3.6 二次函数的应用 课时训练 2025-2026学年 鲁教版（五四制）九年级数学上册

3.6 二次函数的应用（二次函数与图形面积） 1.如图,有长为24 m的篱笆，现一面完全利用墙(墙的最大可用长度a 为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，围成的花圃的面积最大时AB的长是( ) A.4 m B.5 m C.3 m 第1题图 第2题图 2.如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m.设矩形菜园的边 AB 的长为 x m,面积为 S m²,其中 AD≥AB.下列结论： ①x的取值范围为 ②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为 ③矩形菜园 ABCD 的面积的最大值为 其中，正确结论的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.用总长为 a 米的材料做成如图1 所示的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图2，则a 的值是 ( ) A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 4.某农场要建矩形的饲养室，如图所示，一面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料建设围墙，在中间再建一道墙隔开，并在两处各留 1m 宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为 22 m(不包括门)，则能建成的饲养室最大总占地面积为( ) 第4题 第5题图 5.如图所示，是一个长20 m、宽16 m的矩形花园，根据需要将它的长缩短 x m、宽增加x m，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为 ( ) A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 4 6.如图,某养殖户用48 m长的篱笆围成一个长方形养殖园，中间的两条篱笆隔离栏将这个长方形养殖园分割成三个较小的长方形，则围成养殖园的最大面积是______________m². 第6题图 第7题图 7.如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙(墙足够长)，另三边用16米长的篱笆围成，则矩形ABCD 面积的最大值是____________. 8.如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形 ABCD菜园，墙长为12米.设AB 的长为x米,矩形 ABCD菜园的面积为 S平方米. (1)分别用含 x的代数式表示 BC 与S； (2)若 求x的值； (3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门(无需篱笆)，当x为何值时，S取最大值，最大值为多少? 9.如图, △ABC 是一块锐角三角形余料,边 BC=120 mm,高 AD=80 mm,要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在 BC上，其余两个顶点分别在AB，AC 上，设该矩形的长 宽. (1)求证: (2)当x与y分别取什么值时，矩形 PQMN的面积最大? 最大面积是多少? 10.工匠师傅准备从六边形的铁皮 ABCDEF 中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示.经测量， ∥AB 与DE 之间的距离为 2 米，米，米， MH，HG，GN 是工匠师傅画出的裁剪虚线.当MH 的长度为多少时，矩形铁皮 MNGH的面积最大，最大面积是多少? 参考答案 1. D 2. B 3. B 4. B 5. C 6. 72 8.解:(1)由题意,得. (2)由题意，得 解得 ∵墙长为12米，∴ 应舍去，∴x的值为9; ∵墙长为12 米, ∴开口向下，∴当 S随着x 的增大而减小， ∴当 时，S有 最大值，最大值为 8× 9.解:(1)证明: ∥ (2)设矩形的面积为S，则 ∴当 时， 此时矩形的面积最大，最大面积为 10.解:连接CF,如图, ∵AF=BC=1米,∠A=∠B=90°,∴CF∥AB,∴∠AFC=∠BCF=90°, ∴四边形ABCF是矩形， ∵四边形 MNGH 是矩形,∴∠HMN=∠MNG=90°,MH=NG, ∴∠HQF=∠GPC=90°,MQ=AF=NP=BC=1米, ∵∠BCG=∠AFH=135°,∴∠HFQ=∠GCP=45°, ∴FQ=HQ,CP=GP,∴FQ=HQ=MH-MQ=MH-1, 同理得CP=MH-1,∴AM=NB=MH-1, ∴MN=AB-AM-NB=3-(MH-1)-(MH-1)=5-2MH, ∴S矩形 MNGH=MN·MH=(5-2MH)·MH ∴当 米时，铁皮的面积最大，最大值为 平方米. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.6 二次函数的应用 （二次函数与商品销售） 1.某商场销售的某种商品每件的标价是 80元，若按标价的八折销售，仍可盈利24元.市场调查发现：在以标价打八折为售价的基础上，该种商品每星期可卖出220件，该种商品每降价1元，每星期可多卖 20件.设每件商品降价x元(x为整数)，每星期的利润为y元.下列说法错误的是 ( ) A.每件商品进价为40元 B.降价后每件商品售价为(64-x)元 C.降价后每周可卖(220+20x)件 D.每星期的利润为y=(84-x)(220+20x) 2.某超市销售某款商品每天的销售利润y(元)与单价x(元)之间的函数关系式为 则销售这款商品每天的最大利润为 ( ) A.125元 B.150元 C.175元 D.200元 3.一人一盔安全守规，一人一带平安常在！ 某商店销售一批头盔，售价为每顶 80元，每月可售出200 顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20 顶.已知头盔的进价为每顶50 元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 ( ) A.60元 B.65元 C.70 元 D.75元 4.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.下列结论：①降价8元时，日销量为36件 ②若商场平均每天要盈利1 200 元，每件衬衫应降价10 元③商场平均每天盈利最多为1 250元，正确结论的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在直播软件上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件 60元销售，每天可卖出 20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销量增加 2件，若将每件商品售价定为x元，当x 为_8_元时，每天的销售利润最大，最大利润是____________元. 6.某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21 元.经过市场调查发现，该文具的每天销售数量 y(件)与销售单价x(元)之间满足 ,则销售该文具每天获得的最大利润是_________元. 7.某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元.经过市场调查发现，该文具的每天销售数量 y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如表： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … (1)直接写出 y与x 之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元? (3)设销售这种文具每天获利w(元)，当销售单价为多少元时，每天获利最大? 最大利润是多少元? 8.网络销售已经成为一种热门的销售方式.某果园在网络平台上直播销售荔枝，已知该荔枝的成本为6 元/ kg，销售价格不高于18元/ kg，且每售卖 1 kg需向网络平台支付2 元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销量y( kg)与销价x(元/ kg)之间满足如图所示的一次函数关系. (1)求y与x 的函数表达式； (2)当每千克荔枝的售价定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元? 9.某企业准备对 A,B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资 A 项目一年后的收益 yA(万元)关于投入资金x(万元)的函数表达式为 投资 B 项目一年后的收益 yB(万元)与投入资金x(万元)的函数表达式为 (1)若将 10万元资金投入 A 项目，一年后获得的收益是多少? (2)若对 A，B两个项目投入相同的资金m(m>0)万元，一年后两者获得的收益相等，则 m的值是多少? (3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策.该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计 32 万元，全部投入到 A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大? 最大值是多少万元? 参考答案 1. D 2. B 3. C 4. C 5.55 450 6.200 7.解：(1)设y 与 x 之间的函数关系式为 ，由所给表格数据，得 解得 故 y与x 的函数关系式为 (2)由题意,得( 解得 又∵10≤x≤19,∴x=18, 所以，销售单价应为 18元； ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线 ∴当 时，w随x的增大而增大， ∴当 时，w有最大值， 所以，当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是 198元. 8.解:(1)设每日销售量 y( kg)与销售价格x(元/kg)之间满足的一次函数关系为 由图象，得 解得 ∴y与x的函数关系式为. (2)设每千克荔枝的销售价格定为x元时，销售这种荔枝日获利为w元， 由题意，得 ∵a=-100<0,对称轴为直线 x=19,∵售价不高于 18元/ kg, ∴当x=18时,w有最大值为12 000元, ∴当销售单价定为18元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为12000元. 9.解:(1)当x=10时, (万元), 所以，将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是 4 万元； (2)由题意,得当x=m时, (舍去),∴m=8; (3)设投入 B项目的资金是t万元，投入 A 项目的资金( 万元，一年后获利为 W 万元，由题意，得16, ∴当 时， 所以，投入 A项目的资金28万元，投入 B项目的资金4万元时，一年后获利最大，最大值是16万元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.6 二次函数的应用 （二次函数与抛物线形问题） 1.如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(米)与飞行时间t(秒)之间满足函数关系 h=20t-5t².则小球从飞出到落地瞬间所需要的时间为 ( ) A.2 秒 B.3秒 C.4秒 D.5 秒 第1题图 第 2题图 2.如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点 O为原点，水平直线OB 为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且 AC⊥x轴，若 5米，则桥面离水面的高度AC 为 ( ) A.5米 B.4 米 C.2.25米 D.1.25 米 3.如图, 小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为13的奖杯，杯体轴截面 ABC 是 抛 物线 的一部分，则杯口的口径 AC长为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 4.C919 商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12 时31分，航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗 尘”，是国际民航中高级别的礼仪).如图1，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如图2，当两辆消防车喷水口 A，B的水平距离为80 米时，两条水柱在抛物线的顶点 H 处相遇.此时相遇点 H 距地面20米，喷水口 A，B距地面均为 4米.若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口 到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面__________米. 5.某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心的水平距离也为 3 m，那么水管的设计高度应为_________. 6.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽 6 米，水面下降________米，水面宽8米. 7.乒乓球被誉为中国国球.世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的.如图 2 是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以OA=28.75 cm的高度,将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分. 乒乓球到球台的竖直高度记为 y(单位： cm)，乒乓球运行的水平距离记为x(单位： cm)，测得数据如表所示： 水平距离x/cm 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度y/cm 28.75 33 45 49 45 33 0 (1)在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点(x，y)，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象； (2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是________ cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________ cm； ②求满足条件的抛物线表达式； (3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出 OA 的取值范围，以利于有针对性的训练.如图2，乒乓球台的长OB 为274 cm,球网的高 CD为15.25 cm.现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度 OA的值约为1.27 cm.请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点 B 处时，击球高度 OA的值(乒乓球大小忽略不计). 8.小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x 轴上,球网AB与y 轴的水平距离OA=3m,CA=2m,击球点 P 在 y轴上.若选择扣球, 羽毛球的飞行高度 y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系 y=-0.4x+2.8;若选择吊球，羽毛球的飞行高度 y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系 (1)求点 P 的坐标和a 的值; (2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式. 9.嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题. 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表 1 m长.嘉嘉在点 A(6,1)处将沙包(看成点)抛出，其运动路线为抛物线( 的一部分，淇淇恰在点B(0，c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线 的一部分. (1)写出( 的最高点坐标，并求 a，c的值； (2)若嘉嘉在x 轴上方 1m 的高度上，且到点 A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值. 10.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线形拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为 还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案.现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线形拱门的跨度 拱高 PE=4m .其中,点 N 在 x 轴上,PE⊥ON,OE=EN. 方案二，抛物线形拱门的跨度 拱高 其中，点N'在x 轴上， 要在拱门中设置高为 3m 的矩形框架，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计).方 案一中，矩形框架 ABCD的面积记为点 A,D在抛物线上,边 BC 在ON 上;方案二中，矩形框架 A'B'C'D'的面积记为S₂,点 A',D'在抛物线上,边 B'C'在上.现知，小华已正确求出方案二中，当时， 请你根据以上提供的相关信息，回答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当AB=3m 时，求矩形框架 ABCD 的面积S₁并比较 S₁,S₂的大小. 参考答案 1. C 2. C 3. B 4.19 7.解：(1)描出各点，画出图象如图： (2)①观察表格数据，得当x=50和 时，函数值相等， ∴对称轴为直线 ∵抛物线开口向下,当x=90时,y=49, ∴乒乓球在最高点时，乒乓球与球台之间的距离是49 cm, 当y=0时,x=230,∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 230 cm; 故答案为:49;230; ②设抛物线表达式为 将(230,0)代入,得 解得 a=-0.0025, ∴抛物线表达式为 49; (3)当 时，抛物线的表达式为 设乒乓球恰好落在对面球台边缘点 B处时，击球高度 OA 的值为 h，则平移距离为(h-28.75) cm, ∴平移后的抛物线的表达式为 当x=274时,y=0, 解得h=64.39; 所以，乒乓球恰好落在对面球台边缘点 B 处时,击球高度 OA 的值为64.39 cm. 8.解:(1)在 中，令 得 ∴点 P 的坐标为(0,2.8); 把 P(0,2.8)代入 得 解得 ∴a的值是 ∴C(5,0), 在 中，令 得 在 中，令 得 (舍去)或 ∴选择吊球方式，球的落地点到 C 点的距离更近. 9.解:(1)∵抛物线 ∴C₁的最高点坐标为(3,2), ∵点 A(6,1)在抛物线 上， ∴抛物线 当 时， (2)∵嘉嘉在 x轴上方 1m 的高度上，且到点A水平距离不超过 1m 的范围内可以接到沙包， 设嘉嘉在点 Q处接到沙包，则点 Q的坐标范围是(5,1)～(7,1), 当抛物线 经过(5,1)时, 解得 当抛物线 经过(7,1)时, 7+1+1,解得 ∵n为整数，∴符合条件的 n的整数值为 4 和 5. 10.解：(1)由题意，得方案一中抛物线的顶点为P(6,4), 设抛物线的函数表达式为 把O(0,0)代入,得 解得 ∴方 案 一中 抛物线的 函数 表 达 式为 (2)在 中，令 得解得. 或 ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $