3.5 第1课时由两点确定二次函数的表达式-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

(2),图象绕它的顶点旋转180°后，其对称轴与顶点坐标 均不变，只是图象开口向下， ∴所得图象的函数表达式为y=一}(x-3)- 2x2+3x-8 (3)y=-3x+1=-3)y-的图象绕x轴 翻折， 顶点坐标为3)， ,图象翻折后开口向下， 1 :所求麦式为y=一2（x一3)十2三一 Γ2x2+3x-1, 13.C14.C15.D16.B17.C18.C 1-b+c=0 19.解：1)由题意，得。=2. 解得/64， c=3, 2 ∴.抛物线的表达式为y=x2一4x十3. (2)存在.，点A与点C关于直线x=2对称，∴.连接BC 与直线x=2交于点P,则点P即为所求，如图所示 A Y x=2 根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为(3,0)，y= x2-4x十3与y轴的交点为B(0,3). 设直线BC的表达式为y=kx十m,则3k十m=0, m=3, 解得k=一1， m=3. .直线BC的表达式为y=一x十3. 则直线BC与直线x=2的交点坐标为(2,1). .点P的坐标为(2,1). 20.解：(1)将B(3,0)代入y=-x2+bx+3,得-9十3b+3=0, 解得b=2, 故抛物线的表达式为y=一x2+2x十3. (2:en∠MBN=号， 故设MN=4m,NB=3m,则BM=5m, 则点N,M的坐标分别为(3-3m,0),(3-3m,4m), 当x=3-3m时，y=-x2+2.x+3=-9m2+12m, 则点Q(3一3m,一9m2+12m). .'QM=BM, 即-9m2+12m-4m=5m, 解得m=0(舍去)或m=3· 1 则点Q的坐标为(2,3). (3)令y=-x2十2x十3=0，得x=-1或x=3, .A(-1,0). 令x=0得y=3,∴.C(0,3). 设点P(m,-m2+2m十3)， 由点A,P的坐标得， 直线AP的表达式为y=一(m一3)(.x十1)， 则点D(0,3-m), 则OD=CF=3-m, 则DF=3-OD-CF=2m-3. 设点E的坐标为(t,(3-m)(t十1)，t>0, ,'S△AFE=S△ABE, 即2×DFXE-)=2×ABXyr, 即(2m-3)(t+1)=4×(3-m)(t+1), 5 解得m=2' 即点P的坐标为划号·)， 1 ,77 SAPA=2XABXyp=- 5确定二次函数的表达式 第1课时由两点确定二次函数的表达式 1.C2.y=-x2-2x-1 3.解：，二次函数y=a.x2十bx+c(a≠0)的图象的顶点在 x轴上，对称轴为直线x=1, ∴抛物线的顶点坐标为(1,0). 设抛物线的表达式为y=a(x一1)2， 把(2,2)代入，得2=a(2-1)2,解得a=2, y=2(x-1)2=2x2-4x+2, 即二次函数的表达式为y=2x2-4x十2. 4.D5.y=x2-6.x+5 6.解：(1)将点A(1,2),B(3,3)代入y=ax2一bx+3, 1 得a-6+3=2, 9u-6+36,解得 2' 六抛物线的函数表达式为y=之- 1 2x+3. (2)当x=-2时，y=2十3+3=8≠-1， ∴.点C(一2，一1)不在此抛物线上. 7y=+2+1或y=+1 8.C9.B10.A11.-4 12.解：(1)二次函数图象的顶点为A(1,一4)， ∴.设二次函数的表达式为y=a(x一1)2一4. 二次函数图象过点B(3,0),∴.0=4a-4,解得a=1, ∴.该二次函数的表达式为y=(x一1)2-4. (2)由图象可知二次函数图象向右平移1个单位，可使平 移后所得图象经过坐标原点，且与x轴的另一个交点坐标 为(4,0). 13.解：(1)设二次函数的表达式为y=a(x十1)(x-3)= ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a, 由最大值为4，得-4a=4,即a=-1, 则二次函数的表达式为y=一x2十2x十3. (2)列表： x…-10123 y …03430 … 2 描点、连线，画函数图象如图所示 -514-3-21-101234561x 二3 -6 (3).x=1时，y=4,x=4时，y=-5, ∴.由图象可知，当1<x<4时，y的取值范围是一5<y<4. 14.解：(1)OA=2,0C=8,.A(一2,0)，C(0,-8) 将A(-2,0),C(0,-8)代入y=x2+bx+c, 得4-26十(=0解得6=一2， lc=-8, c=-8. ∴抛物线的表达式为y=x2一2x一8. (2)在y=x2-2x-8中， 对称轴为直线x=1. 点A与点B关于直线x=1对称， ∴如图，可设BC交直线x=1于点D, 由两点之间线段最短可知，此时AD十 CD有最小值， 而AC的长度是定值，故此时△ACD 的周长取最小值， 在y=x2-2x-8中， 当y=0时，x1=一2，x2=4, .点B的坐标为(4,0)， 设直线BC的表达式为y=kx一8， 将点B(4,0)代入， 得k=2, .直线BC的表达式为y=2x一8. 当x=1时，y=-6, .点D的坐标为(1，一6) 第2课时由三点确定二次函数的表达式 1.A2.B3.y=x2-4x-5(1,-8) 4.解：设二次函数的表达式为y=ax2十bx十c(a≠0). 由题意，知二次函数的图象经过(4，一3)和(6，一3)两点，与 y轴交于点(0,21)， (16a+4b+c=-3, a=1, .{36a+6b+c=-3,解得b=-10, c=21, c=21. ∴.二次函数的表达式为y=x2-10x十21. c=0, a=2, 5.解：由题意，得a十b十c=-1,解得b=-3, 4a-2b+c=14, c=0, 故此函数的表达式为y=2x2-3x. 当x=2时，m=2×22-3×2=2. 6.D 7=+ 4 8.解：(1)，二次函数y=ax2-2x十c的图象经过点A(-2, ow88o+h÷8-2. 2 .二次函数的表达式为y=2.x2一2x一12. 2y=2x-2-12=4）f-空. :“抛物线的对称轴为直线x=号，顶点坐标为（分一）】 9.y=-x2+6.x-710.y=3x2-2x-1 11.解：(1)3 /c=3, (2)根据题意，得{a十b十c=0, 4a+2b+c=-1, a=1, 解得(b=一4， c=3, 则这个二次函数的表达式是y=x2一4x十3. (3)-1≤y<3 12.解：(1)，二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y= x十1上，当y=2时，即x十1=2，解得x=1, 顶点坐标为(1,2). 设二次函数的关系式为y=a(x-1)2十2(a≠0)， 将点(3，-1)代人，得a=-3 4 ∴.二次函数的关系式为y三一4（x一1)十2三一x2+ 3 ,5 2x十4： (2).二次函数的图象过点（一3,0），(1,0)， .二次函数图象的对称轴为直线x=一1， 设二次函数的关系式为y=a(x一1)(x十3)(a≠0). 又由函数图象顶点到x轴的距离等于2. 故函数图象的顶点坐标为（一1,2）或（一1，一2）， 分别代入，得a=士？ y-+或=产- (3)设二次函数的关系式为y=a.x2十bx十c(a≠0)， 二次函数的图象过点（一1，一22），(0，一8)，(2,8)， 1a-b十c=-22,(a=-2, .c=-8, 解得b=12, 4a+2b+c=8, c=-8, .二次函数的关系式为y=-2x2+12x-8. 13.解：(1)设二次函数的表达式为y=a(x-1)(x十3)(a≠0)， 把C(0,-3)代入，得a·(-1)·3=-3,解得a=1. .∴.二次函数的表达式为y=(x一1)(x十3)， 即y=x2+2x-3. (2),A(1,0),B(-3,0),.AB=4, 设P(m,n).,△ABP的面积为10， ∴2AB·n=10.解得n=士5. 当n=5时，m2+2m-3=5, 解得m=一4或2， .P(-4,5)或P(2,5); 当n=-5时，m2+2m-3=-5,即m2+2m+2=0, △=22一4×1×2<0，.n=一5不存在， 故P(-4,5)或P(2,5). 14.y2=(x十3)2十3，y2=x2十3等，答案不唯一 3第三章 二次函数 5确定二次函数的表达式 第1课时 由两点确定二次函数的表达式 (教材P90-P93内容) ☑基础夯实 5.已知二次函数y=x2+bx十c的图象经过 知识点一已知顶点和另外一点的坐标求二 (1,0)和(4，一3)两点，则这个二次函数的表 次函数的表达式 达式为 1.若二次函数的图象的顶点坐标为(2，一1)， 6.已知抛物线y=ax2一bx+3经过点A(1, 且抛物线过点(0,3)，则二次函数的表达式 2),B(3,3). 是 (1)求此抛物线的函数表达式； A.y=-(x-2)2-1 (2)判断点C(一2，一1)是否在此抛物线上. 1 B.y=-2x-2)2-1 C.y=(x-2)2-1 nyc2》1 2.已知二次函数的图象经过(1，一4)点，且顶 点坐标为（一1,0），则二次函数的表达式为 3.已知二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)图象 的顶点在x轴上，对称轴为直线x=1,且经 过点(2,2)，求二次函数的表达式 易错点悟忽视分类讨论而漏解 7.已知二次函数y=-x2十bx十c的图象经过 点(2,0)，且与y轴交于点B,若OB=1,则 该二次函数的表达式为 ~能力提升 8.已知一抛物线的形状、开口方向与抛物线 y=2x2-2x十3相同，顶点为(-2,1)，则 1 此抛物线的表达式为 ( 1 A.y=2(x-2)2+1B.y=2x+2)2-1 知识点二已知任意两点求二次函数的表达式 Cy=2x+2+1D.y=号x-2-1 4.二次函数的图象经过点（一3,0）和(0,3)，对 9.已知二次函数y=ax2十bx+3的图象经 称轴是直线x=一1，则这个二次函数的表达 过点(2,3)，且函数的最大值为4，则a的 式为 值为 A.y=-x2+2x+3B.y=x2+2x+3 C.y=-x2+2x-3D.y=-x2-2x+3 B.-1 C.-2 D.-3 青年绞尽脑汁，也想不出现有的数学知识对解开这道题有什么帮助，困难激起了青年的斗志，他下定决 心一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案.（待续） 79 练测考九年级数学全一册L小 10.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2一4x+ (1)求二次函数的表达式； 5与y轴交于点C,则该抛物线关于点C成 (2)在平面直角坐标系xOy中，画出二次 中心对称的抛物线的表达式为 () 函数的图象； A.y=-x2-4x+5B.y=x2+4x+5 (3)当1<x<4时，结合函数图象，直接写 C.y=-x2+4x-5D.y=-x2-4x-5 出y的取值范围. 11.如图是二次函数y= x2+bx十c的图象，该函 -30 数的最小值是 x=-1: 12.如图所示，在平面直角坐 标系内，二次函数图象的顶点为A(1,一4)， 且过点B(3,0). (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数图象向右平移几个单位， 可使平移后所得图象经过坐标原点？并直 接写出平移后所得图象与x轴的另一个交 点的坐标 ☑素养培优 14.(济宁任城区期中)如图所示，抛物线y= x2十bx十c与x轴交于A,B两点，与y轴 交于C点，OA=2,OC=8,连接AC和BC. (1)求抛物线的表达式； (2)点D在抛物线的对称轴上，当△ACD 的周长最小时，求点D的坐标. 13.（烟台龙口期中)已知二次函数经过点 (-1,0),(3,0),且最大值为4. 3 2 -6-5-4-3-2-11011213456x 二3 二5 当窗口露出一丝曙光时，他长舒了一口气，终于做出了这道难题！见到导师时，青年感到有些内疚和 80 自责.他说：“您给我布置的第三道题我做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培”（待续）