2.5 三角函数的应用 课时训练 2025-2026学年 鲁教版（五四制）九年级数学上册

第二章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用 第3课时 坡度、坡角问题 1.如图,在坡角为α的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为 6 m,tanα= 则这两棵树之间的坡面AB的长为( ) 2.某人沿着坡度为1：2.4 的斜坡向上前进了13 m，那么他的高度上升了 ( ) A.13 m B.10m C.12m D.5m 3.如图所示，是一座建筑物的截面图，高 坡面 AB的坡度为则斜坡 AB的长度为 ( ) 第3题图 第4题图 4.小明看完“上刀山”表演后，被表演艺人精湛技艺所震撼，他发现，艺人在如图大刀的AB 段表演时最精彩，他想利用所学知识测量一下 B 点的高度，已知点 P、A、B 在一条直线上,点 P、C、D也在一条直线上， CD=2m,大刀的坡度(即 的坡度)为 则 B点的高度为 ( ) A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m 5.如图，某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式.已知商场的层高 AB为6m,∠ACB为 改造后扶梯AD的坡比是1：2，则改造后扶梯 AD 相比改造前AC 增加的长度是( ) 第5题图 第6题图 6.如图,电线杆AB直立于地面BM，CD是一斜坡，其坡比为1：2，AD是电线杆的一斜拉钢绳，已知 米, 米, 则电线杆AB的长为( ) A.8米 B.10米 C.12米 D.9米 7.如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根 A 到刮断点 P 的长度是4m，折断部分 PB与地面成 的夹角，那么原来树的高度是 ( ) 米 米 米 米 8.如果一个斜坡的坡度 那么该斜坡的坡角为___________度. 9.小华沿着坡度 i=1:3的斜坡向上行走了 米，那么他距离地面的垂直高度上升了__________米. 10.一座堤坝的横截面是梯形ABCD,各部分的数据如图所示，坝底 AD 长为__________m. (结果保留根号) 第10题图 第11题图 11.如图,斜坡AB 的坡度 现需要在不改变坡高 AH的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡 AC的坡度 已知斜坡 米,那么斜坡 米. 12.为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD,斜面 AB 坡度 是指坡面的铅直高度 AF 与水平宽度 BF 的比.已知斜坡 CD长度为 20 米, 求斜坡AB的长.(结果精确到0.1 米；参考数据： 13.如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)，把一根长 5 m的竹竿 AC 斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的 D点离地面的高度又量得杆底与坝脚的距离AB=3m,则石坝的坡度为___________. 14.汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200m且横断面为梯形的大坝用土石进行加固，如图所示，加固前大坝背水坡坡面从 A 至 B 共有 30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB 的坡度 加固后，坝顶宽度增加2m，斜坡 EF的坡度 问工程完工后，共需土石多少立方米?(计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号) 参考答案 1. D 2. D 3. A 4. B 5. D 6. A 7. B 8.60 9.5 11.13 12.解:过点 D作 垂足为点 E， 由题意,得AF⊥BC,DE=AF, ∵斜面AB 的坡度i=3:4, ∴设AF=3x米,则BF=4x米, 在 Rt△ABF 中, (米), 在 Rt△DEC中,∠C=18°,CD=20米, ∴DE=CD·sinC=CD·sin18°≈20×0.31=6.2(米), ∴AF=DE=6.2米,∴3x=6.2,解得 ∴AB=5x≈10.3(米),∴斜坡 AB的长约为 10.3米. 13.3: 1 解析:如图,过点 C作 CF⊥AB 于点F,则 DE∥CF, 即 解得CF=3, 在 Rt △ACF 中, 又∵AB=3,∴BF=AF-AB=4-3=1,∴石坝的坡度为 14.解:如图,过点 A 作AH⊥BC 于点 H,过点 E 作 EG⊥BC于点G. 则四边形 EGHA 是矩形，∴EG= AH,GH =AE=2(m). ∵斜坡AB的坡度i=1: 1,∴AH=BH=30×30=900(cm)=9(m),∴BG=BH-HG=7(m). ∵斜坡 EF的坡度 所以，共需土石为 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用 第2课时 方向角问题 1.如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 方向，距离灯塔 35 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的 B 处，这时，B处与灯塔 P 的距离PB 的长可以表示为( ) A.35海里 海里 海里 海里 第1题图 第2题图 2.“淄博烧烤”火了，许多游客纷纷从外地来到淄博吃烧烤.如图，济南的小李乘坐高铁由济南来淄博吃烧烤时，在距离铁轨200米的B处，观察他所乘坐的由济南经过淄博开往青岛的“和谐号”动车.他观察到，当“和谐号”动车车头在 A 处时，恰好位于 B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于 B 处的西北方向上.小李根据所学知识求得，这时段动车的平均速度是 ( ) 米/秒 米/秒 C.200米/秒 D.300米/秒 3.如图,在一笔直的海岸线上有 A，B两个观测站，A 观测站在B观测站的正东方向，有一艘小船在点 P 处，从 A 处测得小船在北偏西 60°方向上，从 B处测得小船在北偏东45°方向上，点 P 到点B 的距离是 千米.则A，B两观测站之间的距离为(结果有根号的保留根号)( ) 千米 千米 C.6千米 千米 4.如图，小明一家自驾到风景区C游玩，到达 A 地后，导航显示车辆应沿北偏西 方向行驶一段距离至 B地，再沿北偏东 方向行驶 千米到达风景区C，小明发现风景区 C 在 A 地的北偏东 方向，那么 A，B 两地的距离为_____________千米. 第4题图 第5题图 5.如图，为了测量河宽CD，先在 A 处测得对岸 C 点在其北偏东方向，然后沿河岸直行到点 B，在 B点测得对岸 C 点在其北偏西 方向，经过计算河宽 CD 是 30米,则从 A 点到 B 点的距离为______________米.(结果保留根号) 6.东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应.如图所示，城门楼B 在角楼A的正东方向520m处，南关桥C 在城门楼B的正南方向1 200m处.在明珠大剧院 P 测得角楼 A 在北偏东 方向，南关桥 C 在南偏东 方向(点 A,B,C,P 四点在同一平面内)，求明珠大剧院到龙堤BC的距离.(结果精确到1m，参考数据： 0.928,cos68.2°≈0.371,tan68.2°≈2.50, 7.如图,一艘轮船在 A 处测得灯塔M位于A 的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达 B 处，测得灯塔 M位于B 的北偏东 60°方向上，测得港口C位于 B 的北偏东 45°方向上.已知港口 C在灯塔M 的正北方向上. (1)填空:∠AMB=_____________度,∠BCM=___________度; (2)求灯塔 M 到轮船航线AB 的距离；(结果保留根号) (3)求港口 C 与灯塔 M 的距离.(结果保留根号) 8.为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园 ABC 边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道.如图，点 C 在点 A 的正东方向 170 米处,点 E 在点 A 的正北方向,点B,D 都在点 C 的正北方向,BD 长为 100 米，点 B 在点 A 的北偏东 方向,点 D 在点 E 的北偏东！ 方向. (1)求步道 DE 的长度; (2)点 D 处有一个小商店，某人从点 A 出发沿人行步道去商店购物，可以经点 B 到达点D，也可以经点 E 到达点 D，请通过计算说明他走哪条路较近.(结果精确到个位；参 考数据： 参考答案 1. D 2. A 3. B 4. 4 6.解:如图,过点 P 作 于点 E,过点 A 作 于点D, 则四边形 ADEB 是矩形, 设 在 中, 在 中, 解得. 答：明珠大剧院到龙堤 BC的距离约为1 320 m. 7.解:分别过点 C,M,作 CD⊥AB,ME⊥AB,垂足分别为点 D,E. (1)∵∠DBM=∠A +∠AMB=60°,∠A=30°,∴∠AMB=30°. ∵AB,CM都是正北方向,∴AB∥CM. ∵∠DBC=45°,∴∠BCM=45°. 故答案为:30,45; (2)由(1),得∠A=∠AMB,∴AB=BM=20海里. 在 Rt△EBM中, (海里). 所以，灯塔 M到轮船航线AB 的距离为 海里； (3)∵CD⊥AB,ME⊥AB,AB,CM都是正北方向， ∴四边形 DEMC 是矩形, 海里,DE=CM. 在 Rt△CDB中,∵∠DBC=45°,∴∠DBC=∠DCB. 海里. 在 Rt△EMB 中, ∴(海里), 1)海里. 所以，港口 C与灯塔 M 的距离为 海里. 8.解:(1)如图,过点 D 作. 垂足为点 F， 由题意，得四边形 ACDF 是矩形，米, 在 中, (米), 所以,步道 DE 的长度约为 200米; (2)某人从 A 出发,经过点 B 到达点 D 路程较近， 理由：在 中, 170米, (米), 在 中, 米, (米), (米), 米, 米, ∵四边形 ACDF 是矩形, 米, 288米, ∴某人从点 A出发，经过点 B到达点 D 路程=(米), 某人从点 A 出发，经过点 E 到达点 D 路程=(米), ∵440米<488 米, ∴某人从点 A 出发，经过点 B 到达点 D 路程较近. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用 第1课时 仰角、俯角问题 1.如图所示，塔底 B 与观测点 A 在同一水平线上.为了测量铁塔的高度，在 A 处测得塔顶C 的仰角为a，塔底 B 与观测点A 的距离为80米，则铁塔的高 BC为 ( ) A.80sinα米 米 C.80tanα米 米 第1题图 第2题图 2.如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点 A 处测得树顶C 的仰角为 45°，在点 B 处测得树顶C 的仰角为60°，且A，B，D 三点在同一直线上，若AB=12m,则这棵树CD的高度是 ( ) 3.如图，火箭从地面O 处发射，当火箭到达点 A 时，地面D处的雷达站测得米,仰角为30°，3秒后，火箭直线上升到达点 B 处，此时地面 C处的雷达站测得 B 处的仰角为 点 O,C，D 在同一直线上，已知 C，D 两处相距460米，则火箭从 A 到B 处的平均速度为多少米/秒.(结果精确到1米/秒；参考数据： ( ) A.336 B.335 C.334 D.333 第3题图 第4题图 4.如图,某幢建筑物 BC 的高为 40米，一架航拍无人机从 A 处测得该建筑物顶部 B 的仰角为 测得底部 C的俯角为则此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 (结果精确到0.1米，参考数据：( ) A.8.7米 B.11.5米 C.14.6米 D.17.3 米 5.某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点 A 和建筑物之间选择一点 B,测得 AB=30m,用高 1m (AC=1m)的测角仪在 A 处测得建筑物顶部E 的仰角为 30°,在 B 处测得仰角为 60°,则该建筑物的高是_______________.(结果保留根号) 第5题图 第6题图 6.如图,某飞机于空中 A 处探测到某地面目标在点 B 处，此时飞行高度AC=1 200米,从飞机上看到点 B 的俯角为37°，飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动.当飞机飞行943 米到达点 D 时，地面目标此时运动到点 E 处,从点 E看到点 D 的仰角为47.4°,则地面目标运动的距离 BE 约为___________米.(参考数据： 7.小亮利用所学的知识对大厦的高度 CD 进行测量，他在自家楼顶 B 处测得大厦底部的俯角是 测得大厦顶部的仰角是 已知他家楼顶 B 处距地面的高度BA 为40米(图中点 A,B,C,D均在同一平面内). (1)求两楼之间的距离 AC；(结果保留根号) (2)求大厦的高度 CD.(结果取整数) (参考数据： 8.某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 CD.如图所示，一架水平飞行的无人机在 A 处测得河流左岸C 处的俯角为α，无人机沿水平线 AF 方向继续飞行12米至 B 处，测得河流右岸 D 处的俯角为 线段米，为无人机距地面的铅直高度， 点 M，C，D在同一条直线上，其中 求河流的宽度CD.(结果精确到1米，参考 数据： 9.小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点 A，B 处测出点 D 的仰角度数，可以求出信号塔 DE 的高.如图,AB 的长为 5m ,高 BC为 3 m.他在点 A 处测得点 D 的仰角为 在点 B 处测得点 D 的仰角为 点 A,B,C,D,E在同一平面内. 你认为小王同学能求出信号塔 DE 的高吗?若能，请求出信号塔 DE 的高；若不能，请说明理由.(参 考 数 据: 结果保留整数) 参考答案 1. C 2. A 3. B 4. D 7.解:(1)过点 B作 垂足为点 E， 由题意，得 米, 在 中, (米), (米), 所以，两楼之间的距离AC为 米; (2)在 中, (米), 米, (米), 所以，大厦的高度 CD约为 92米. 8.解:过点 B 作 BE⊥MD 于点 E.则四边形AMEB 是矩形. 米,ME=AB=12米, ∵AF∥MD,∴∠ACM=α. 在 Rt△AMC中,∠AMC=90°, (米), 在 Rt△BDE 中,∠BED =90°,∠DBE =90°-30°=60°, (米), CD= DE-CE=DE-(MC-ME)=72-84-20.4= 63.6≈64(米). 所以，河流的宽度 CD约为64米. 9.解:能,过点 B作BF⊥DE 于点 F, 则 EF=BC=3m,BF=CE, 在 Rt△ABC中,∵AB=5m,BC=3 m, 在 Rt△ADE中,∵∠DAE=45°,∴AE=DE, 设AE=DE=xm,∴BF=(4+x)m,DF=(x-3)m, 在 Rt△BDF中, 0.80,解得x=31,∴DE=31m, 所以,信号塔 DE 的高为31 m. 1 学科网（北京）股份有限公司 $