微专题7 解直角三角形在实际应用中的几种常见类型-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

练测考九年级数学全一册L小 微专题七解直角三角形在实际应用中的几种常见类型 类型一 在三角形内部作高一背对背型 0.1m参考数据：sin37°≈ 5,c0s37°≈4 常见 等量关系 AD为公共边， 图示 DC+BD=BC tan37°≈3 W2≈1.41) E CE=AD, 等量关系 CD=EA. D:H AB=CE+BD 模型 演变 CD=EF. 等量 关系 CE=DF, AB=AD+CE+BF 9 1.如图，沿AB方向架桥BD,以桥两端B,D 出发，修公路BC和DC,测得∠ABC= 类型二在三角形外部作高—母子型 150°，BC=1800m,∠BCD=105°，则公路 DC的长为 () 等量 BC为公共边， A 关系 AD+DC=AC 2 C 常见 ① 图示 D A.900m B.900√2m B 等量关系 BC为公共边， C.9003m D.1800m DC-BC=DB 2.“没有全民健康，就没有全面小康.”全民健 身被越来越多的人接纳，人们的健身方式更 ② 加多元，健身场地更加丰富，沿河跑步也成 为一种时尚.九年级学生小明在河边跑步 DF=EC.DE=FC. 等量 BC=BF+FC=BF+DE 时，决定用数学知识计算河的宽度，如图是 E关系 AC=AE+DF 一条河的示意图，小明沿河岸GH跑步，对 B1.2 岸EF上有两棵大树A,B,当小明跑到C处 模型 时，测得大树A在北偏东53°方向，小明继续 演变 跑步5分钟到达D处，此时大树B刚好在 等量AF=CE,AC=FE, 北偏西45°方向.已知EF/GH,AB=50m, 关系 BE=BC+CE=BC+AF 小明跑步的平均速度是每分钟100m,请根 据以上数据求出该段河的宽度.（结果精确到 ④ 父亲要她先想好测量金字塔的方法，而她到现在还没想好，说什么也不能出去玩.她知道父亲的脾 48 气，要是完不成预先指定的任务，游金字塔就会落空.（待续） 第二章直角三角形的边角关系 的 4.（广安期末)一艘轮船在某海域上由西向东匀 速航行，在A处测得小岛P在北偏东75°方 B 等量关系 EC=BC+BE 向上，继续向东航行12海里到达B处后，在 B处测得小岛P在北偏东60°方向上. D (1)求轮船在B处时与小岛P的距离 模型 ⑤ (2)已知在小岛P周围7海里内有暗礁，若 演变 B 轮船继续向东航行，是否有触礁的危险？请 AC=FGAF=CG. 等量 说明理由。 D AD+DC=AC=FG, 关系 北 BC+AF=BC+CG=BG 北 ⑥ 75 '609 3.(郴州中考)如图是某水库大坝的横截面，坝 B 东 高CD=20m,背水坡BC的坡度为i1= 1：1.为了对水库大坝进行升级加固，降低 背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡 的坡度改为i,=1:3,求背水坡新起点A 与原起点B之间的距离.（参考数据：2≈ 1.41,3≈1.73.结果精确到0.1m) =13 i=1:1 5.如图，小明家对面有一个山坡，一根电线杆 PQ直立在山坡上，小明想用学过的数学知 识测量电线杆的高度，设计了如下方案：小 明在家门口小广场点A处，利用测倾器测得 电线杆顶端P的仰角∠PCE=45°，从点A 朝着CE方向走8米到达点B,测得电线杆 顶端点P的仰角∠PDE=60°，电线杆底端 点Q的仰角∠QDE=30°，请根据以上数据 希帕蒂亚在桌子上画了许多张金字塔的图形，聚精会神地思考着计算塔高的方法，父亲告诉过她： “金字塔的底部是一个正方形，那么底部的边长就是能够用尺子测量出来的了.”（待续） 49 练测考九年级数学全一册L小 计算出电线杆PQ的高度.（已知：测倾器的 6.数学兴趣小组准备测量学校外的一座古塔 高度AC=BD,AC⊥AB,BD⊥AB,PQ⊥ AB的高度，小明在地面C处观测到塔尖A AB,结果保留根号) 的仰角为58°，塔的另一侧有一斜坡DE(D, B,C在同一直线上)，坡度i=1:冬小完在 E处测得塔尖A的仰角为45°，已知斜坡 DE=15米，CD=20米，求古塔AB的高 度.（精确到0.1米.参考数据：sin58°≈0.8480， …E cos58°≈0.5299，tan58°≈1.600) 459 58° 类型三 两直角三角形交叉一拥抱型 常见 等量关系， BC为公共边 图示 D 笑餐rC+B困 D 模型 演变 等量，BC+CE=BE 关 2 G 等量 AB=GE.AG=BE 关系 BC+CE=AG. DG+AB=DE 根据勾股定理，很容易就能算出金字塔底面（正方形）对角线的长度，如果再根据勾股定理演算，只要 50 知道金字塔一条棱的长度，便很容易计算出金字塔的高度了. 第二章直角三角形的边角关系 7.某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市 8.(长春期末)在综合与实践活动中，要利用测 龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如 角仪测量塔的高度.如图，塔AB前有一座高 图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为 为3m的观景台DE,已知∠DCE=30°，点 45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC E,C,A在同一条水平直线上.某学习小组 方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D 在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°， 的仰角为59.1°.求塑像“夸父追日”DE的高 在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27° 度.（结果精确到0.1m.参考数据：sin30.1°≈ 求塔AB的高度.（参考数据：tan27°≈0.5， 0.50,c0s30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58， √3≈1.7) sin59.1°≈0.86，c0s59.1°≈0.51，tan59.1°≈ 1.67) E 279 30e 人45 C 59.130.1A B 伽利略的故事意大利科学家伽利略17岁那年，考进了比萨大学医科专业.他非常喜欢提问题，不问 个水落石出决不罢休.一次课上，比罗教授正在讲胚胎学.（待续） 51则∠AMN=∠MAC+∠MGA, ∴.∠AMN=13°+32°=45 在Rt△ADF中， DF=AD·sin∠DAF=100×sin28°=100×0.47=47(cm). 在Rt△DFG中， DF FG =tan∠DGF=tan32°=0.62， ·FG=DF 0.62≈75.8(cm). ∴.AG=AF+FG≈88+75.8=163.8(cm). .AN⊥GD,.∠ANG=90°， ∴.AV=AG×sin32°=163.8×0.53≈86.8(cm) 在△AM中血--是 AM≈868≈123.1(cm）. ② 2 .EM=AM-AE≈123.1-91≈32(cm), ∴.EH的最小值为32cm 6利用三角函数测高 1.B 2.解：如图，过点M作MN⊥AB,垂足为N,设MN为xm. C N 在Rt△ANM中，∠MAB=22°， ·AN=MN tan22≈2=2x(m, 5 在Rt△MNB中，∠MBN=67°， ..BN=MN tan67≈12-12x(m. 5 'AB=50m,∴.AN+BN=50, 号x+是=50*1.1 5 ∴，这段河流的宽度约为17.1m 3.解：如图，延长DF交AB于点G. 0f B 由题意，得DF=CE=8m,DC=EF=BG=1.2m, ∠AGF=90°，设AG=xm. 在Rt△AFG中，，∠AFG=45°， ∴.FG= AG tan 45=x(m), .∴.DG=DF+FG=(x+8)m. 在Rt△ADG中，：∠ADG=30°， ∴tan30°=AC-z-5 DG x+83' .x=43+4, 经检验，x=4√3+4是原方程的根， .AB=AG+BG≈12(m), ∴.旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m. 4.C5.17 6.解：(1)由题意，得∠CAE=15°，AB=30米. ,∠CBE是△ABC的一个外角， ∴∠ACB=∠CBE-∠CAE=15 .∴.∠ACB=∠CAE=15°， ∴.AB=BC=30米， 斜坡BC的长为30米 (2)在Rt△CBE中，∠CBE=30°，BC=30米， CE-号C-15(米).BE-号c-155(米. 在Rt△DEB中， ∠DBE=53, DE=BE·m53类155×号-205（米） .∴.DC=DE-CE=20V3-15≈20（米）， ∴这棵大树CD的高度约为20米. 7.解：如图，过点B作BF⊥AD于点F 在Rt△ABF中， B ,i=2:√5， i=2:3 ,∴.可设BF=2k,AF=√3k. .BF2+AF2=AB2 ∴.(2k)2+(W3k)2=(207)2, 解得k=20(负值已舍)， .∴.BF=2k=40m. 延长BC,DE交于点H, ,BC是水平线，DE是铅直线， ∴.DH⊥CH,△CDH和△CEH都是直角三角形 ,AD,BC都是水平线，BF⊥AD,DH⊥BC, 四边形BFDH是矩形， .'.DH=BF=40 m. 在Rt△CDH中， :tan∠DcH=DH CH' DH 40 ..CH= tan∠DCHtan6o° 在Rt△CEH中， :tan∠ECH-CiH EH ∴EH=CH·tam∠BCH=405.tan37≈405×3 3 3 103(m), .'.DE=DH-EH=(40-103)m. ∴.古树DE的高度为(40-103)m. 微专题七解直角三角形在实际应用中的 几种常见类型 1.B 2.解：如图，过点A作AM⊥CD,垂足为M,过点B作BN⊥ CD,垂足为N. GC M N D:H 由题意得AB=MN=50m,AM=BN,CD=5×100=500m, ∠ACM=90°-53°=37°，∠BDN=90°-45°=45°， 设AM=BN=xm, 在R△ACM中，CM=,AM an37元号= 3 3x(m), 4 BN 在Rt△BND中，DN=an45=z(m. .CM+MN+DN=CD, ∴学x+50十=50，解得x192.9 ∴.AM=BV≈192.9m, .该段河的宽度约为192.9m. 3.解：在Rt△BCD中， ,BC的坡度为i1=1:1, .6B=1.CD=BD=20m 在Rt△ACD中， AC的坡度为i2=1:3, 瑞清 .AD=3CD=203(m), ,∴.AB=AD-BD=20W3-20≈14.6(m), .背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m. 4.解：(1)如图，过点P作AB的垂线，垂足为M, 北 北 759 60 B 一东 由题知 ∠PAM=90°-75°=15°，∠PBM=90°-60°=30， ∴.∠APB=30°-15°=15°，.BP=AB=12(海里)， ∴.轮船在B处时与小岛P的距离是12海里. (2)有触礁的危险.理由如下： 在Rt△PBM中，sin∠PBM=PM PB ,∠PBM=30°，PB=12, 0则PM=66<7 ∴.若轮船继续向东航行，有触礁的危险。 5.解：如图，过点D作DH⊥PQ交 PQ的延长线于点H,设PQ x米 ∠PDE=60°，∠EDQ=30°， ∴.∠PDQ=∠PDE-∠EDQ= 60°-30°=30°. .∠DPQ=90°-60°=30°， .∠DPQ=∠PDQ, .PQ=DQ=x米， :QH=2DQ=7x(米). 1 &PH=PQ+QH=x十)7 1 2x(米)， DH-50H-*, :∠PCD=45°， ∴△PCH是等腰直角三角形， ∴.CH=PH, 漫+8 3 5x=8+86, 电线杆PQ的高度是(+8）米 6解：如图，过点E作EF⊥BC于点F. 在Rt△EDF中， 坡度=1：合 m∠EDF E DF=1: 45 3 3 4 设EF=3k,DF=4k, .DE=5k=15米， .k=3,∴.EF=9米，DF=12米， 过点E作EG⊥AB于点G, 则EG=BF,BG=EF, ,∠AEG=45°， ∴.AG=EG. 设EG=AG=BF=x米， ,'.AB=AG+BG=(x+9)米 在Rt△ABC中，∠C=58°， m8-设16 ..BC=9 1.6 CD=20米，.EG+BC=DF+CD, x+x+9-12+20, 1.6 解得x≈16.23 ∴.AB=x十9≈25.2（米）. .古塔AB的高度约为25.2米. 7.解：在Rt△ACD中，∠CAD=45°，则AC=CD. 设AC=CD=x,则BC=x-10, 在△以D中，mA.广-是 .CD=BC·tan59.1°，∴.x=1.67X(x-10), 解得x≈24.93. 在R△ACE中，tam30.1°=C AC CE=AC·tan30.1°=24.93×0.58≈14.46， ∴.DE=DC-CE≈24.93-14.46=10.47≈10.5. .塑像“夸父追日”DE的高度约为10.5米. 8.解：由题意得DE⊥E℃， 在Rt△DEC中，∠DCE=30°，∠DEC=90°，DE=3m, 279 30 人459 ∴.CE=√3DE=33m,,BA⊥EA, 在Rt△ABC中，∠BCA=45°， 设AB=hm,.AC= AB tan 45=h m, ∴.AE=EC+AC=(33+h)m. 过点D作DF⊥AB于点F,由题意，得DE=FA=3m, DF=EA=(33+h)m. ∵AB=hm,∴.BF=AB-AF=(h-3)m 在Rt△BDF中，∠BDF=27 ∴.BF=DF·tan27°=0.5(3√3+h)m, .h-3=0.5(3W3+h),∴.h=33+6≈11.1， ∴.AB=11.1m,.塔AB的高度约为11.1m. 微专题八现实生活情境中的解直角三角形 1.A 2.解：由题意得DE=24米. 在Rt△ABE中，∠AEB=45°， .∠BAE=45°，AB=BE. 设AB=BE=x米， 在R△ABD中，tan∠ADB=BD, AB 六m372千22千*解得=72 经检验，x=72是原方程的解， ∴.AB=72米. .∴.孔子像AB的高度为72米 3.解：(1)当D,E,F三点共线时，AB最大， 过点O作OH⊥AB,如图所示. 由等腰三角形的性质可知OH经过点F, .OD=OE=60 cm,AD=BE=40 cm, ..AO=OB=100 cm,AH=BH, 咒识即5解得AH=5 ∴.AB=2AH=50cm. (2)不符合要求，理由如下： 连接OF,如图所示. ,DF⊥OA,.∠ODF=90°， m∠0F-8S-品-e25. ∴.∠D0F=14. .OF=OF.OD=OE.DF=EF, ∴.△DOF≌△EOF(SSS), ,.∠EOF=∠DOF=14°， .∠AOB=28,28°<30°， ∴此时不符合规范使用的要求， 4.解：(1)如图，作B'E⊥AD,垂足为点E, 在Rt△AB'E中， ∠B'AD=27°，AB'=AB=1m, sin27°=B'E AB'' .∴.B'E=AB'sin27°≈1×0.454=0.454(m), 平行线间的距离处处相等， .B'E+A0=0.454+1.7=2.154≈2.15(m). .车后盖最高点B'到地面的距离为2.15m. (2)没有危险，理由如下： 如图，过C'作C'F⊥B'E,垂足为点F, ∠B'AD=27°，∠BEA=90°， ∴.∠AB'E=63°， .∠AB'C'=∠ABC=123°， .∠C'B'F=∠AB'C'-∠AB'E=60°， 在Rt△B'FC'中，B'C'=BC=0.6m, ∴.B'F=B'C'·cos60°=0.3(m) ,平行线间的距离处处相等， .C到地面的距离为2.15-0.3=1.85(m). 1.85>1.8,.没有危险。 5.60√2 6.解：，CM=3m,OC=5m,∠CMO=90°， ∴.OM=W√OC2-CM=4(m). :∠CMO=∠BDO=90°，∠COM=∠BOD, .∴.△COM∽△BOD, 00即品 4 即BD=3 ∴.BD= 9 4 =2.25(m), anZA0D=an70°8 即AB+BD_AB+2,25≈2.75， DO 3 解得AB=6(m), .汽车从A处前行约6m才能发现C处的儿童. 7.解：(1)电塔N在A正北方向，电塔N在B北偏东45方 向，AB=100m, ∴∠ABN=90°-45=45，∠BAN=90°， ∴BN=AB cos45=100,2m, .B到电塔N的距离为100√2m. (2)过点M作MP⊥BN于点P,如图所示， 设MN=x, .'ABMN,∠ABN=45°， ∴.∠BNM=∠ABN=45°. 在Rt△MNP中，∠BNM=45°， MP-NP-MN- 2 2x, ∠MBN=45°-15°=30°. 在Rt△MBP中，∠MBN=30°， .BP=MP6 tan 302. .BN=BP+NP, :6 2 x+2x=100v2, .x=100W3-100, .M,N两个电塔之间的距离为(100W3-100)m. 8.21.7