2.4 解直角三角形 课时训练 2025-2026学年 鲁教版（五四制）九年级数学上册

第二章 直角三角形的边角关系 4 解直角三角形 第3课时 解非直角三角形 认知基础练 练点1 在三角形内部构造直角三角形解非直角三角形 1.已知:如图,在△ABC中,则 AB 的长为( ) A.4 C.5 2.等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则它的顶角为( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 练点2 在三角形外部构造直角三角形解非直角三角形 3.如图,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则 cos∠BAC 的值为___________. 4.数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC 和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作 ，小颖画的三角形面积记作 ，那么你认为( ) D.不能确定 5.在△ABC 中,若 AB = 10,AC = 15,∠BAC=150°,则△ABC 的面积为( ) A.37.5 B.75 C.100 D.150 纠易错 因忽视分类讨论而致错 6.在△ABC 中,则BC=______________. 方法技巧练 技法1 构造直角三角形利用相似解直角三角形 7.如图，在 Rt△BAD 中，延长斜边BD 到点 C,使 连接AC,若求 tan∠CAD的值. 技法2 利用平行线分线段成比例解三角形 8.如图,在△ABC 中, 点 F在 BC上,AB=AF=5,过点 F作EF⊥CB交AC 于点E,且AE:EC=3:5,求BF的长与 sin C 的值. 参考答案 1. A 【点拨】如图,过点A 作AD⊥BC.在 Rt△ACD中, 在Rt△ABD中,∵∠B=30°,AD=2,∴AB=2AD=4.故选 A. 2. C 【点拨】如图,∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD= CD. ∵AB = AC,∴△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°.故选C. 【点拨】过点 B作BD⊥AC交AC 的延长线于点D.在 Rt△ABD中, ∠ADB=90°,AD=3,BD=4, 4. C【点拨】如图,过点A作AG⊥BC于G,过点D作DH⊥EF,交FE 的延长线于H. 在 Rt△ABG中,AG=AB·sinB =5sin 50°.在 Rt△DHE中,∠DEH= 180°-130°=50°,DH=DE·sin∠DEH=5sin 50°.∴AG=DH.又∵ 故选C. 5. A 【点拨】如图,过点 C作CD⊥AB,交BA 的延长线于点 D. ∵∠BAC = 150°,∴∠DAC = 30°. 在Rt△ADC 中, 或 【点拨】①当△ABC为锐角三角形时,过点A作AD⊥BC于点D,如图①.∵AB= ②当△ABC为钝角三角形时,过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图② 综上，BC的长为 或 点方法 本题并未给出△ABC 的形状，因此要分△ABC为钝角三角形和锐角三角形两种情况求解. 7.【解】过点 C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E,则∠CED=90°.∴∠BAD=∠CED=90°. 又∵∠ADB=∠EDC,∴△BDA∽△CDE. 设AD=5x,AB=3x. 8.【解】过点 A 作AD⊥CB,垂足为点 D. 在 Rt△ABD中, ∵AB=AF,AD⊥CB,∴BF=2BD=6. ∵AE:EC=3:5,DF=BD=3,∴CF=5,∴CD=8. 在 Rt△ABD中, 在 Rt△ACD中, 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直角三角形的边角关系 4 解直角三角形 第1课时 已知两边解直角三角形 认知基础练 练点1 已知一直角边和斜边解直角三角形 1.在 Rt△ABC中,∠C=90°,若a=3,c=6,则∠A=____________,b=____________. 2.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点设∠BCD=α,则cosα的值是( ) 练点2 已知两条直角边解直角三角形 3.在△ABC中,∠C=90°,AC=12，BC=5，则下列三角函数值正确的是( ) 4.在 Rt△ABC 中, 则 A.90° B.60° C.45° D.30° 5.如图,菱形 ABCD 的对角线AC=10 cm,BD=6cm,则 的值为( ) 纠易错 受思维定式的影响误以为∠C 的对边为斜边造成错误 6.在△ABC 中,∠B= 90°,BC=3,AB =5,求tan A, cos A的值. 方法技巧练 技法1 借助三角形面积公式求解直角三角形 7.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AB=12, 求:B (1)∠B的度数; (2) tan C 的值. 技法2 利用设参数法解直角三角形 8.如图,在 Rt△ABC中,∠A =90°.作BC 的垂直平分线交AC 于点D,延长AC 至点 E,使CE=AB. (1)若AE=1,求△ABD的周长; (2)若 求 tan∠ABC的值. 参考答案 【点拨】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,a=3, 2. D 【点拨】∵在 Rt△ABC 中,∠ACB =90°,CD⊥AB,∴∠B+∠A=90°,∠B+∠BCD=90°,∴∠A=故选 D. 3. A 【点拨】∵∠C =90°,AC = 12,BC =5,∴ AB= 故选 A. 4. B 【点拨】在 Rt△ABC中,∵ 故选B. 5. A 【点拨】由题意得, 则 故选 A. 6.【解】在 Rt△ABC中,∠B=90°, 点易错 本题中已指出∠B=90°，所以AC为斜边， 而受习惯的影响， 常误以为∠C 的对边 AB 是斜边.因此，解题时应认真审题， 注意所给条件，分清斜边和直角边，以防出错. 7.【解】(1)由题意,得 ∴AD = 6. 在 Rt△ABD 中,AB = 12,∴BD = ，在Rt△ACD中, 8.【解】(1)如图,设BC 的垂直平分线交 BC 于点 F, ∴BD=CD,∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB +AD+DC=AB+AC. ∵AB = CE,∴△ABD的周长=AC+CE=AE=1,故△ABD的周长为1. (2)设AD=x,则 BD=3x.又∵BD=CD,∴AC=AD+CD=4x. 在 Rt△ABD中, 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直角三角形的边角关系 4 解直角三角形 第2课时 已知边、角（或三角函数值）解直角三角形 认知基础练 练点1 已知斜边和一锐角 ( 或三角函数值)解直角三角形 1.在 Rt△ABC中,∠C=90°,若已知c,∠A,则下列各组式子中，能正确求出a，b的是( ) C. a=c·cosA,b=c·sinA D. a=c·sinA,b=c·cosA 2.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则BC 的长是( ) B.4 3.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D,tan∠BCD= 则 BC 的长为_____________. 练点2 已知一直角边和一锐角(或三角函数值)解直角三角形 4.在 Rt△ABC中,∠C=90°,若a=6,∠B=45°,则b=___________,c=__________. 5.在 Rt△ABC中,∠C=90°, 的平分线 BD交AC 于点 D,若AD=16,则 BC 的长为( ) A.6 B.8 D.12 6.如图,在四边形 ABCD中,∠B=90°,AB=2,CD=8,连接AC,AC⊥CD,则 AD的长度是______________. 思维发散练 发散点1 利用解直角三角形求线段的长 7.如图,在 Rt△ABC中, 点 D在 BC上,且BD=AD. (1)求AC 的长; (2)求 tan ∠ADC 的值. 发散点2 利用已知边、角解直角三角形求面积 8.如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限内,点B的坐标为(3,0),OA=2, ∠AOB=60°. (1)求点 A 的坐标; (2)若直线AB交y轴于点C,求△AOC 的面积. 参考答案 1. D 【点拨】在 Rt△ABC中,∠C=90°,已知c,∠A,故选 D. 2. D 【点拨】由题意得BC=AB·cosB=8×cos30°= 故选D. 3.9 【点拨】∵在 Rt△ABC中,∠ACB =90°,CD⊥AB,∴∠ACD+∠BCD=90°,∠ACD+∠A =90°,在Rt△ABC中, 4.6;6 【点拨】∵∠C =90°,∠B=45°,∴∠A=45°,∴△ABC为等腰直角三角形,∴b=a=6, 5. C 【点拨】∵ ∠ABC=60°. ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=30°,∴∠A =∠ABD,∴ BD=AD= 16. ∵∠CBD= 故选C. 6.10 【点拨】在 Rt△ABC中,∵ AB=2,∴AC=6. 在 Rt△ACD中,∵AC=6,CD=8, 故答案为10. 7.【解】(1)∵在 Rt△ABC中,∠C = 90°,BC = 8, (2)设 CD=x,则AD=BD=8-x.在 Rt△ACD中，根据勾股定理得AD²=CD²+AC²,即(8-x)²=x²+16,解得x=3,即 CD=3. 8.【解】(1)如图,过点A作AD⊥x轴,垂足为点 D. 在 Rt△OAD中,OA=2,∠AOB=60°, ∴点A的坐标是((1, ). (2)设直线 AB对应的函数表达式为y=kx+b. ∵直线 AB过点 A(1, )和B(3,0), 解得 ∴直线 AB 对应的函数表达式为 令x=0,则 点方法 过平面直角坐标系中的一点向x轴或向y轴作垂线是解决求点坐标及图形面积的主要方法.再在直角三角形中运用三角函数的知识，求出相关线段的长是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $