2.5 第2课时坡度、方向角问题-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

10.解：如图，过点A作AM⊥EH于点M,过点C作CN⊥ EH于点N. 由题意知，AM=BH,CN=DH,AB=MH 在Rt△AME中，∠EAM=26.6°， 26.60 769 ∴.tan∠EAM= EM AM EM EH-MH .∴.AM= tan∠EAM tan26.6 45-39 0.5 =12(米)， ∴.BH=AM=12米 BD=20米，.DH=BD一BH=8(米)， B .CN=8(米). 在Rt△ENC中，∠ECN=76°， PCN-N ∴.EN=CN·tan∠ECN≈8×4.01=32.08（米）， .CD=NH=EH-EN=12.92(米)≈13（米）. 古槐的高度约为13米. 第2课时坡度、方向角问题 1.D2.B 3.解：如图，过点B作BF⊥AD于点F. 22 D AF 在Rt△ABF中，cos∠BAF AB' 则AF=AB·cos∠BAF=3×cos37°≈2.4（米）， .BF⊥AD,CD⊥AD,BC∥FD, .四边形BFDC是矩形 ∴.BF=CD,BC=FD. 在Rt△EAD中，tam∠EAD=DE AD DE 则AD= ≈1.3=3.25（米）， tan∠EAD2 5 ..BC=DF=AD-AF=3.25-2.4≈0.9（米）， .安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米 4.解：(1)新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：√3， tan a=1_3 √33 .a=30°. (2)该文化墙PM不需要拆除 理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D,则CD=6米， M PA BD 新坡面的坡度为1：√3， cD器品有 解得AD=6√3米. ,坡面BC的坡度为1：1，CD=6米。 ∴.BD=6米，∴.AB=AD-BD=(6W3一6)米 又PB=8米， ∴.PA=PB-AB=8-(63-6)=14-63≈14-6× 1.732≈3.6米>3米， ,∴.该文化墙PM不需要拆除 5.A6.6(3+1) 7.解：如图，过点B作BD LAC于点D, 北 /70 北 609 A 由题意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°， 则∠C=180°-30°-30°-70°=50°， 在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20(海里)， ∴.BD=BC·sin50°≈20×0.766=15.32（海里）， 在Rt△ABD中，∠BAD=30°， BD=15.32(海里)， ∴.AB=2BD=30.64≈30.6（海里）， .货轮从A到B航行的距离约为30.6海里. 8.B 9.解：(1)如图，过点C作CH⊥AB于点H, H 在Rt△ACH中，∠ACH=30°， AC=20×24 60 8(km), co∠ACH=CH AC CH=8X030=8x =4V3(km. ∴，码头C到湖岸的距离是43km. (2)在R△AHC中，AH=AC·sin∠ACH=8X 2 =4(km): 在Rt△BCH中， CH=43 km,BH=5-4=1(km), ∴.BC=√CH2+BH=W√/(4V3)2+12=7(km), 1=20×60=21(分钟). ∴.从C到B需航行21分钟 10,解：I)在R△ADF中，cos∠DAF=AE AD .AF=AD·cos∠DAF =100×cos28 =100×0.88 =88(cm). 在R△AEF中.o∠EAF铝 AF 8888 AE= cos∠EAF cos13=0.97≈91(cm). (2)设DG交AB于点M,作AN⊥GD的延长线于点V, 如图所示， 3 则∠AMN=∠MAC+∠MGA, ∴.∠AMN=13°+32°=45 在Rt△ADF中， DF=AD·sin∠DAF=100×sin28°=100×0.47=47(cm). 在Rt△DFG中， DF FG =tan∠DGF=tan32°=0.62， ·FG=DF 0.62≈75.8(cm). ∴.AG=AF+FG≈88+75.8=163.8(cm). .AN⊥GD,.∠ANG=90°， ∴.AV=AG×sin32°=163.8×0.53≈86.8(cm) 在△AM中血--是 AM≈868≈123.1(cm）. ② 2 .EM=AM-AE≈123.1-91≈32(cm), ∴.EH的最小值为32cm 6利用三角函数测高 1.B 2.解：如图，过点M作MN⊥AB,垂足为N,设MN为xm. C N 在Rt△ANM中，∠MAB=22°， ·AN=MN tan22≈2=2x(m, 5 在Rt△MNB中，∠MBN=67°， ..BN=MN tan67≈12-12x(m. 5 'AB=50m,∴.AN+BN=50, 号x+是=50*1.1 5 ∴，这段河流的宽度约为17.1m 3.解：如图，延长DF交AB于点G. 0f B 由题意，得DF=CE=8m,DC=EF=BG=1.2m, ∠AGF=90°，设AG=xm. 在Rt△AFG中，，∠AFG=45°， ∴.FG= AG tan 45=x(m), .∴.DG=DF+FG=(x+8)m. 在Rt△ADG中，：∠ADG=30°， ∴tan30°=AC-z-5 DG x+83' .x=43+4, 经检验，x=4√3+4是原方程的根， .AB=AG+BG≈12(m), ∴.旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m. 4.C5.17 6.解：(1)由题意，得∠CAE=15°，AB=30米. ,∠CBE是△ABC的一个外角， ∴∠ACB=∠CBE-∠CAE=15 .∴.∠ACB=∠CAE=15°， ∴.AB=BC=30米， 斜坡BC的长为30米 (2)在Rt△CBE中，∠CBE=30°，BC=30米， CE-号C-15(米).BE-号c-155(米. 在Rt△DEB中， ∠DBE=53, DE=BE·m53类155×号-205（米） .∴.DC=DE-CE=20V3-15≈20（米）， ∴这棵大树CD的高度约为20米. 7.解：如图，过点B作BF⊥AD于点F 在Rt△ABF中， B ,i=2:√5， i=2:3 ,∴.可设BF=2k,AF=√3k. .BF2+AF2=AB2 ∴.(2k)2+(W3k)2=(207)2, 解得k=20(负值已舍)， .∴.BF=2k=40m. 延长BC,DE交于点H, ,BC是水平线，DE是铅直线， ∴.DH⊥CH,△CDH和△CEH都是直角三角形 ,AD,BC都是水平线，BF⊥AD,DH⊥BC, 四边形BFDH是矩形， .'.DH=BF=40 m. 在Rt△CDH中， :tan∠DcH=DH CH' DH 40 ..CH= tan∠DCHtan6o° 在Rt△CEH中， :tan∠ECH-CiH EH ∴EH=CH·tam∠BCH=405.tan37≈405×3 3 3 103(m), .'.DE=DH-EH=(40-103)m. ∴.古树DE的高度为(40-103)m. 微专题七解直角三角形在实际应用中的 几种常见类型 1.B 2.解：如图，过点A作AM⊥CD,垂足为M,过点B作BN⊥ CD,垂足为N.第二章直角三角形的边角关系 第2课时坡度、方向角问题 (教材P48-P51内容) 基础夯实 知识点一坡角、坡度（坡比）问题 1.如图，在坡角为α的斜坡上要栽两棵树， 】220 要求它们之间的水平距离AC为6m,坡 比：=}，则这两棵树之间的坡面AB的 图1 图2 长为 ( A.1m B.9 m C.210m D.3/5m A E 609 B 第1题图 第2题图 4.(天水中考)某地的一座人行天桥如图所示， 2.如图，这是某拦河坝改造前后河床的横断面 天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文 化墙PM在天桥底部正前方8米处(PB的 示意图，AD∥BC,坝高DC=8m,将原坡度 长)，为了方便行人推车过天桥，有关部门决 i=1:0.25的迎水坡面AB改为坡角为60° 定降低坡度，使新坡面的坡度为1：3.（参 的斜坡EB,此时，河坝面宽减少的长度AE 考数据：√2≈1.414,3≈1.732) 等于（结果精确到0.1m,参考数据：√3≈ (1)若新坡面坡角为a,求坡角a的度数； 1.73) ( (2)有关部门规定，文化墙距天桥底部小于 A.2.2m B.2.6m 3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是 C.3.2m D.3.6m 否需要拆除？请说明理由， 3.(榆林期末)图1是安装在倾斜屋顶上的热水 器，图2是安装热水器的侧面示意图.已知屋 A B 面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的 真空管AB与水平线AD的夹角∠BAD为 37°，倾斜屋顶上的E处到水平线的距离DE 为1.3米，C,D,E在同一直线上，且CD⊥ AD.求安装热水器的铁架水平横管BC的长 度.（参考数据：sin37°≈3 4 ’C0s37°≈ tan37°≈3 ,sn22°≈3 ’c0s22°≈ 93 100 1am2号，结果精确到0.1米) 父女俩兴致勃勃地交谈着.父亲说：“你看，草地上咱们的影子像什么？”女儿说：“一长一短，一大一 小，一胖一瘦.我看爸爸的影子像一只大黑熊，我的影子像一只小猴子.”（待续） 43 练测考九年级数学全一册LJ 知识点二方向角问题 北 B 5.如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西 1709 走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处） 北 60 在她家北偏东60°方向500m处，那么水塔 30 所在的位置到公路的距离AB是() 北 A.250m B.250√3m C.500 3 -m D.2502m 6.(眉山中考)一渔船在海上A处测得灯塔C 在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航 行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的 北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航 行，则渔船与灯塔C的最短距离是 能力提升 海里， 8.(日照中考)日照灯塔是日照海滨港口城市 的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出 北 北 日照港的船舶提供导航服务.数学小组的同 学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处 609 测得灯塔最高点A的仰角∠ABD=45°，再 B 沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰 7.(淄博淄川区月考)如图，一艘货轮在海面上 角∠ACD=60°，BC=15.3m,则灯塔的高 航行，准备要停靠到码头C,货轮航行到A 度AD大约是（结果精确到1m,参考数据： 2≈1.41,3≈1.73) () 处时，测得码头C在北偏东60°方向上.为了 躲避A,C之间的暗礁，这艘货轮调整航向， 沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到 B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里 到达码头C.求货轮从A到B航行的距离， B (结果精确到0.1海里.参考数据：sin50°≈ A.31m B.36m 0.766,cos50°≈0.643，tan50°≈1.192) C.42m D.53m 两个人都乐得哈哈大笑.父亲说：“小东西，也亏你想象得出来.”女儿说：“本来就像嘛，再说它只是 44 影子嘛.”（待续） 第二章直角三角形的边角关系 9.(绥化期末)如图，在笔直的湖岸上有A,B ☑素养培优 两个码头，B在A的正东方向，A,B相距 10.(徐州中考)如图，斜坡AB的坡角∠BAC 5km.湖中一小岛上有一码头C,从A处测 13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏 得码头C位于A的北偏东30°方向，一游船 板.前排光伏板的一端位于点A,过其另一 从A出发，以20km/h的速度，经过24分钟 端D安装支架DE,DE所在的直线垂直于 到达码头C 水平线AC,垂足为点F,E为DF与AB的 (1)求码头C到湖岸的距离； 交点.已知AD=100cm,前排光伏板的坡 (2)若该游船准备以同样的速度从C开往 角∠DAC=28°. B,问从C到B需航行多少分钟？ (1)求AE的长；（结果取整数） (2)冬至日正午，经过点D的太阳光线与 AC所成的角∠DGA=32°.后排光伏板的 前端H在AB上.此时，若要后排光伏板的 采光不受前排光伏板的影响，则EH的最 小值为多少？（结果取整数） 光线方 后排光伏板 坡面 1B 前排光伏板 H E A F C G 参考数据：2≈1.41,3≈1.73，√6≈2.45. 三角函数锐角A 13 28° 32 sin A 0.220.470.53 cos A 0.970.880.85 tan A 0.230.530.62 父亲说：“好吧.我问你，这地上的影子又是怎样形成的呢？”女儿说：“那还不简单！物体把太阳光挡 住了，不就成了影子？”（待续） 45