2.5三角函数的应用同步练习 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

三角函数的应用 一、单选题 1．如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点的对应点到的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则高可表示为（   ） A． B． C． D． 3．如图．是地平线上的一点，小明在点的正上方飞无人机，他将无人机升高，此时无人机测得点的俯角为．若点，，在同一平面内，则点，之间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．如图，一枚自制小火箭从发射点处发射，身高为1.6米的小明在离发射点距离的处，当小火箭到达点时，小明测得此刻的仰角为，则这枚小火箭此时的高度是（    ） A． B． C． D． 5．一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（   ） A． B． C． D． 6．某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（   ） A． B． C． D． 7．如图，一座高的过街天桥，天桥的坡面的长为，则天桥的坡面的坡度为（    ） A． B． C． D． 8．如图，这是某堤坝的横截面，斜坡米，的坡度，且，则到的距离为（    ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 9．聪聪放一线长米的风筝，他的风筝线与水平地面构成角，他的风筝高为（    ） A． B． C． D． 10．如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端离墙根的垂直距离米，则梯子顶端距地面的垂直高度 米． 12．如图，在离铁塔底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为，测角仪高为米，则铁塔的高为 米． 13．如图，一艘货轮以36海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的东北方向有一灯塔．货轮继续向北航行后到达处，发现灯塔在它北偏东方向上，则此时货轮与灯塔的距离为 海里．（结果保留根号） 14．当小可同学沿着坡度为的坡面行走了90米时，他实际上升的高度是 米． 15．如图，这是小美家的楼梯示意图，妈妈想给楼梯铺上地毯．已知，，米，则小美家楼梯的地毯长度至少需要 米．（结果保留根号） 三、解答题 16．如下图，在中，为边上的中线． (1)求的长和的值． (2)求的值． 17．综合与实践：某“综合与实践”小组开展了测量不可到达的建筑物的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间在建筑物旁边小楼房完成了实地测量，在小楼房楼底处测得处的仰角（）为，在小楼房楼顶处测得处的仰角（）为．测得的高度为（，）在同一平面内，，在同一水平面上），通过测量数据求建筑物的高？ 18．如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围300米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从向东走900米到达处，测得在点的北偏西方向上．是否穿过古建筑保护群？为什么？（参考数据：） 19．暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡比为，缆车的行驶路线全长，且与水平面的夹角，点A，B，C，D在同一平面内．求这座山的高度．（参考数据：，，） 20．如图是一架斜靠在墙面上的梯子，当梯子与地面所形成的夹角α满足时，人在爬梯子时才会安全．已知梯子长为． (1)在安全范围内，该梯子顶端距离地面的最大高度是多少？（精确到） (2)当梯子底端距离墙面时，人是否能够安全使用这个梯子？请说明理由．（参考数据：） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D A C C D A A A 1．A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：由旋转可得， 在中，，， ∴（米）． 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据是等腰的高，可得是直角三角形，根据，可以表示出的长度． 【详解】解：是等腰的高， ， 在中，， 又， ， 故选： A． 3．D 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正切的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， 即点A，B之间的距离为． 故选：D． 4．A 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形．过点D作于点E，则，证明四边形是矩形，则，，由得到，即可得到答案． 【详解】解：过点D作于点E，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴ ∴ 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方向角，矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的知识是解答本题的关键． 过点作于点，过点作于点，得到四边形是矩形，，，在中，求出，，再根据锐角三角函数定义得到，由此得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， 由题意得：， ∴，， ， 由题意得，， ， ∴． 故选：C． 6．C 【分析】本题主要考查解直角三角形的方位角应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 依题意， 则 在中， ， ， ． 故选：C 7．D 【分析】先根据勾股定理求出，再根据坡面坡度等于即可得出答案． 本题考查了坡度的定义，坡度， 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴桥的坡面AC的坡度， 故选D． 8．A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，求平行线间的距离，过点B作于点E，根据题意可设米，米，利用勾股定理建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于点E， ∵的坡度， ∴， 设米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴米， ∵， ∴到的距离为6米， 故选：A． 9．A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键．将实际问题转化为直角三角形模型，风筝线长米为斜边，与水平地面成角，风筝高度为角的对边，利用正弦函数求解． 【详解】解：设风筝的高度为 米． 由题意可知，风筝线长为斜边，长度为米， 风筝线与水平地面构成 角， 则风筝高度是该角的对边， 在直角三角形中，根据正弦函数的定义， ∴， ∴． 故选：A． 10．A 【分析】本题考查了锐角三角函数及解直角三角形的实际应用，关键是在直角三角形中使用恰当的三角函数解题；在直角三角形中，利用余弦求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴在中， ， ∴． 故选：A． 11． 【分析】本题考查了特殊的锐角三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题通过题干可得，，，然后根据，然后即可求解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了解直角三角形，特殊角的正切值．解题的关键在于构造直角三角形． 如图所示，过点作，则四边形为矩形，米，米，在中，，求出的值，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作， 则四边形为矩形， ∴米，米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 故答案为：． 13． 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题意正确作出辅助线是解题的关键．过点作于点；根据题意求出的长，由锐角三角函数定义求出的长，再由三角形的外角的性质求出的度数，进而求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∵货轮以海里/小时的速度在海面上航行，向北航行分钟后到达点， ∴（海里）， ∵， ∴（海里）， ∵， ∴， ∴（海里）， 即此时货轮与灯塔的距离为海里． 14． 30 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，坡度表示垂直高度与水平距离的比，根据勾股定理，坡面长度是斜边，垂直高度与水平距离满足比例关系，代入计算即可． 【详解】解：由坡度，设垂直高度为h米，则水平距离为米．根据勾股定理，坡面长度s满足， ∴．给定米， ∴，故实际上升的高度为30米． 故答案为：30． 15． 【分析】本题考查解直角三角形，理解题意，得到地毯的长度等于的长度，然后利用正切定义求得即可． 【详解】解：在中，，，米，， ∴（米）， ∴小美家楼梯的地毯长度至少需要米， 故答案为：． 16．(1)， (2) 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据题意作辅助线，熟练掌握解锐角三角函数和勾股定理等基本知识点． （1）根据，求出线段的长度，在Rt中由勾股定理即可求出的值，再在Rt中由勾股定理求出的长，利用锐角三角函数的定义即可求出的值； （2）解法一：连接，过F作的垂线，垂足为，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，由勾股定理可得，，即可求．解法二：直接用三角形中位线定理求解即可． 【详解】（1）， ， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ． （2）解：如图，连接，过点作的垂线，垂足为． 为边上的中线， 为的中点， 为等腰三角形， 又， 在中，， 一题多解法（2）如图，过点作的垂线，垂足为． 为边上的中线， 为的中点， 是的中位线， ， 在中，. 17． 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用与仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 由题意可得，，，易得四边形为矩形，则、，设，则，在中解直角三角形可得，在中，，解得：，进而求得即可解答． 【详解】解：依题意，，，， 四边形为矩形， ，， 设，则， ∵在中，， ， 在中，，解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ． 18．不会穿过古建筑保护群，理由见解析 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 过点C作于H．与都可以根据锐角三角函数用表示出来．根据的长，得到一个关于的方程，解出的长．从而判断出这条公路会不会穿过古建筑保护群． 【详解】解：不会穿过古建筑保护群，理由如下： 如图，过C作于H， 设， 由已知有，， 则，， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵． ∴不会穿过古建筑保护群． 19．这座山的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的计算是关键．过点B作于点E，于点F．由可得，由可得，得出（m），最后再求解即可． 【详解】解：如图，过点B作于点E，于点F． ∵山坡的坡比为 ∴ ∴ ∵ ∴． 在中，， 则（m）． 易得四边形为矩形， ∴， ∴（m）． 答：这座山的高度约为． 20．(1)梯子顶端距离地面的最大高度约为 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用． （1）根据正弦的定义求出即可； （2）根据余弦的定义分别求出、时，的长度，判断即可． 【详解】（1）解：由题意可知：当时，梯子顶端距离地面的高度最大， 在中，， ∵， ∴（）， 答：梯子顶端距离地面的最大高度约为； （2）解：能，理由如下：当时，（）， 当时，（）， ∵， ∴当梯子底端距离墙面时，人能够安全使用这个梯子． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数的应用 一、单选题 1．如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点的对应点到的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则高可表示为（   ） A． B． C． D． 3．如图．是地平线上的一点，小明在点的正上方飞无人机，他将无人机升高，此时无人机测得点的俯角为．若点，，在同一平面内，则点，之间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．如图，一枚自制小火箭从发射点处发射，身高为1.6米的小明在离发射点距离的处，当小火箭到达点时，小明测得此刻的仰角为，则这枚小火箭此时的高度是（    ） A． B． C． D． 5．一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（   ） A． B． C． D． 6．某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（   ） A． B． C． D． 7．如图，一座高的过街天桥，天桥的坡面的长为，则天桥的坡面的坡度为（    ） A． B． C． D． 8．如图，这是某堤坝的横截面，斜坡米，的坡度，且，则到的距离为（    ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 9．聪聪放一线长米的风筝，他的风筝线与水平地面构成角，他的风筝高为（    ） A． B． C． D． 10．如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端离墙根的垂直距离米，则梯子顶端距地面的垂直高度 米． 12．如图，在离铁塔底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为，测角仪高为米，则铁塔的高为 米． 13．如图，一艘货轮以36海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的东北方向有一灯塔．货轮继续向北航行后到达处，发现灯塔在它北偏东方向上，则此时货轮与灯塔的距离为 海里．（结果保留根号） 14．当小可同学沿着坡度为的坡面行走了90米时，他实际上升的高度是 米． 15．如图，这是小美家的楼梯示意图，妈妈想给楼梯铺上地毯．已知，，米，则小美家楼梯的地毯长度至少需要 米．（结果保留根号） 三、解答题 16．如下图，在中，为边上的中线． (1)求的长和的值． (2)求的值． 17．综合与实践：某“综合与实践”小组开展了测量不可到达的建筑物的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间在建筑物旁边小楼房完成了实地测量，在小楼房楼底处测得处的仰角（）为，在小楼房楼顶处测得处的仰角（）为．测得的高度为（，）在同一平面内，，在同一水平面上），通过测量数据求建筑物的高？ 18．如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围300米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从向东走900米到达处，测得在点的北偏西方向上．是否穿过古建筑保护群？为什么？（参考数据：） 19．暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡比为，缆车的行驶路线全长，且与水平面的夹角，点A，B，C，D在同一平面内．求这座山的高度．（参考数据：，，） 20．如图是一架斜靠在墙面上的梯子，当梯子与地面所形成的夹角α满足时，人在爬梯子时才会安全．已知梯子长为． (1)在安全范围内，该梯子顶端距离地面的最大高度是多少？（精确到） (2)当梯子底端距离墙面时，人是否能够安全使用这个梯子？请说明理由．（参考数据：） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $