3.6 第1课时面积问题-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

第三章 二次函数 6二次函数的应用 第1课时 面积问题 (教材P96一P98内容) 了基础夯实 易错点悟 容易忽略自变量的取值范围而求 1.已知一个直角三角形两直角边之和为20cm, 错面积的最值 则这个直角三角形的最大面积为 4.(成都中考)在美化校园的活动中，某兴趣小 A.25 cm B.50 cm 组想借助如图示的直角墙角（两边足够 C.100cm2 D.不确定 长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园 2.(泰安东平县月考)已知某矩形的周长为20厘 ABCD(篱笆只围AB,BC两边)，设AB=xm. 米，一边长为x厘米，当x= 厘米时， (1)若花园的面积为192m2,求x的值； 此矩形的面积最大，最大是 平方 (2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离 厘米。 分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内 3.某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠 (含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S 墙，另外三边用木栅栏围成.已知墙长25m, 的最大值。 木栅栏长47m,在与墙垂直的一边留出1m 宽的出入口（另选材料建出入门）.求鸡场面 积的最大值. 出入口 ~能力提升 5.(潍坊中考)如图，有一块边长为6cm的正 三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个 彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做 成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面 积的最大值是 () A.√3cm2 B.5 cn C.cn D cmn! 数学家转行做消防员一天，数学家觉得自己已经受够了数学，于是他跑到消防队去宣布他想当消 防员.消防队长说：“您看上去不错，可是我得先给您做一个测试.”（待续） 85 练测考九年级数学全一册LJ ~素养培优 8.(潍坊中考)工匠师傅准备从六边形的铁皮 ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件， 如图所示.经测量，AB∥DE,AB与DE之 B 间的距离为2米，AB=3米，AF=BC 第5题图 第6题图 1米，∠A=∠B=90°，∠C=∠F=135°. 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm, MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线， BC=8cm,点P从点A沿AC向点C以 当MH的长度为多少时，矩形铁皮MNGH 1cms的速度运动，同时点Q从点C沿CB 的面积最大，最大面积是多少？ 向点B以2cms的速度运动（点Q运动到 点B停止)，在运动过程中，△PCQ的面积 的最大值为 () A.6 cm2 B.9 cm2 C.12 cm2 D.15 cm2 7.(威海文登区期末)数学小组的同学设计制作 如图所示的一幅图案：用四个全等的矩形拼成 一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH, 其中四个矩形用材料甲制作，中间的小正方形 EFGH用材料乙制作.已知甲材料的价格为 8元/m2,乙材料的价格为5元/m2,若大正方 形的边长AB长6m,矩形较短边AM长 xm,材料的总费用为y元. (1)求出y与x之间的函数表达式； (2)为了美观，中间的小正方形EFGH的面 积不小于9m2,若预算费用为270元，请问 预算够用吗？请说明理由， M H 消防队长带数学家来到消防队后院的小巷，巷子里有一个货栈，一个消防栓和一卷软管.消防队长 86 问：“假设货栈起火，怎么办？”数学家回答：“把消防栓接到软管上，打开水龙头，把火浇灭.”（待续）》微专题十求二次函数表达式的几种常用方法 1.解：(1)把A(1,-2)和B(0,-5)代人y=x2+bx+c,得 1+b十c=一2”解得=2， c=-5, c=-5 .该二次函数的表达式为y=x2十2x一5. y=x2+2x-5=(x十1)2-6， .顶点坐标为（一1，一6）. (2)如图. 点A(1,一2)关于对称轴直线x=-1的对称点C(-3,一2)， .当y≤一2时x的取值范围是一3≤x≤1. 2.解：(1)设二次函数的表达式为y=ax2十bx十c(a≠0)， 9a+3b+c=0, 1a=1, 由题意，得{4a十2b十c=-3,解得{b=-2, c=-3, c=-3, ∴.这个抛物线的表达式为y=x2-2x一3. (2)由(1)，得y=x2-2x-3. ∴.该抛物线的对称轴是直线x=1. 点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，点D的 横坐标为一2，.点E的横坐标是4， ∴.当x=4时，y=16-8-3=5,∴.E(4,5). 3.解：(1)由抛物线顶点式，设y=a(x+2)2-2(a≠0)， 当x=1时y=a1+2)2-2=0,解得a=名 -91 2 故抛物线的表达式为y=9(x+2)-2 (2)当x=-2时，y=-2;当x=4时，y=6, .当一5x<4时，函数值y的取值范围是一2y<6. 4.解：设这个抛物线的表达式为y=a(x一x1)(x一x2)(a≠ 0),,抛物线与x轴的交点是A(一2,0)，B(1,0), .∴.y=a(x+2)(x-1). 把C(2,8)代入，得8=4a,解得a=2, y=2(x十2)(x-1)=2x2+2x-4, 即该抛物线的表达式为y=2x2+2x一4. 5.解：(1)：抛物线y=ax2十bx十c经过点A(-1,0),点 B(3,0),且OB=OC,.OC=OB=3,.C(0,3). 设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3),将C(0,3)代人， 得-3a=3,∴.a=-1, ∴.抛物线的表达式为y=一(x+1)(x一3)=一x2+ 2x+3. (2),y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,.D(1,4). 如图，过点D作DF⊥AB于点F,交 y D BC于点E. 设直线BC的表达式为y=kx十3，将 (3,0)代入，得0=3k十3，.k=-1, ∴.直线BC的表达式为y=一x十3. 当x=1时，y=2, ∴.E(1,2),∴.DE=4-2=2, Sae=2·DE0B=2×2X3=3, 1 2 6.(1,-3) 7.(1)y=-(x-4)2(2)y=(x-1)2-2(3)y=-(x+1)2+2 8.D9.y=x2-4x+3 10.解：由题意，易得△AEFc∽△ABC, 震子图 6 解得EF=12-3x 2· S=EF.BG1223xx=-2x2+6 2 S与x之间的函数关系式为S=二3十6x(0x<4, 6二次函数的应用 第1课时面积问题 1.B2.525 3.解：设矩形鸡场与墙垂直的一边长为xm,则与墙平行的一 边长为(47-2x+1)m, 由题意，得y=x(47-2x十1)， 即y=-2(x-12)2+288. 因为一2<0， 所以当x=12时，y有最大值为288. 当x=12时，47一x一(x一1)=2425（符合题意）， 所以鸡场的最大面积为288m. 4.解：(1)因为AB=xm,则BC=(28一x)m, 所以x(28一x)=192, 解得x1=12,x2=16, 所以当x=12时，BC=16m; 当x=16时，BC=12m. 所以x的值为12m或16m. (2)由题意可得S=x(28-x)=-x2+28x=-(x 14)2+196, 因为在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和 6m, 所以x≥6,28-x≥15，所以6≤x≤13. 因为a=-1<0,且对称轴为直线x=14, 所以在6≤x≤13范围内，S随x的增大而增大， 所以当x=13时，S有最大值， S鼓大值=-(13-14)2+196=195. 所以花园面积S的最大值为195m2, 5.C6.B 7.解：(1)根据题意，可得矩形较长边MD=AB-AM=(6 x)m, 则小正方形的边长EH=MD一AM=(6一2x)m. EH>0, ∴.6-2x>0, 解得x<3. 四个矩形用材料甲制作，中间的小正方形EFGH用材料 乙制作，且甲材料的价格为8元m,乙材料的价格为 5元m2, ∴.y=4·8x(6-x)+5(6-2x)2, 整理，得y=-12x2+72x十180， .y与x之间的函数表达式为y=一12x2+72x十180(0< x<3). (2)预算够用.理由如下： :中间的小正方形EFGH的面积不小于9m, EH≥3m即6-2≥3.解得xK 由(1)知y=-12x2+72x+180=-12(x-3)2+288. :-12<0,且x≤2 3 ∴当x=时y有最大值，最大值为261， 261<270,.预算够用. 8.解：连接C℉，如图， AF=BC=1米，∠A=∠B=90°， .CF∥AB, ∴.∠AFC=∠BCF=90°， .四边形ABCF是矩形. 四边形MNGH是矩形， .∴.∠HMN=∠MNG=90°，MH=VG, .∠HQF=∠GPC=90°，MQ=AF=NP=BC=1米 ,∠BCG=∠AFH=135°， .∠HFQ=∠GCP=45°， .∴.FQ=HQ,CP=GP, ..FQ=HQ=MH-MQ=MH-1, 同理得CP=MH一1， ∴.AM=NB=MH-1, ..MN=AB-AM-NB=3-(MH-1)-(MH-1)= 5-2MH, .S矩形MGH=MN·MH =(5-2MH)·MH -5MH-2MH =-2(MH-MH) =-2(-)广+5 :“当MHI=号米时，矩形铁皮MGH的面积最大，最大面 积是平方米。 第2课时利润问题 1.3 2.解：(1)设y=kx十b(k≠0)，把x=20,y=360和x=30, y=60代入， 得206士b360·解得一30. (30k+b=60, b=960, 所以y=-30.x+960(10≤x<32). (2)设每月所获的利润为W元， 所以W=(-30x+960)(x-10) =-30(x-32)(x-10) =-30(x2-42x十320) =-30(x-21)2+3630. 因为10x<32, 所以当x=21时，W有最大值，最大值为3630. 2 即当销售价格定为21元时，每月获得的利润最大，最大利 润为3630元. 3.解：(1)设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是m元， 根据题意，得1440=1200 m m-4 解得m=24, 经检验，m=24是原方程的解，也符合题意， ∴.今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元. (2)设消毒洗衣液每瓶的售价为x元，每周的销售利润为心元， 根据题意，得=(x-24)[600+100(36-x门= -100.x2+6600x-100800=-100(x-33)2+8100. .-100<0, ∴.当x=33时，e取最大值8100， ∴.当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液 每周的销售利润最大，最大利润是8100元. 4.解：(1)根据题意，当x=800时，y=800×(50一30)=800× 20=16000, ∴.当一次性销售800千克时利润为16000元. (2)设一次性销售量在10001750kg之间时，销售价格为 50-30-0.01(.x-1000)=-0.01x+30. ∴.y=x(-0.01x+30)=-0.01x2+30x=-0.01(x2 3000x)=-0.01(x-1500)2+22500, -0.01<0,1000≤x≤1750， ∴.当x=1500时，y有最大值，最大值为22500， ∴.一次性销售量在1000一1750kg之间时的最大利润为 22500元. 5.解：(1)设每天的销售数量y(件)与销售单价x(元/件)之间 的关系式为y=kx十b(k≠0)， 把(35,90).(40,80)代入，得356+6=90， 40k+b=80, 解得k=一2， 1b=160, 所以y=-2x+160. (2)根据题意，得(x一30)·（一2x+160)=1200, 解得x1=50,x2=60, 因为规定销售单价不低于成本且不高于54元， 所以x=50. 所以销售单价应定为50元. (3)设每天获利元， w=(x-30)·(-2x+160)=-2x2+220x-4800= -2(.x-55)2+1250, 因为-2<0，对称轴是直线x=55,而x≤54， 所以当x=54时，取最大值，最大值是一2×(54一55)2+ 1250=1248. 所以当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润是 1248元. 6.B 7.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=k.x十b(k≠0)， 将(2.100)，(5,160)代入y=kx+6,得25十b=100, 15k+b=160 解得/k=20, b=60, ∴y与x之间的函数关系式为y=20x十60(0<x<20). (2)根据题意，得 (60-x-40)(20x+60)=2400, 整理，得x2-17x十60=0， 5