3.4 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

(2)描点，画出该二次函数的图象如下： 32-10 6 (3)①02②≠1③=1 16解，1地物线y号一5)的顶点坐标为A5,0. 由x=0,得y=5, 则抛物线与y轴交点B的坐标为(0,5). 因为对称轴为直线x=5,所以点C的坐标为(10,5). (2②)Sr=号X10X5=25. (3).A(5,0),B(0,5),C(10,5), .AB2=AC2=50,BC2=100, ∴.AB2+AC2=BC2, ∴.△ABC是等腰直角三角形 17.A18.D 第3课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象与性质 1.A2.C3.A4.D5.A 6.y=(x-3)2-2(答案不唯一)7.y2>y1>y 8.解：(1)将点(0，-3)和(3,0)分别代入y=a(x-1)2+h,得 一3=a0-1+h~解得a1所以a=1,k=-4 0=a(3-1)2+h, h=-4. (2)由(1)知，该抛物线的表达式为y=(x一1)2一4，将该抛 物线先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度， 得到新的抛物线的表达式为y=(x一2)2一2. 9A10.-号 1-111.(2,-5)12.C13.B14.D 15.解：(1)把(-3,0)代入表达式，得a(-3+1)2+2=0, 解得a=一2 (2)(1,0) (3)由题意，易知AB=1一（一3）=4，点P(一1,2)， ∴△PAB边AB上的高为2S6B=合X4X2=4 16.解：(1)，二次函数y=(x十m)2+k的图象的顶点坐标为 M(1,-4), y=(x-1)2-4. 令y=0,即(x-1)2-4=0, 解得x1=3,x2=一1， .A(-1,0),B(3,0) 5 (2):△PAB与△MAB同底且SAPB=4S△B, =w=x4=5 即yp=士5. 又，点P在二次函数y=(x一1)2一4的图象上， ∴yp≥-4， yp=5. 2 令(x-1)2-4=5, 解得x1=4,x2=-2, .存在这样的点P,其坐标为(4,5)或（一2,5）. 17.3√3 第4课时二次函数y=ax2+bx十c的图象与性质 1.C2B3上(-3，-2) 直线x=-34.B5.D 6.B 7.解：Dy=二7x2+6x-10 1 =-2(2-12x+36)+18-10 2(x-6)2+8. (2)函数图象如图所示： 8 6 4 2 -2:02468012 -2 -6 -12 -<0 ∴.二次函数图象开口向下，对称轴为直线x=6, 顶点坐标为(6,8) 2的图象向右平移6个单位长度，向 (3)二次函数y=一 上平移8个单位长度即可得到二次函数y=一 x2+ 1 6.x-10的图象。 8.解：(1)把A(1,0),B(-2,0)代入y=ax2+bx-4, 得a+610解得a=2, 14a-2b-4=0, b=2. 所以抛物线的表达式为y=2x2十2x一4. “y=2x+2x-4=2x+)-4=2(x+2)°-9 顶点坐标为一名、一)】 (2)当x=0时，y=-4, C0-40M(号-2： 0M-g)+2=罗 9.D10.y=(x-4)2+411.y=-(x-3)2+12 2解：10：y=号2-3x+1=}(x2-6x)+1 2(x-3)2-7 21 .把它的图象向右平移1个单位长度，向下平移3个单位 长度得到的函数的表达式为y-之-3-1)-号-3 (2),图象绕它的顶点旋转180°后，其对称轴与顶点坐标 均不变，只是图象开口向下， ∴所得图象的函数表达式为y=一}(x-3)- 2x2+3x-8 (3)y=-3x+1=-3)y-的图象绕x轴 翻折， 顶点坐标为3)， ,图象翻折后开口向下， 1 :所求麦式为y=一2（x一3)十2三一 Γ2x2+3x-1, 13.C14.C15.D16.B17.C18.C 1-b+c=0 19.解：1)由题意，得。=2. 解得/64， c=3, 2 ∴.抛物线的表达式为y=x2一4x十3. (2)存在.，点A与点C关于直线x=2对称，∴.连接BC 与直线x=2交于点P,则点P即为所求，如图所示 A Y x=2 根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为(3,0)，y= x2-4x十3与y轴的交点为B(0,3). 设直线BC的表达式为y=kx十m,则3k十m=0, m=3, 解得k=一1， m=3. .直线BC的表达式为y=一x十3. 则直线BC与直线x=2的交点坐标为(2,1). .点P的坐标为(2,1). 20.解：(1)将B(3,0)代入y=-x2+bx+3,得-9十3b+3=0, 解得b=2, 故抛物线的表达式为y=一x2+2x十3. (2:en∠MBN=号， 故设MN=4m,NB=3m,则BM=5m, 则点N,M的坐标分别为(3-3m,0),(3-3m,4m), 当x=3-3m时，y=-x2+2.x+3=-9m2+12m, 则点Q(3一3m,一9m2+12m). .'QM=BM, 即-9m2+12m-4m=5m, 解得m=0(舍去)或m=3· 1 则点Q的坐标为(2,3). (3)令y=-x2十2x十3=0，得x=-1或x=3, .A(-1,0). 令x=0得y=3,∴.C(0,3). 设点P(m,-m2+2m十3)， 由点A,P的坐标得， 直线AP的表达式为y=一(m一3)(.x十1)， 则点D(0,3-m), 则OD=CF=3-m, 则DF=3-OD-CF=2m-3. 设点E的坐标为(t,(3-m)(t十1)，t>0, ,'S△AFE=S△ABE, 即2×DFXE-)=2×ABXyr, 即(2m-3)(t+1)=4×(3-m)(t+1), 5 解得m=2' 即点P的坐标为划号·)， 1 ,77 SAPA=2XABXyp=- 5确定二次函数的表达式 第1课时由两点确定二次函数的表达式 1.C2.y=-x2-2x-1 3.解：，二次函数y=a.x2十bx+c(a≠0)的图象的顶点在 x轴上，对称轴为直线x=1, ∴抛物线的顶点坐标为(1,0). 设抛物线的表达式为y=a(x一1)2， 把(2,2)代入，得2=a(2-1)2,解得a=2, y=2(x-1)2=2x2-4x+2, 即二次函数的表达式为y=2x2-4x十2. 4.D5.y=x2-6.x+5 6.解：(1)将点A(1,2),B(3,3)代入y=ax2一bx+3, 1 得a-6+3=2, 9u-6+36,解得 2' 六抛物线的函数表达式为y=之- 1 2x+3. (2)当x=-2时，y=2十3+3=8≠-1， ∴.点C(一2，一1)不在此抛物线上. 7y=+2+1或y=+1 8.C9.B10.A11.-4 12.解：(1)二次函数图象的顶点为A(1,一4)， ∴.设二次函数的表达式为y=a(x一1)2一4. 二次函数图象过点B(3,0),∴.0=4a-4,解得a=1, ∴.该二次函数的表达式为y=(x一1)2-4. (2)由图象可知二次函数图象向右平移1个单位，可使平 移后所得图象经过坐标原点，且与x轴的另一个交点坐标 为(4,0). 13.解：(1)设二次函数的表达式为y=a(x十1)(x-3)= ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a, 由最大值为4，得-4a=4,即a=-1, 则二次函数的表达式为y=一x2十2x十3. (2)列表： x…-10123 y …03430 … 2练测考九年级数学全一册LJ 第4课时 二次函数y=ax2十bx十c的图象与性质 (教材P87一P90内容) 基础夯实 7.已知二次函数y=- 2x2+6x-10. 知识点一二次函数y=ax2十bx十c的图象 1.已知二次函数y=ax2+bx一c(a≠0)，其中 (1)用配方法将它改写成y=a(x一h)2+ b>0,c>0,则该函数的图象可能为( ) 的形式； (2)画出其图象，并说出开口方向、对称轴和 顶点坐标； 1 (3)说出其图象与二次函数y=一2x2的图 象的关系 D 2.若抛物线y=ax2与y=一x2+3.x一1的形 状相同，则a的值为 ) A.-1 B.±1 C.1 D.±3 1 3.二次函数y=2x2+3x的图象开口向 顶点坐标是 ,对称轴是 8.如图，抛物线y=ax2十bx一4(a≠0)与x轴交 知识点二二次函数y=ax2+bx十c 的性质 于点A(1,0),B(-2,0),与y轴交于点C. 4.已知二次函数y=2x2一4x十5，当函数值 (1)求抛物线的表达式，并写出顶点D的坐标； y随x值的增大而增大时，x的取值范围 (2)连接AC,M是AC中点，连接OM,求线 是 () 段OM的长度. A.x<1B.x>1C.x<2 D.x>2 5.关于二次函数y=x2十2x一8，下列说法正 确的是 ) A.图象的对称轴在y轴的右侧 B.图象与y轴的交点坐标为(0,8) C.图象与x轴的交点坐标为（一2,0）和(4,0) D.y的最小值为一9 6.已知二次函数y=x2-2x-3的自变量x1, x2,x3对应的函数值分别为y1,y2,y3.当 -1<x1<0,1<x2<2,x3>3时，y1,y2y3 三者之间的大小关系是 () A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y2<y3<y1 破解千年难题数学天才1796年的一天，德国歌廷根大学，一个19岁的很有数学天赋的青年吃完晚 76 饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题.（待续） 第三章二次函数 知识点三二次函数y=ax2+bx十c图象的 知识点四 二次函数y=ax2十bx+c的图象 几何变换 与a,b,c的关系 9.(西藏中考)将抛物线y=(x一1)2+5通过 13.(株洲中考)如图所示， 平移后，得到抛物线的表达式为y=x2+ 直线l为二次函数y= 2x十3，则平移的方向和距离是 a.x2+bx+c(a≠0)的 A.向右平移2个单位长度，再向上平移3个 图象的对称轴，则下列 单位长度 说法正确的是( B.向右平移2个单位长度，再向下平移3个 A.b恒大于0 单位长度 B.a,b同号 C.向左平移2个单位长度，再向上平移3个 C.a,b异号 单位长度 D.以上说法都不对 D.向左平移2个单位长度，再向下平移3个 14.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 单位长度 象如图所示，则下列结论正确的是() 10.将抛物线y=x2一2x十3先向上平移2个 A.a>0,b>0,c>0B.a<0,b<0,c>0 C.a<0,b>0c>0D.a>0,b<0,c<0 单位长度，再向右平移3个单位长度后，得 到的抛物线的表达式为 11.将抛物线y=x2一6x一3沿x轴对称，得到 的新的抛物线的表达式为 1 12.已知二次函数y=222-3x+1. 1 -10T (1)若把它的图象向右平移1个单位长度， 第14题图 第15题图 向下平移3个单位长度，求所得图象的函数 15.(娄底中考)已知二次函数y=ax2+bx十c 表达式； 的图象如图所示，给出下列结论： (2)若把它的图象绕它的顶点旋转180°，求 ①abc<0; 所得图象的函数表达式； ②4a-2b+c>0; (3)若把它绕x轴翻折，求所得图象的表 ③a-b>m(am+b)(m为任意实数)； 达式 ④若点（一3，y1)和点(3，y2)在该图象上， 则y1>y2 其中正确的结论是 ( ) A.①②B.①④ C.②③ D.②④ ~能力提开 16.二次函数y=x2+bx+1中，当x>1时，y随x 的增大而增大，则一次项系数b满足( A.b>-2 B.b≥-2 C.b<-2 D.b=-2 17.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标 x,纵坐标y的对应值如下表： 2 0 0 像往常一样，前两道题目在两个小时内顺利地完成了，第三道题写在一张小纸条上，是要求只用圆规 和一把没有刻度的直尺作出正17边形.（待续） 77 练测考九年级数学全一册LJ 下列结论不正确的是 素养培优 A.抛物线的开口向下 20.如图，抛物线y=一x2+bx十3与x轴交于 及弛物线的对称轴为直线x号 点A、B(3,0),与y轴交于点C (1)求抛物线的表达式； C.抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0) (2)如图1，点Q是x轴上方抛物线上一点， D函数y=a2+6缸十e的最大值为 射线QM⊥x轴于点N,若QM=BM,且 18.已知二次函数y= x=1 tan∠MBN=3,请直接写出点Q的坐标： ax2+bx十c(a≠0)的 (3)如图2，点E是第一象限内一点，连接 图象如图，有下列 AE交y轴于点D,AE的延长线交抛物线 4个结论：①abc<0 于点P,点F在线段CD上，且CF=OD, ②2a+b=0;③4a+ 连接FA,FE,BE,BP,若S△AFE=S△ABE, 2b十c>0;④3a+c>0.其中正确的结论有 求△PAB的面积. () A.1个B.2个 C.3个 D.4个 19.如图，抛物线y=x2一bx十c交x轴于点 A(1,0)、C,交y轴于点B,对称轴是直线x=2. (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否 图 图2 存在点P,使△PAB的周长最小？若存在，求 出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 青年做着做着，感到越来越吃力，开始，他还想，也许导师见我每天的题目都做得很顺利，这次特意给 78 我增加难度吧.但是，时间一分一秒地过去了，第三道题竟毫无进展.（待续）