微专题8 现实生活情境中的解直角三角形-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

练测考九年级数学全一册LJ 微专题八现实生活情境中的解直角三角形 类型一生活物品中的解直角三角形 3.如图1是一种可折叠单面A字展架，其主体 1.(佛山模拟)如图，一辆自行车竖直摆放在水 部分的示意图如图2，由展板BC、支架OA 平地面上，右边是它的部分示意图，现测得 (可绕O点转动)和活动杆DFE(D,E,F均 ∠A=88°，∠C=42°，AB=60,则点A到 为可转动支点)组成.该展架是通过改变 BC的距离为 ∠DFE的大小使其打开或收拢，在使用该 展架时为了防止倾倒，∠AOB不得小于 30°.现测得OD=OE=60cm,AD=BE= 40 cm,DF=EF=15 cm. B A.60sin50° B.、60 S1n50° C.60cos50° D.60tan50° 2.曲阜尼山圣境孔子像，背山面湖，面南而立， 为世界最高最大的孔子像，成为儒客和游人 图 图2 图3 朝拜、瞻仰必到之处.一游客想知道孔子像 (1)求支架底端A,B张开的最大距离； AB的高度.如图，AB与水平面BD垂直，在 (2)工作人员转动支点，使FD与OA垂直后 点D处测得顶部A的仰角是37°，向前走了 并固定（如图3），请你判断此时是否符合规 24米至点E处，测得此时顶部A的仰角是 范使用的要求？并说明理由.（参考数据： 45°，请聪明的你帮他求出孔子像AB的高度. sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53， (参考数超：n3多c0s37后 sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25) tan37°≈3 45237D 老师讲道：“母亲生男孩还是生女孩，是由父亲的强弱决定的.父亲身体强壮，母亲就生男孩；父亲身 52 体衰弱，母亲就生女孩.”教授的话音刚落，伽利略就举手道：“老师，我有疑问.”（待续） 第二章直角三角形的边角关系 4.(济南中考)图1是某越野车的侧面示意图， 类型二生活情境中的解直角三角形 折线段ABC表示车后盖，已知AB=1m, 5.如图，一艘海轮位于灯塔P的南 BC=0.6m,∠ABC=123°，该车的高度 偏东45°方向，距离灯塔60 n mile AO=1.7m.如图2，打开后备箱，车后盖 的A处，它沿正北方向航行一段 ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角 时间后，到达位于灯塔P的北偏 45 ∠B'AD=27°. 东30°方向上的B处，这时，B处 (1)求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地 与灯塔P的距离为 n mile 面l的距离； 6.(临沂中考)如图，在某小区内拐角处的一段 (2)若小琳爸爸的身高为1.8m,他从打开的 道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从 车后盖C‘处经过，有没有碰头的危险？请说 被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知 明理由.（结果精确到0.01m,参考数据： CM=3 m,CO=5 m,DO=3 m,ZAOD= sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈ 70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的 0.510,W3≈1.732) 儿童？（结果保留整数）（参考数据：sin37°≈ 0.60,cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin70°≈ 0.94,cos70°≈0.34，tan70°≈2.75) 2 0 2号楼 图 图2 比罗教授不高兴地说：“你提的问题太多了！你是个学生，上课时应该认真听老师讲，多记笔记，不要 胡思乱想，动不动就提问题，影响同学们学习！”（待续） 53 练测考九年级数学全一册L小 7.(乐山期末)我国的特高压输电技术世界领 9.（德州中考)如图，某校综合实践小组在两栋 先，为了“西电东送”，需要一排排高大的自 楼之间的水平地面E处放置一个测角仪，经 西向东电塔来支撑电线.如图，一辆汽车行 测量，∠AEB=53°，∠CED=45°，已知 驶在平行于输电线路的公路上，小明坐在车 BE=60米，ED=20米.求两栋楼楼顶A,C 里观察M,N两个电塔.车在A处时，观察 4 到电塔N在正北方向，车向西行驶100m 之间的距离.（参考数据：sin53≈5，cos53°≈ 到B处时，观察到电塔M在北偏东15°，电 3 塔N在北偏东45°. 5·口53，则自义的高更忽田修主十) (1)求B到电塔N的距离； (2)求M,N两个电塔之间的距离， M 53450 E D 类型三生活建筑中的解直角三角形 8.如图，AB是一垂 直于水平面的建 筑物，某同学从建 B 筑物底端B出发， i=1:0.7524°c D E 先沿水平方向向右行走20米到达点C,再 经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75,坡长 为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水 平方向向右行走40米到达点E(A,B,C, D,E均在同一平面内)，在E处测得建筑物 顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度 约为 米.（参考数据：sin24°≈ 0.41,c0s24°≈0.91，tan24°≈0.45) “这不是胡思乱想，也不是动不动就提问题.我的邻居，男的身体非常强壮，可他的妻子一连生了5个 54 女儿.这与老师讲的正好相反，这该怎么解释？”（待续） 第二章直角三角形的边角关系 10.如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点 11.河南省科技馆（新馆）位于郑州市郑东新区 A,其正下方水平面上的点记作点B),小李 象湖湖畔，是河南省有史以来规模最大、投 站在附近的水平地面上，他想知道自己到 资最多的公益性投资项目.郑东新区某数 古塔的水平距离，便利用无人机进行测量， 学兴趣小组在去科技馆游玩时，尝试用所 但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔 学的知识测量圭表塔的高度，以下是他们 顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底 的测量方案：先站在地面的A点处用测倾 (记为点C)出发向右上方（与地面成45°， 器测得圭表塔的顶端V点的仰角为37°，接 点A,B,C,O在同一平面)的方向匀速飞 着沿圭表塔的方向前进33米到达C处测 行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向， 得顶端N的仰角为45°（点A,C,M在同一 继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的 直线上)， 速度为5米：秒，∠AOC=75°，求小李到古 塔的水平距离即BC的长.（结果精确到 1m,参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73) 、370 452B (1)已知测倾器的高度为1.3米，请你根据 75°0 以上数据求出圭表塔的高度；（结果精确到 3 459 0.1,参考数据：sin37°≈ 5,c0s37°≈4， 5 2≈1.414) tan37°≈3 (2)通过查看科技馆的介绍，发现圭表塔的 高度是100米，则计算结果的误差为多少？ 请你说出一条可能导致计算结果产生误差 的原因. 伽利略没有被比罗教授吓倒，继续发问.“我是根据古希腊著名学者亚里士多德的观点讲的，不会 错！”比罗教授搬出了理论根据，想压服他.（待续） 55279 30 人459 ∴.CE=√3DE=33m,,BA⊥EA, 在Rt△ABC中，∠BCA=45°， 设AB=hm,.AC= AB tan 45=h m, ∴.AE=EC+AC=(33+h)m. 过点D作DF⊥AB于点F,由题意，得DE=FA=3m, DF=EA=(33+h)m. ∵AB=hm,∴.BF=AB-AF=(h-3)m 在Rt△BDF中，∠BDF=27 ∴.BF=DF·tan27°=0.5(3√3+h)m, .h-3=0.5(3W3+h),∴.h=33+6≈11.1， ∴.AB=11.1m,.塔AB的高度约为11.1m. 微专题八现实生活情境中的解直角三角形 1.A 2.解：由题意得DE=24米. 在Rt△ABE中，∠AEB=45°， .∠BAE=45°，AB=BE. 设AB=BE=x米， 在R△ABD中，tan∠ADB=BD, AB 六m372千22千*解得=72 经检验，x=72是原方程的解， ∴.AB=72米. .∴.孔子像AB的高度为72米 3.解：(1)当D,E,F三点共线时，AB最大， 过点O作OH⊥AB,如图所示. 由等腰三角形的性质可知OH经过点F, .OD=OE=60 cm,AD=BE=40 cm, ..AO=OB=100 cm,AH=BH, 咒识即5解得AH=5 ∴.AB=2AH=50cm. (2)不符合要求，理由如下： 连接OF,如图所示. ,DF⊥OA,.∠ODF=90°， m∠0F-8S-品-e25. ∴.∠D0F=14. .OF=OF.OD=OE.DF=EF, ∴.△DOF≌△EOF(SSS), ,.∠EOF=∠DOF=14°， .∠AOB=28,28°<30°， ∴此时不符合规范使用的要求， 4.解：(1)如图，作B'E⊥AD,垂足为点E, 在Rt△AB'E中， ∠B'AD=27°，AB'=AB=1m, sin27°=B'E AB'' .∴.B'E=AB'sin27°≈1×0.454=0.454(m), 平行线间的距离处处相等， .B'E+A0=0.454+1.7=2.154≈2.15(m). .车后盖最高点B'到地面的距离为2.15m. (2)没有危险，理由如下： 如图，过C'作C'F⊥B'E,垂足为点F, ∠B'AD=27°，∠BEA=90°， ∴.∠AB'E=63°， .∠AB'C'=∠ABC=123°， .∠C'B'F=∠AB'C'-∠AB'E=60°， 在Rt△B'FC'中，B'C'=BC=0.6m, ∴.B'F=B'C'·cos60°=0.3(m) ,平行线间的距离处处相等， .C到地面的距离为2.15-0.3=1.85(m). 1.85>1.8,.没有危险。 5.60√2 6.解：，CM=3m,OC=5m,∠CMO=90°， ∴.OM=W√OC2-CM=4(m). :∠CMO=∠BDO=90°，∠COM=∠BOD, .∴.△COM∽△BOD, 00即品 4 即BD=3 ∴.BD= 9 4 =2.25(m), anZA0D=an70°8 即AB+BD_AB+2,25≈2.75， DO 3 解得AB=6(m), .汽车从A处前行约6m才能发现C处的儿童. 7.解：(1)电塔N在A正北方向，电塔N在B北偏东45方 向，AB=100m, ∴∠ABN=90°-45=45，∠BAN=90°， ∴BN=AB cos45=100,2m, .B到电塔N的距离为100√2m. (2)过点M作MP⊥BN于点P,如图所示， 设MN=x, .'ABMN,∠ABN=45°， ∴.∠BNM=∠ABN=45°. 在Rt△MNP中，∠BNM=45°， MP-NP-MN- 2 2x, ∠MBN=45°-15°=30°. 在Rt△MBP中，∠MBN=30°， .BP=MP6 tan 302. .BN=BP+NP, :6 2 x+2x=100v2, .x=100W3-100, .M,N两个电塔之间的距离为(100W3-100)m. 8.21.7 9.解：如图，过点C作CF⊥AB,交AB于点F 53°45° 在Rt△CED中，∠CED=45°， .△CED是等腰直角三角形， .∴.CD=DE=20米 在Rt△ABE中，∠AEB=53°， tm∠AEB=m53-能-号 被AB=0米 由题意，得BF=CD=DE=20米， CF=BD=BE十ED=80(米)， .∴.AF=AB-BF=80-20=60(米) 在Rt△ACF中，AC=√AF2+CF=100(米). ∴.A,C之间的距离为100米. 10.解：如图，过点O作OD⊥BC,交BC的延长线于点D,过 点O作OE⊥AB,垂足为E. "D 由题意，得A0=8×5=40(米)，OC=4×5=20(米)， OE=BD.OE//BD. .∠EOC=∠OCD=45°」 :∠AOC=75, ∴.∠AOE=∠AOC-∠EOC=30°， 在Rt△OCD中. CD=0C·c0s45=20x 2 =10√2（米）， 在Rt△AOE中， 0E=A0a30=40X =20√3（米）， ∴.OE=BD=20W3(米)， ∴.BC=BD-CD=20√3-10√2≈21（米）， .小李到古塔的水平距离即BC的长约为21米 11.解：(1)延长BD交MN于点E N 、37 45c3B 由题意得BE⊥MN,CD=AB=EM=1.3米，BD=AC= 33米. 设DE=x米，.BE=BD+DE=(.x十33)米， 在Rt△BNE中，∠NBE=37°， NE=BE·tan37°≈3 x十33)米 4 在Rt△NDE中，∠NDE=45°， .NE=DE·tan45°=x(米)， x=子+3)，解得x=9. .NE=99米， .∴.NM=NE+ME=99+1.3=100.3(米)， 圭表塔的高度约为100.3米. (2)由题意，得100.3一100=0.3（米）， ∴.计算结果的误差为0.3米。 可能导致计算结果产生误差的原因为：卷尺没有拉直（答 案不唯一). 微专题九学科融合一三角函数的跨学科应用 1B2号 3.解：设点A到BC的距离为hdm, 如图，过点B作BE⊥AC于E, CA⊥AD,∠DAC=90°. :∠BAD=30°，∠BAE=60° ,∠AEB=90°，.∠ABE=30°. :AB=8dmAE=号AB=4dm. BE-经AB=4gdn AC=10dm,.CE=10-4=6(dm), .BC=√BE2+CE2=√/(4√5)2+62=2√2I(dm), :Sa=2AC·BE=BC, :h=10x45_207(dm. 2√2I 7 ∴点A到的距离为20,7 dm. 4.解：(1)如图，过点D作DG⊥AB,垂足为 点G. 由题意得，四边形DGBF是矩形， .'.DG=BF=12 cm,BG=DF=16 cm, B_16_4 在R△DGB中，tan∠BDG-C23, ∴∠BDG=53°，.∠PDH=∠BDG=53, ∴.人射角a的度数为53. (2).'BG=16 cm,BC=7 cm,.'.CG=BG-BC=9(cm). 在Rt△CDG中，DG=12cm, .DC=√CG+DG=√92+12=15(cm), sim月=sin∠GDC-C-9-3 CD155 由(1)，得∠PDH=53°，∴.sin∠PDH=sina≈ 4 5 “折射率m=sin。=5 4 sin B 3 3' “光线从空气射人水中的折射率m为专 5.解：(1)如图，