微专题9 学科融合三角函数的跨学科应用-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

练测考九年级数学全一册L小 微专题九学科融合 类型一三角函数在物理中的应用 1.桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古 代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一 种利用杠杆原理的取水机械.桔槔示意图如 图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆， OM=3米，AB是杠杆，AB=6米，OA: OB=2:1.当点A位于最高点时， ∠AOM=120°.此时，点A到地面的距离为 M 地面 图1 图2 A.(23+3)米 B.5米 C.6米 D.7米 2.如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD 上点O反射后照射到B点，若入射角为α， 反射角为3（反射角等于入射角），AC⊥CD 于点C,BD⊥CD于点D,且AC=6,BD=8, CD=21,则tana的值为 D 3.在苏科版九年级物理第十一章《简单机械和 功》章节中有这样一个问题：“如图1示意图 所示，均匀杆AB长为8dm,杆AB可以绕 转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正 上方距离为10dm处固定一个小定滑轮，细 绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆 AB从水平位置缓慢向上拉起.当杆AB与 水平面夹角为30°时，求动力臂.”从数学角 度看是这样一个问题：如图2，已知AB= 8dm,CA⊥AD于点D且CA=10dm,连接 伽利略继续说：“难道亚里士多德讲的不符合 56 则就不是真正的科学.”比罗教授被问倒了，下 三角函数的跨学科应用 CB,求点A到BC的距离.请写出解答过程 求出点A到BC的距离.（结果保留根号） Liliiitit tiiiiiiia B⊙ D 图1 图2 4.我们在物理学科中学过：光线从空气射入水 中会发生折射现象（如图1），我们把n= n称为折射率（其中。代表入射角B代表 折射角). 【观察实验】 为了观察光线的折射现象，设计了如图2所 示的实验，即通过细管MN可以看见水底的 物块C,但不在细管MN所在直线上，图3是 实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A, C,B在同一直线上，测得BF=12cm,DF= 16cm. 实，也要硬说是对的吗？科学一定要与事实相符，否 不了台.（待续） (1)求入射角a的度数； (2)若BC=7cm,求光线从空气射入水中的 折射率n.(参考数据：sin53≈5，cos53°≈ am53) 3 入射角a一法线 4介质 介质（折射率） 折射角B 图1 图2 图3 5.【新知学习】如图1，两个力作用于点A,线段 AB,AD的长度分别表示力的大小，箭头方 向为力的方向，则两个力可以产生一个效果 相同的合力，此合力的大小可用以AB,AD 为邻边的平行四边形ABCD的对角线AC 长度表示，合力方向为AC箭头方向. 后来，伽利略果然受到了校方的批评，但是，他勇于坚 变.正因为这样，他才最终成为一代科学巨匠. 第二章直角三角形的边角关系 【数学实践】现有两个同规格的滑轮、若干个 同质量的砝码和一条无弹性绳子.如图2，将 两个滑轮固定在同一水平高度的A,B两 点，在绳子的固定位置点C处挂5个砝码， 绳子分别绕过两个滑轮，两端分别挂4个和 3个砝码，平衡静止时，量得夹角∠ACB= 90°，根据“新知学习”进行受力分析，如图3， 作平行四边形CDEF,此时CE=CG,即 CD:CF:CE=3:4:5,从而验证了 ∠ACB是直角 D 909 图1 图2 图3 【问题解决】(1)若将挂中间的5个砝码中取 出1个挂在右边，使三处所挂砝码均为4个， 平衡静止时，∠ACB的度数为 度. (2)若将挂中间的5个砝码中取走1个，使从 左到右三处所挂砝码个数分别为4个、4个、 3个，平衡静止时，sinB的值为 类型二三角函数在语文中的应用 6.据古书记载：“春秋，鲁班至楚为楚王作攻城 云梯，云梯之面为二角约为40°，若楚欲攻 宋，知宋城高为十余丈，则梯长为修矣？”译： 春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城 用的云梯，如图所示，云梯AB与水平面BC 的夹角为40°，若楚国欲攻打宋国，已知宋国 城墙AC高为10丈，则云梯梯身长AB约为 10 10 in40文 A. 0s40文 B. C.10sin40°丈 D.10cos40°丈 持、好学善问、追求真理的精神却丝毫没有改 579.解：如图，过点C作CF⊥AB,交AB于点F 53°45° 在Rt△CED中，∠CED=45°， .△CED是等腰直角三角形， .∴.CD=DE=20米 在Rt△ABE中，∠AEB=53°， tm∠AEB=m53-能-号 被AB=0米 由题意，得BF=CD=DE=20米， CF=BD=BE十ED=80(米)， .∴.AF=AB-BF=80-20=60(米) 在Rt△ACF中，AC=√AF2+CF=100(米). ∴.A,C之间的距离为100米. 10.解：如图，过点O作OD⊥BC,交BC的延长线于点D,过 点O作OE⊥AB,垂足为E. "D 由题意，得A0=8×5=40(米)，OC=4×5=20(米)， OE=BD.OE//BD. .∠EOC=∠OCD=45°」 :∠AOC=75, ∴.∠AOE=∠AOC-∠EOC=30°， 在Rt△OCD中. CD=0C·c0s45=20x 2 =10√2（米）， 在Rt△AOE中， 0E=A0a30=40X =20√3（米）， ∴.OE=BD=20W3(米)， ∴.BC=BD-CD=20√3-10√2≈21（米）， .小李到古塔的水平距离即BC的长约为21米 11.解：(1)延长BD交MN于点E N 、37 45c3B 由题意得BE⊥MN,CD=AB=EM=1.3米，BD=AC= 33米. 设DE=x米，.BE=BD+DE=(.x十33)米， 在Rt△BNE中，∠NBE=37°， NE=BE·tan37°≈3 x十33)米 4 在Rt△NDE中，∠NDE=45°， .NE=DE·tan45°=x(米)， x=子+3)，解得x=9. .NE=99米， .∴.NM=NE+ME=99+1.3=100.3(米)， 圭表塔的高度约为100.3米. (2)由题意，得100.3一100=0.3（米）， ∴.计算结果的误差为0.3米。 可能导致计算结果产生误差的原因为：卷尺没有拉直（答 案不唯一). 微专题九学科融合一三角函数的跨学科应用 1B2号 3.解：设点A到BC的距离为hdm, 如图，过点B作BE⊥AC于E, CA⊥AD,∠DAC=90°. :∠BAD=30°，∠BAE=60° ,∠AEB=90°，.∠ABE=30°. :AB=8dmAE=号AB=4dm. BE-经AB=4gdn AC=10dm,.CE=10-4=6(dm), .BC=√BE2+CE2=√/(4√5)2+62=2√2I(dm), :Sa=2AC·BE=BC, :h=10x45_207(dm. 2√2I 7 ∴点A到的距离为20,7 dm. 4.解：(1)如图，过点D作DG⊥AB,垂足为 点G. 由题意得，四边形DGBF是矩形， .'.DG=BF=12 cm,BG=DF=16 cm, B_16_4 在R△DGB中，tan∠BDG-C23, ∴∠BDG=53°，.∠PDH=∠BDG=53, ∴.人射角a的度数为53. (2).'BG=16 cm,BC=7 cm,.'.CG=BG-BC=9(cm). 在Rt△CDG中，DG=12cm, .DC=√CG+DG=√92+12=15(cm), sim月=sin∠GDC-C-9-3 CD155 由(1)，得∠PDH=53°，∴.sin∠PDH=sina≈ 4 5 “折射率m=sin。=5 4 sin B 3 3' “光线从空气射人水中的折射率m为专 5.解：(1)如图， 构造平行四边形CFED,由题意CF=CE=CD, .'EF=CD,CF=DE, ..CF=EF=DE=CD=CE ∴，△EFC,△ECD都是等边三角形， ∴.∠ECF=∠ECD=60°，∴∠ACB=120. 答案：120 (2)如图， 构造平行四边形CFED,由题意 CF=CE=4.CD=3. .CF=DE=4,∴.EC=ED 过点E作EH LCD于点H,则CH=DH=多， ,∠B+∠ECB=90°，∠CEH+∠ECB=90°， 六∠CEH=∠B,∴sinB=sin∠CEH=C-2=3 CE 48 答案： 6.A 章末复习 1c2c3号425 53g或写 6.C7.-1 8.55 9解：原式=1-2×号十4×() =1-1+3 =3. 10.解：(1)如图，连接BD,设BC的垂直平分线交BC于点F, .'BD=CD, /D E CAABD=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC. AB=CE,.'.CAABD=AC+CE=AE=1, 故△ABD的周长为1. (2)设AD=x,则BD=3x. 又.BD=CD,∴.AC=AD+CD=4x. 在Rt△ABD中，AB=W√BD2-AD=√/(3x)2-x= 2W2x. /Ae =2 11.解：(1)如图，过点A作AH⊥BC,垂足为点H, 在Rt△ACH中，∠C=45°， ∴.∠HAC=∠C=45°， ..AH=CH. B AH 1 在Rt△ABH中，tanB BH2 .'.BH=2AH. 设AH=x,那么CH=x,BH=2x, .BC=BH+CH=12,..2x+x=12 解得x=4,.AH=4,BH=8, 在Rt△ABH中，AB=√/AH+BH2=45, 即AB的长为45. (2)如图，过点D作DG⊥BC,垂足为点G, AH⊥BC,∴∠DGC=∠AHC=90°，∴.DG∥AH, 阳器品 AB4 BG-子BG=6,dBG=CG=6 ∴.DG是线段BC的垂直平分线， ∴.BD=CD,.∠BCD=∠B. 12.(15W3+1) 13.解：如图，过点A作AD⊥BC于点D,设AD=x海里， 北 D 由题意，得∠ABD=32°，∠ACD=45°，BC=6海里， 在R1△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°， AD=CD=x海里， 在Rt人ABD中，tan∠ABD-. ..BD= AD an32≈0.625=6+x,解得x=10. .*10>9. ∴，如果船不改变航线继续向西航行，没有触礁的危险. 14.解：如图， E CD 1 由题意得DF=5AB=0.15(m), :斜坡AC的坡比为1：2， ..AB-1 DF 1 ·BC=2'CD2 ∴.BC=2AB=1.5(m),CD=2DF=0.3(m). .ED=2.55m, ∴.EB=ED+BC-CD=2.55+1.5-0.3=3.75(m). 在△AB中，an∠AEB带-分， 查表可得，∠AEB≈11.310°， ∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于 12度. 第三章二次函数 1对函数的再认识 第1课时函数及函数值 1 1.C2.D3.A4.A5.B6.y=-2x+24(0<x<48) 7.B 8.解：(1)y=2x十3=2×(-2)+3=-1. (2)y=-x2+2=-(-2)2+2=-2.