(米). 1 13.解：(1)由已知，得点B的横坐标为3， 该二次函数的表达式为y=2x2-x-2. 点A的纵坐标为0. ,点A,B在直线y=x+1上， 当x=1时=-N(.-)》月 .A(-1,0),B(3,4). (3)a>0,开口向上，对称轴x=1, 把A(-1,0),B(3,4)代入y=一x2+bx十c, 当t+1<x1<t+2,t+3<x2<t+4时，均有y1≠y2, 得 -1-b+c=0, ∴.t+4<1,解得t<-3;或t+1>1,解得t>0. -9+3b+c=4, 综合所述，t的取值范围为t>0或t<一3. 解将么二： 6y=合-3x+2+2或y=名-3x+8-2 ∴抛物线的表达式为y=一x2+3x十4. 7.(1)5(2)-2≤y≤2 (2)过点P作PE⊥x轴于点E,如图所示. 8.解：依题意可以设该二次函数的表达式为y=2(x一1)2十b, :直线y=x+1与x轴夹角为 y 把(3,2)代入，得2=2(3一1)2+b,解得b=-6. 45°，点P的运动速度为每秒√2个 故该二次函数的表达式为y=2(x-1)2-6. 单位，点Q的运动速度为每秒2个 9.(1)(-3,2)(2)x=-3(3)-32(4)x<-3 单位， (5)-5<x<-1 ∴AP=√2t,CQ=2t,t秒时点E 10.C 11.B解析：抛物线与x轴有两个交点， 的坐标为（一1十t,0),点Q的坐标 .b2-4ac>0,故①正确. 为(3-2t,0), D ..EQ=4-3t,PE=t. :抛物线开口向下，∴a<0 :∠PQE+∠NQC=90°， =16>0 ∠PQE+∠EPQ=90°， 抛物线交y轴于正半轴，∴c>0, ∴∠EPQ=∠NQC. .bc>0,故②错误。 又：∠PEQ=∠QCN=90°，.△PQEn△QNC, b 小88E=名N0=2o :2a 1,∴.2a十b=0,故③正确 ,当x=1时，y>0,∴.a十b+c>0,故④错误 ∴.矩形PQNM的面积S=PQ·NQ=2PQ. 抛物线交x轴于点(-1,0)，(3,0)， .PQ2=PE2+EQ2=t2+(4-3t)2, .当-1<x<3时，y>0,故⑤错误. ∴.S=2[t2+(4-3t)2]=20t2-48t+32, b3 12.A解析：-2a-2心6=-3a, ∴.3a十b=0,故A错误，符合题意. S=20(）广-48× 6 16 5+32= 抛物线开口向上， 5 ∴.在对称轴右侧，y随x增大而增大. 27 :(-)关于对轴的对点为（y),> 为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h>5时，根据二次 函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结 ∴y1>y2,故B正确，不符合题意. 论.综上即可得出结论 图象过（一1,0），.a-b十c=0,.c=-4a ∴.10a十c=6a>0,故C正确，不符合题意】 (0,c)关于对称轴的对称点为(3，c), 【变式训练3】 (侣)或(，) .y≤c时，0≤x3,故D正确，不符合题意. 【例4】思路分析：(1)分1≤x≤30和31≤x≤60两种情况，利用 本章综合提升 “利润=每件的利润×销售量”列出函数表达式. (2)根据(1)的函数表达式，由函数的性质分别求出1≤x≤30 【本章知识归纳】 的函数最大值和31≤x≤60的函数最大值，比较得出结果. 向上向下y轴左侧y轴右侧 解：(1)当1≤x≤30时， (一品如。)流小带大谐大流小 w=(0.5x+35-30)·(-2x+124)=-x2+52x+620, 当31≤x≤60时， 4ac-b2 4ac-b2 w=(50-30)·(-2x+124)=-40x+2480, Aa Aa y=ax2+bx十c(a≠0) ∴.w关于x的函数表达式为 y=a(x-h)2+k(a≠0) |-x2+52.x+620(1≤x≤30)， y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) w={-40z+2480(31≤x≤60). 横坐标 (2)当1≤x≤30时， 【思想方法归纳】 0=-x2+52x+620=-(x-26)2+1296. 【例1】思路分析：根据图象上点的坐标特征以及二次函数的性 .-1<0, 质即可判断 .当x=26时，w有最大值，最大值为1296； 当31≤x≤60时，w=一40x+2480, 【变式训练1】B -40<0,.当x=31时，w有最大值，最大值为-40×31+ 【例2】思路分析：以AB为x轴，其中点为坐标原点建立平面 2480=1240. 直角坐标系，求得抛物线表达式，进一步解答即可. .1296>1240, 解：如图所示，建立平面直角坐标系. .该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是 1296元. 【变式训练4】解：(1)设垂直于墙的边长为x米，围成的矩形面 积为S平方米，则平行于墙的边长为(120一3x)米. 根据题意，得S=x(120一3x)=一3x2+120x=一3(x一20)2+ 1200. B -3<0,∴.当x=20时，S取最大值1200， 由题意知B点的坐标为(5,0)，E点的坐标为(0,4.9)，C点 ∴.120-3x=120-3×20=60, 的坐标为(5,2.4) .垂直于墙的边长为20米，平行于墙的边长为60米时，花园面 设抛物线表达式为y=ax2+4.9,代人C点的坐标，解得a= 积最大为1200平方米. -0.1, (2)设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2一m= 因此抛物线表达式为y=一0.1x2+4.9. (2400-m)株. 当汽车高4米，代入抛物线的表达式y=-0.1x2+4.9,解得 ,学校计划购买费用不超过5万元， x=3(负值舍去)， .25m+15(2400-m)≤50000， 5-3=2(米)， 解得m≤1400， 即车右侧到中线的水平距离为3米.则汽车的右侧离开隧道 .最多可以购买1400株牡丹. 右壁超过2米才不至于碰到隧道顶部. 【通模拟】 答：汽车的右侧离开隧道右壁超过2米才不至于碰到隧道 1.B2.A3.D4.①②⑤ 顶部. 【通中考】 【变式训练2】解：(1)设抛物线的表达式为y=ax2(a≠0)，桥拱 5.c62图 最高点O到水面CD的距离为h米. 则D(5,-h),B(10,-h-3). 7.解：(1)由题意，得C(0,4), 将B,D两点代入y=ax2,得 设抛物线的表达式为y=a(x十4)(x+1), 1 .4=a·4X1,.a=1, 25a=-h, 100a=-h-3, 解得口=一， ∴.y=(x+4)(x+1)=x2+5x+4. h=1. (2)如图①所示，连接BC,过点P作 1 PT∥BC,交x轴于点T,过点B作 六抛物线的表达式为y=一252， BQ⊥PT于点Q,.∠QTB= (2)由题意，得船行驶到桥下的时间为35÷5=7(h), ∠CBO,∠TQB=∠BOC=90°， 水位上升的高度为0.25×7=1.75(m) :.△TBQn△BC0,BC-OC TB BQ 当h=-4+1.75=-2.25(m)时，-2.25= 25x2, ∴.TB·OC=BC·BQ. .x=7.5(负值舍去)，.2x=15>10. B(一1,0)，C(0,4),A(-4,0), D .水面宽是15m,它能安全通过此桥. ∴.OC=4,OB=1,直线BC的表达式 【例3】思路分析：分h<2,2≤h≤5和h>5三种情况考虑：当 为y=4x十4，抛物线的对称轴为直 h<2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方 5 程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值 线x=一2’ 28