3.5 确定二次函数的表达式 课时训练 2025-2026学年 鲁教版（五四制）（2012）九年级数学上册

第三章 二次函数 5 确定二次函数的表达式 第2课时 求二次函数表达式的方法 方法1 用一般式确定二次函数的表达式 1.如图，抛物线y=x²+bx+c经过点A(-1,0),点B(2,-3),与y轴交于点C,抛物线的 顶点为D. (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线上是否存在点 P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 方法2 用顶点式确定二次函数的表达式 2.已知抛物线y=ax²-2ax-3+2a²(a≠0). (1)求这条抛物线的对称轴； (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其表达式； (3)设点 P(m,y₁),Q(3,y₂)在抛物线上,若y₁<y₂,求m的取值范围. 方法3 用交点式确定二次函数的表达式 3.如图，抛物线y=ax²+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点 B(-3,0),与y轴交于点C,连接BC. (1)求抛物线的表达式； (2)求△BOC的面积. 方法4 用平移规律确定二次函数的表达式 4.已知抛物线y=a(x-1)²+h经过点(0,-3)和(3,0). (1)求a,h的值; (2)将该抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式. 参考答案 1.【解】(1)∵抛物线y=x² +bx+c经过点A(-1,0),点B(2,-3), 解得 ∴抛物线的表达式为y=x²-2x-3. (2)存在，点P的坐标为 或 【点拨】∵y=x²-2x-3=(x-1)²-4,∴D点坐标为(1,-4).令x=0,则y=x²-2x-3=-3, ∴C点坐标为(0,-3). 又∵B点坐标为(2,-3),∴BC∥x轴, 设抛物线上的点P坐标为(m,m²-2m-3), 当|m²-2m|=4×1时，解得 当 时,m²-2m-3=1, 当 时,m²-2m-3=1, 综上，P点坐标为 或 2.【解】(1)∵y=ax²-2ax-3+2a²=a(x-1)²+2a²-a-3,∴这条抛物线的对称轴为直线x=1. (2)由(1)知抛物线的顶点坐标为((1,2a²-a-3). ∵抛物线的顶点在x轴上，∴2a²-a-3=0,解得 ∴抛物线的表达式为 或y=-x²+2x-1. (3)∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴Q(3,y₂)关于对称轴对称的点的坐标为(-1,y₂). 当a>0时,抛物线开口向上,∵P(m,y₁),y₁<y₂,∴-1<m<3. 当a<0时,抛物线开口向下,∵P(m,y₁),y₁<y₂,∴m<-1或m>3. 综上,当a>0时,m的取值范围为-1<m<3,当a<0时,m的取值范围为m<-1或m>3. 3.【解】(1)由题意知抛物线的表达式可变形为y=a(x-1)(x+3),即y=ax²+2ax-3a. 又∵y=ax²+bx+3,∴-3a=3,2a=b,∴a= -1,∴b= -2. ∴抛物线的表达式为y=-x²-2x+3. (2)对于y= -x²-2x+3,当x=0时,y=3,∴点C的坐标为(0,3).∴OC=3. ∵点B的坐标为(-3,0),∴OB=3. 又∵∠BOC=90°,∴△BOC的面积为 4.【解】(1)将点(0,-3)和(3,0)的坐标分别代入y=a(x-1)²+h,得 解得 故a,h的值分别为1,-4. (2)新的抛物线相应的函数表达式为y=(x-2)²-2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 二次函数 5 确定二次函数的表达式 第1课时 确定含有两个待定字母的二次函数表达式 认知基础练 练点1 已知均不为顶点的两点坐标求二次函数表达式 1.已知二次函数y=ax²+bx-6的图象经过点A(1,-3),B(-1,-3),则二次函数的表达式为( ) A. y=3x²-6 B. y=x²+2x-6 C. y=9x²+6x-6 D. y=9x²-6x-6 2.若二次函数y=ax²+bx-(a+b)图象经过A(-1,4),B(0,-1)两个点,则该二次函数的表达式为_______________. 练点2 已知顶点和另一点坐标求二次函数表达式 3.一个二次函数图象的顶点坐标是(2，4)，且过点(0，-4)，则这个二次函数的表达式为( ) A. y= -2(x+2)²+4 B. y=2(x+2)²-4 C. y= -2(x-2)²+4 D. y=2(x-2)²-4 4.若抛物线y=a(x-h)²+k的顶点为A(1，-1)，且经过点A关于原点O的对称点 ，则抛物线的表达式为( ) 5.小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 0 -3 -4 -3 0 … 该二次函数的表达式为____________. 纠易错 将点的坐标代错式子而致错 6.二次函数y=2x²+bx+c的图象经过点(2，3)，且顶点在直线y=3x-2上，则二次函数 的表达式为____________. 思维发散练 发散点1 利用两点坐标求函数表达式的应用 7.如图,抛物线 y=ax²+bx-4(a≠0)与x轴交于点 A(1,0),B(-2,0),与y轴交于点 C. (1)求抛物线的表达式，并写出顶点 D的坐标； (2)连接AC,M 是 AC中点,连接 OM,求线段OM的长度. 　 发散点2 利用求函数表达式确定线段长的应用 8.如图,已知抛物线y= -x²+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C，顶点为D. (1)求该抛物线的表达式； (2)连接 BC,CD,BD,P为BD的中点,连接CP,则线段 CP的长是_________. 参考答案 1. A 【点拨】由题意得 解得∴所求二次函数的表达式为y=3x²-6,故选 A. 2. y=3x²-2x-1【点拨】把A(-1,4),B(0,-1)的坐标分别代入y=ax²+bx-(a+b) 得 解得 ∴二次函数的表达式为y=3x²-2x-1. 3. C 【点拨】设所求二次函数的表达式为y=a(x-2)²+4,则a(0-2)²+4= -4, ∴a= -2,∴所求二次函数的表达式为y=-2(x-2)²+4,故选C. 4. D【点拨】∵抛物线y=a(x-h)²+k的顶点为A(1,-1),∴y=a(x-1)²-1. ∵抛物线经过点A关于原点O的对称点 解得a= 抛物线的表达式为 故选D. 5. y=(x-3)²-4(或y=x²-6x+5)【点拨】由表格数据结合二次函数图象的对称性可得图象顶点为(3，-4)，设二次函数的表达式为y=a(x-3)²-4(a≠0),将点(1,0)的坐标代入得4a-4=0,解得a=1，∴该二次函数的表达式为y=(x-3)²-4((或y=x²-6x+5). 6. y=2x²-4x+3或y=2x²-6x+7 【点拨】 ∴图象的顶点 坐标为 将点 的坐标代入y=3x-2,得 即b²-6b- 16 -8c= 0①,将点(2，3)的坐标代入y=2x²+bx+c,得3=8+2b+c,即c= -5-2b②, 将②代入①,得b²-6b-16-8(-5-2b)=0,解得b₁=-4,b₂=-6. 当b= -4时,c=3,当b= -6时,c=7. ∴二次函数的表达式为y=2x²-4x+3或y=2x²-6x+7. 点易错 本题易出现顶点坐标与已知点的坐标混用导致出错的现象. 7.【解】(1)把A(1,0),B(-2,0)的坐标代入y=ax²+bx-4得 解得 ∴抛物线的表达式为y=2x²+2x-4,顶点D的坐标为 (2)∵抛物线的表达式为y=2x²+2x-4,∴当x=0时,y= -4,∴C的坐标为(0,-4), ∴M的坐标为 8.【解】(1)(方法一)∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点, 解得 ∴该抛物线的表达式为y= -x²+2x+3. (方法二)∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点, ∴ 抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-3),即y= -x² +2x+3. 【点拨】∵y= -x²+2x+3=-(x-1)²+4,∴D(1,4),把x=0代入y= -x²+2x+3,得y=3, ∴C(0,3).∵P为BD的中点,∴P(2,2), 故答案为 1 学科网（北京）股份有限公司 $