2.4 第2课时利用一边与一锐角解直角三角形-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

在Rt△ACD中 :∠DAC=37°，AC=80米， si∠DAc-8 2e-A把 .CD=AC·sin37°≈80×0.60=48（米）， AD=AC·cos37°≈80×0.80=64（米）. 在Rt△BCD中， ,∠CBD=58°，CD=48米， a<(8D-品 CD 48 ∴.BD= an58≈1.60=30（米）， ,.AB=AD+BD=64十30=94（米）. .A,B两点之间的距离约为94米 2=2,sin60-3 15.解：2sim30·c0s30°=2×2×35 2 2如225·0s25≥2X038×0.920,7.m45207, ∴.2sin30°·cos30°=sin60°，2sin22.5°·cos22.5 sin45°. (2)由(1)可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角 2倍的正弦值. (3)2sin15°·cos15≈2X0.26X0.97≈2，sin30'=2: 1 故结论成立； (4)2sin a.cos a=sin 2a. 4解直角三角形 第1课时利用两边解直角三角形 1A229 3.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=√6，AB=23, .BC=√AB-AC=√/(23)2-(W6)2=√6， BC_6=1, tan A-AC/6 .∠A=45°，.∠B=90°-∠A=90°-45°=45. 4解，∠C=0福-品 .可设AC=5x,AB=13x, ∴.BC=WAB2-AC2=√/(13x)2-(5.x)2=12x, AC 5x 5 “tanB-BC-12x12 (2)由(1)得BC=12x, BC=24,.12x=24,即x=2. .∴.AB=13.x=26 5.C6.C7.A 8.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=√2，AC=√6， mA语-得 ∴.∠A=30, ∴.AB=2BC=2N2,∠B=90°-∠A=60°， ∴.∠A=30°，AB=2√2，∠B=60. 9.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12,AC=43, :amA-BC-12-3. =AC43 ..∠A=60°， .∴.∠B=90°-60°=30°，AB=2AC=83. 10.A11.A12.C 13.解：.'AD=2,BD=1,DC=4, 器提 :∠BDA=∠ADC=90°， .△BDA∽△ADC, .∠BAD=∠C :∠C+∠DAC=90°， ∴.∠BAD+∠DAC=90° ∴.∠BAC=90° 14.解：(1)：AB=AC,AD⊥BC,BC=18, .BD-DC-BC-9, .AB=√AD2+BD=√/62+92=3√13， 如8船2平 (2).AD⊥BC,EF⊥BC, .EF∥AD, 器既部 EF=号AD-号X6=4,BF-号BD-号X9=6, ∴.DF=BD-BF=9-6=3. 在R△DEF中，DE=√EF2+DF2=√42+32=5. 第2课时利用一边与一锐角解直角三角形 1D2号 3.解：∠B=25°，∠C=90°，∠A=90°-25°=65°. 如B-福 .AC=AB·sinB≈4X0.423=1.692≈1.7. BC :cos B-AB' ∴.BC=AB·cosB≈4×0.906=3.624≈3.6. 故∠A=65°，AC=1.7,BC=3.6. 4.D5.A 6.解：在Rt△ABC中， ,∠C=90°，∠A=30°，∠B=60. mA-g-gg=2 ∠B=60°，c=2,a=1. 7.2.9 8.解：根据题意，得AD=BE=5m,DE=AB=1.75m ∠CAD=30°，∠ADC=90. 在R△ACD中，：ian∠CAD=CP CD=AD·tan30°=5X3≈5X,0≈2.89(m月 3 ∴.CE=CD+DE=2.89+1.75≈4.6(m), 即这棵树大约高4.6m. 9.A10.C11.2.7 12.解：(1)在△ABC中，，AD是BC边上的高， .∠ADB=∠ADC=90°. 在△ADC中，：∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1, ∴.DC=AD=1. 1 在△ADB中，∠ADB=90,sinB=3,AD=1, ..AB=AD sin B=3 ..BD=VAB?-AD=22, ..BC=BD+DC=2V2+1. (2),AE是BC边上的中线 ..CE- :DE=(E-(D=2+}-1=E-}, DAFD AD 1 - 1B解1在R△ABD中.mB-部2AD=2. .BD=4, .AB=√AD2+BD=25, ics∠BAD-裙-号 ②)rsiC22C45 'tan C=AD DAD-2, .'.CD=2,..BC=BD+CD=6, Sam=合XADX=6 14.C 第3课时解简单的微三角形 3 1.B2.32 3.解：如图，过点A作AD⊥BC,垂足 为D 在Rt△ABD中， m8-A8号aB=10 .AD=6, .BD=√JAB2-AD2=8. 在Rt△ADC中， ∠C=45°，AD=CD=6. .∴.BC=BD+CD=8+6=14. 4.解：(1)如图，过点C作CD⊥AB,垂 足为点D 在R△ABC中，mA需手 ∴.设CD=4k,则AD=3k, '.AC=√AD+CD=W√(3k)+(4k)=5k. AC=15,.5k=15,∴k=3,.AD=9,CD=12, SAm=2AB,CD=2×15X12=90, (2)在R△BCD中，BD=AB-AD=15-9=6,CD=12, ∴BC=√CD2+BD=√12+6=65， 台留希-气B的余激为 5.46.2√77.3√3+3或33-38.B9.A10.D .c29 13.解：(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D, sin∠ABC-AR,∴AD=AB·sm☑ABC=5X兰3 5 ∴.BD=52-32=4. AB=AC,∴.BC=2BD=8. (2)补全图形，如图所示. ,AB=AC,.∠ACB=∠ABC, ·sin∠ACB=sin∠ABC=3 5 ·BE LAC于点E,sin∠ECB=BS BC BE=BC·mBCB=8Xg- 14.解：如图，连接AB,作CD LAB于点D, .AC=BC,CD⊥AB, CD是AB边上的中线，也是∠ACB的A方 角平分线， AB=2MD.∠ACD-∠ACB=0 在R△ACD中，AC=10m,∠ACD=50,in∠ACD=AD AC' 如50-把 ∴.AD=10sin50°≈10×0.766=7.66(m), .AB=2AD≈2×7.66=15.32≈15.3(m). A,B两点间的距离为15.3m. 15.解：(1)如图，过点A作AD⊥BC,垂足 为D, .'AB=AC,AD LBC...BC=2BD, B-30..BD=ABcos 30AB ..BC=2BD=3AB,.'.can 30= BC3AB-3. ABAB 若canB=1...can B=B三l,∴BC=AB .AB=AC...AB=BC=AC, .△ABC是等边三角形，.∠B=60°， 答案：3609 (2)如图，过点A作AD⊥BC,垂足为 点D, 8.BC8 B can B=5AB-5' .设BC=8x,则AB=5x,AB=AC,AD⊥BC, BD=2BC=4…AD=√AB=BD=3z练测考九年级数学全一册L小 第2课时 利用一边与一锐角解直角三角形 (教材P42一P43内容) ~基础夯实 知识点二已知一条直角边和一个锐角解直 知识点一已知斜边和一个锐角解直角三角形 角三角形 1.(平顶山期末)已知在△ABC中，∠C=90°， 4.在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A= ∠A=a,AB=c,那么BC的长为() 40°，BC=3,则AC= () A.c·cosa B.c·tana A.3sin40° B.3sin50° C.sin a C.3tan40° D.3tan50° D.c·sina 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,cosA= 2.将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB () 14cm,则阴影部分的面积是 cm2. 手则C的长为 A.6 B.8 C.10 D.12 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C 所对的边分别为a,b,c,且∠A=30°，b= 45D √3，解这个直角三角形 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.已知AB= 4,∠B=25°，求∠A,BC和AC的值.（参考 数据：sin25°≈0.423，cos25°≈0.906， tan25°≈0.466，结果精确到0.1) 数学里程碑式的人物一陈省身陈省身出生于浙江嘉兴秀水县，美籍华人，20世纪世界级的几何 34 学家.少年时代即显露数学才华，在其数学生涯中，几经抉择，努力攀登，终成辉煌.（待续） 第二章直角三角形的边角关系 知识点三解直角三角形的简单应用 ☑能力提开 7.如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如 9.如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测 图2.梯子与地面所成的角a为75°，梯子AB 量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距 长3m,则梯子顶部离地竖直高度BC约为 离BE为15m,AB为1.5m(即小颖的眼晴 m.(结果精确到0.1m.参考数据： sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73) 距地面的距离)，那么这棵树高是 () A.(5√3+1.5)m B.(153+1.5)m C.53 m D.9 m 0. C 图1 图2 30° 8.(徐州沛县月考)如图，身高1.75m的小丽 用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测 量一棵树的高度（∠A=30°），已知她与树之 第9题图 第10题图 间的距离为5m,那么这棵树大约有多高？ 10.(阜阳临泉县期末)如图，在平面直角坐标 (眼睛与地面的距离用身高近似代替，结果 系中，OC:BC=1:2,OP∥AB交AC的 精确到0.1m) 延长线于点P.若P(1,l),则tan∠OAP的 值是 () 号 K号 777777777777777777777 c D.3 11.如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置 在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点 重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的 交点B在刻度尺上的读数恰为2cm.若按 相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度 尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的 读数为 cm.（结果精确到0.1cm.参 考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， tan37°≈0.75) 0 他在整体微分几何上的贡献，影响了整个数学的发展，被杨振宁誉为继欧几里德、高斯、黎曼、嘉当之后 又一里程碑式的人物.曾先后主持、创办了三大数学研究所，造就了一批世界知名的数学家.（待续） 35 练测考九年级数学全一册LJ 12.(泰安新泰月考)如图，在△ABC中，AD是 13.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高， BC边上的高，AE是BC边上的中线， sin C=2 ∠C=45,simB=3AD=1. ，anB=分AD=2, (1)求cos∠BAD的值； (1)求BC的长； (2)求△ABC的面积. (2)求tan∠DAE的值. ~素养培优 14.(杭州中考)第二十四届国际数学家大会会 徽的设计基础是1700多年前中国古代数 学家赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的 直角三角形（△DAE,△ABF,△BCG, △CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成 的大正方形ABCD中，∠ABF>∠BAF, 连接BE.设∠BAF=a,∠BEF=B,若正 方形EFGH与正方形ABCD的面积之比 为1：n,tana=tan23,则n= () ICM 2002 A.5 B.4 C.3 D.2 晚年情系故园，陈省身每年都回天津南开大学数学研究所主持工作，培育新人，只为实现心中的一个 36 梦想：使中国成为21世纪的数学大国.