2.5 第1课时仰角、俯角问题-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

'S△ABc=48, 1 2BC·AD=48.2×8x×3x=48, .x2=4,∴.x=士2（负值舍去）， ,∴.x=2,∴.AB=AC=10,BC=16, ∴.△ABC的周长为36. 微专题六求三角函数值的几种常见类型 1.C2.2+√33.C4.A 5.解：过点C作CH⊥AF,交AF的延B 长线于点H,如图 :EF⊥AF,sin∠FAC=3' 1 在△A中mFC-E 设EF=k,则AE=3k, 由勾股定理，得AF=√AE2一EFz=2√2k, EF⊥AF,CH⊥AF, ..EF//CH. .AF:FH=AE:EC=2:1,∠CFE=∠HCF, ,.2√2k:FH=2:1, .FH=√2k,∴AH=AF+FH=3√2k, .EFCH,∴.△AEF∽△ACH, ..AF AH=EF CH,..22k:32k=k:CH, .CH=1.5k, FH√2k_2√2 在R△CFH中，an∠HCF=C7-1.5k-3, 2√2 .∴.tan∠CFE=tan∠HCF= 3 6B7B819或对 10.解：如图，过点D作DE⊥AB,交AB于点E B 在Rt△ADC中，∠C=90°，∠ADC=45°，AC=5. .∠DAC=45°，AC=DC=5,..AD=5√2. 在Rt△ABC中，∠C=90°， “mB-品瓷是脚石-高 解得AB=13.根据勾股定理，得BC=12, ∴.BD=BC-DC=12-5=7. 在Rt△BDE中，∠BED=90,sinB=i3, 5 號高DE-落 在Rt△AED中，根据勾股定理， 得A=AD-D-器 35 ∴.tan∠BAD ED13_7 AE8517 13 A2号3B14号 15.解：(1)，cos(a十3)=cos acos B-sin asin B, .cos75°=cos(30°+45)=cos30°cos45°-sin30°sin45°= 32_1×2_6-② 2 222 4 1 22 (2):sna=3sina十cosa=1a为锐角，解得cosa 3 '.sin 2a-sin(a+a)-sin acos a+cos asin a-2Xx 22_42 39 5三角函数的应用 第1课时仰角、俯角问题 1.D2.C3.C4.C5.(3003-300) 6.解：如图，过点B作BH⊥AE于点H, 坡度i为1：0.75， ∴.设BH=4x,AH=3x, ∴.AB=/AH2+BH2=5.x=10, x=2,AH=6,BH=8. 过点B作BF⊥CE于点F, 则EF=BH=8,BF=EH, 设DF=a, .a=2635'. BF= am2535*05=2a.AE=6+2a DF 坡度i为1：0.75， ∴.CE:AE=(20+a+8):(6+2a)=1:0.75, ∴.a=12,∴.DF=12, ∴.DE=DF+EF=12+8=20. 故堤坝高为8m,山高DE为20m. 7.解：如图所示 过点P作PH⊥AB于点H,过点C作CQ⊥PH于点Q, 而CB⊥AB,则四边形CQHB是矩形，.QH=BC, BH=CQ, 由题意可得AP=80,∠PAH=60°，∠PCQ=30°，AB= 70..PH=APsin 6080x=403AH=AP. 2 c0s60°=40， ∴.CQ=BH=70-40=30,∴.PQ=CQ·tan30°=10W3, ∴.BC=QH=403-10√3=303. 故大楼的高度BC为30W3米 8.169.423 10.解：如图，过点A作AM⊥EH于点M,过点C作CN⊥ EH于点N. 由题意知，AM=BH,CN=DH,AB=MH 在Rt△AME中，∠EAM=26.6°， 26.60 769 ∴.tan∠EAM= EM AM EM EH-MH .∴.AM= tan∠EAM tan26.6 45-39 0.5 =12(米)， ∴.BH=AM=12米 BD=20米，.DH=BD一BH=8(米)， B .CN=8(米). 在Rt△ENC中，∠ECN=76°， PCN-N ∴.EN=CN·tan∠ECN≈8×4.01=32.08（米）， .CD=NH=EH-EN=12.92(米)≈13（米）. 古槐的高度约为13米. 第2课时坡度、方向角问题 1.D2.B 3.解：如图，过点B作BF⊥AD于点F. 22 D AF 在Rt△ABF中，cos∠BAF AB' 则AF=AB·cos∠BAF=3×cos37°≈2.4（米）， .BF⊥AD,CD⊥AD,BC∥FD, .四边形BFDC是矩形 ∴.BF=CD,BC=FD. 在Rt△EAD中，tam∠EAD=DE AD DE 则AD= ≈1.3=3.25（米）， tan∠EAD2 5 ..BC=DF=AD-AF=3.25-2.4≈0.9（米）， .安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米 4.解：(1)新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：√3， tan a=1_3 √33 .a=30°. (2)该文化墙PM不需要拆除 理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D,则CD=6米， M PA BD 新坡面的坡度为1：√3， cD器品有 解得AD=6√3米. ,坡面BC的坡度为1：1，CD=6米。 ∴.BD=6米，∴.AB=AD-BD=(6W3一6)米 又PB=8米， ∴.PA=PB-AB=8-(63-6)=14-63≈14-6× 1.732≈3.6米>3米， ,∴.该文化墙PM不需要拆除 5.A6.6(3+1) 7.解：如图，过点B作BD LAC于点D, 北 /70 北 609 A 由题意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°， 则∠C=180°-30°-30°-70°=50°， 在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20(海里)， ∴.BD=BC·sin50°≈20×0.766=15.32（海里）， 在Rt△ABD中，∠BAD=30°， BD=15.32(海里)， ∴.AB=2BD=30.64≈30.6（海里）， .货轮从A到B航行的距离约为30.6海里. 8.B 9.解：(1)如图，过点C作CH⊥AB于点H, H 在Rt△ACH中，∠ACH=30°， AC=20×24 60 8(km), co∠ACH=CH AC CH=8X030=8x =4V3(km. ∴，码头C到湖岸的距离是43km. (2)在R△AHC中，AH=AC·sin∠ACH=8X 2 =4(km): 在Rt△BCH中， CH=43 km,BH=5-4=1(km), ∴.BC=√CH2+BH=W√/(4V3)2+12=7(km), 1=20×60=21(分钟). ∴.从C到B需航行21分钟 10,解：I)在R△ADF中，cos∠DAF=AE AD .AF=AD·cos∠DAF =100×cos28 =100×0.88 =88(cm). 在R△AEF中.o∠EAF铝 AF 8888 AE= cos∠EAF cos13=0.97≈91(cm). (2)设DG交AB于点M,作AN⊥GD的延长线于点V, 如图所示， 3第二章直角三角形的边角关系 5三角函数的应用 第1课时 仰角、俯角问题 (教材P46-P48内容) ☑基础夯实 知点M到塔AB的水平距离MN=a,则塔 1.(宜宾长宁县期末)如图，在点A处测得某建 AB的高为 筑物BC顶端B的仰角为α，并测得点A至 A.asin aFasin B B.a cos a+acos B 建筑物底部点C的水平距离为b,则建筑物 a a C.atan a+atanβ D. 的高度为 ( ) tan a tanβ b E-- A.bsin a B. C.bcos a D.btan a 45303 cos a ac B( 1200m BL--- B D B dc 第4题图 第5题图 第1题图 第2题图 5.如图，在直升机的镜头下，观测东营市清风 2.如图，某飞机于空中A处探测到目标C,此 湖A处的俯角为30°，B处的俯角为45°.若 时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平 此时直升机镜头C处的高度CD为300m, 面指挥台B的俯角α=30°，则飞机A与指 点A,B,D在同一条直线上，则A,B两点间 挥台B的距离是 ( ) 的距离为 m.(结果保留根号) A.1200m B.1200,3m 6.(江苏泰州统考)如图，堤坝AB长为10m, 坡度i为1：0.75，底端A在地面上，堤坝与 C.2400m D.2400/3m 对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高 3.(济南中考)数学活动小组到某广场测量标 20m的铁塔CD.小明欲测量山高DE,他在 志性建筑AB的高度.如图，他们在地面上点 A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又 C测得最高点A的仰角为22°，再向前70m 在坝顶B处测得塔底D的仰角α为2635'. 至点D,又测得最高点A的仰角为58°，点 求堤坝高及山高DE.(sin26°35≈0.45， C,D,B在同一直线上，则该建筑物AB的 cos26°35'≈0.89，tan26°35≈0.50，小明身 高度约为（精确到1m.参考数据：sin22°≈ 高忽略不计，结果精确到1m) 0.37,tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈ 1.60) 122 58 D B A.28m B.34mC.37m D.46m 4.如图，小明在高台上的点M处测得塔顶A 处的仰角为α，测得塔底B处的俯角为B,已 有天清晨，父女俩照例进行体育锻炼，在林间草地上呼吸清新的空气，这时一轮红日从地平线上升 起.小希帕蒂亚全身早已热汗淋漓了，可她还是不肯停止运动.（待续） 41 练测考九年级数学全一册LJ 7.(菏泽中考)无人机在实际生活中的应用越来 上同向运动.当飞机飞行943米到达点D 越广泛.如图所示，某人利用无人机测量大楼 时，地面目标此时运动到点E处，从点E看 的高度BC,无人机在空中点P处，测得点P 到点D的仰角为47.4°，则地面目标运动的 距地面上A点80米，点A处的俯角为60°，楼 距离BE约为 米.（参考数据： 顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距 离AB为70米（点A,B,C,P在同一平面 tan37° 4tan47.4°≈ 0 内)，求大楼的高度BC.(结果保留根号) ☑素养培优 10.(聊城中考)我市某辖区内的兴国寺有一座 宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐 代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图1）.数学兴 趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图 2,当无人机从位于塔基点B与古槐底点D 之间的地面点H,竖直起飞到正上方45米 点E处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD 的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B, H,D三点在同一直线上).已知塔高为 39米，塔基B与树底D的水平距离为 20米，求古槐的高度（结果精确到1米）.（参 考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89， tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，c0s76°≈ 0.24,tan76°≈4.01) 能力提升 26.6 8.(湖北中考)如图，有甲、 乙两座建筑物，从甲建 筑物点A处测得乙建筑 甲 物点D的俯角a为45°， D ◇ 测得点C的俯角3为 ◇ 0 0 58°，BC为两座建筑物的 B H 水平距离.已知乙建筑物的高度CD为6m, 图1 图2 则甲建筑物的高度AB为 m.(参考 数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈ 1.60.结果保留整数) 9.(黄石中考)如图，某飞机于 空中A处探测到某地面目 标在点B处，此时飞行高 度AC=1200米，从飞机 B E 上看到点B的俯角为37°，飞机保持飞行高 度不变，且与地面目标分别在两条平行直线 父亲说：“别练了孩子，你该休息休息了.”女儿说：“好，咱们在草坪上散步吧.”太阳光照射在绿茵上， 42 花草树叶上的露珠开始消散了，湿润的空气中弥漫着淡淡的馨香.（待续）