精品解析：陕西榆林市横山中学2025-2026学年第二学期期中检测高一数学试题

2025~2026学年度第二学期期中检测 高一数学试题 注意事顶： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得：. 2. 已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】因为复数是纯虚数， 则，解得. 3. 在基底下，向量，则在下列图中，能正确表示向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，以为对角线，构造平行四边形，如图 所以，而，，所以，故A正确. 对于B，同理可求，故B错误. 对于C，同理可求，故C错误. 对于D，同理可求，故D错误. 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算得出 ，然后利用即可求解. 【详解】已知向量， 若，则 ，解得 ， 因此 ，故D正确. 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理来建立等式求解角A. 【详解】根据正弦定理，在中满足，变形得， 代入，其中， 可得： 三角形内角和为，已知（钝角），因此， 满足的角为. 6. 已知复数满足，则在复平面内对应的点形成的轨迹为（ ） A. 一条直线 B. 一条线段 C. 一个圆 D. 一段圆弧 【答案】A 【解析】 【详解】记复数在复平面中的点为， 表示点到原点的距离，表示点到的距离， 因为，所以在复平面内对应的点形成的轨迹为线段的中垂线， 即一条直线. 7. 如图所示，在中，点是线段的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知：. 8. 我国一种传统的手工折纸风车及平面示意图如下所示，其制作方法为，从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上（如A折叠后落到，重复操作后即可完成.已知，下列关于图2的说法中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】, 设，因为，所以，所以，同理，,所以易得四边形为平行四边形，，故A,B 正确； ，故C正确； ,，所以，故D错误. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 零向量没有方向 B. 零向量方向任意 C. 相等向量的长度一定相等 D. 共线向量不一定在同一条直线上 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量的定义判断. 【详解】根据零向量的定义知A错，B正确； 由相等向量的定义知C正确； 由共线向量的定义知D正确. 10. 若复数满足，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 复数是关于的方程的一个复数根 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为，整理得，即，故A正确. 对于B，，故B错误. 对于C，，其对应的点坐标为，属于第二象限，故C正确. 对于D，因为， 所以复数是关于的方程的一个复数根，故D正确. 11. 八角镂空窗是中国古典建筑与园林中极具代表性的几何形镂空窗，集实用功能､美学意境与吉祥文化于一体.某八角镂空窗的边框呈正八边形，其示意图与直角坐标系中的平面图如图所示，已知为正八边形内的一动点（含边界），为正八边形的中心，，则下列说法中正确的有（ ） A. 点的坐标为 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正八边形的性质即可依次得到每个点的坐标，从而判断A，B，C；最后将的取值范围转化为向量在方向上的投影数量的取值范围即可判断D. 【详解】已知， 为正八边形，如图所示，设， 则， 对于A，根据正八边形的性质可得点的坐标为，故A正确； 对于B，根据正八边形的性质可得点的坐标为，因此，故B正确； 对于C，根据正八边形的性质可得点的坐标为，所以， 所以， 而，，所以， 因此，故C错误； 对于D，，为正八边形内的一动点（含边界），则 ，其中表示向量与的夹角， 因此，要求，即求 ，而 表示向量在方向上的投影数量， 由图可知，当在点时，投影最小，此时 ， 当在点时，投影最大，此时， 因此，，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 【答案】 【解析】 【详解】因为 ，所以 13. 已知向量与的夹角为，若，则在上的投影向量的模为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解. 【详解】向量在上投影向量的模为，其中为与的夹角， 已知，，代入计算： . 14. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得米，，则塔高__________米（结果保留整数）.（参考数据 ） 【答案】27 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函数的定义，求得的长即得答案． 【详解】因为米，， 所以． 由正弦定理，，可得， 在直角中，因为，所以， 即塔高为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数的实部为，虚部为. （1）若，求； （2）若与复数互为共轭复数，求. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由复数乘法法则化简后，根据复数相等的定义求得后可得结论； （2）由复数除法法则化简后，根据共轭复数及复数相等的定义求得后可得结论； 【小问1详解】 因为 ， 故， 所以. 【小问2详解】 ， 因为与复数互为共轭复数， 所以 ，即， 所以. 16. 如图，已知中，，延长至点，连接. （1）求的长； （2）若，求的长. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理运算求解即可； （2）在中，利用余弦定理运算求解即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 且. 所以. 【小问2详解】 因为，则， 在中，由余弦定理得 17. 已知向量，若. （1）求实数的值； （2）求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合数量积的坐标运算求解； （2）由题意可得，利用向量的坐标运算求向量夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为，且， 所以 ，解得. 【小问2详解】 因为，则， 由（1）可得，则， 所以. 18. 已知的内角所对的边分别为，且 . （1）求； （2）若，求外接圆面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由 ， 整理得：， 由正弦定理，可得 ， 即， 因为，所以，即， 又因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理，外接圆的半径， 要使外接圆的半径最小，只需最小， 由余弦定理，. 当且仅当时等号成立，此时， 则. 故外接圆面积的最小值为. 19. 如图，已知满足，，线段上有一系列点，且满足. （1）判断的形状； （2）当时，若为线段上的一个动点（不含端点），求的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1）等边三角形 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由数量积和模长可得，即可得结果； （2）根据向量的线性运算可得，结合数量积运算可得，即可得结果； （3）设中点为，根据向量的线性运算整理可得，进而分析证明. 【小问1详解】 由题意可知，， 则，且，即， 所以为等边三角形. 【小问2详解】 当时，为边的中点， 设，则， 可得， 则， 所以 ， 因为，则， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 设中点为，则， 由题可知， ， 可得， 由等边三角形的中线长可知， 所以，对于任意正整数恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期中检测 高一数学试题 注意事顶： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 0 3. 在基底下，向量，则在下列图中，能正确表示向量的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知复数满足，则在复平面内对应的点形成的轨迹为（ ） A. 一条直线 B. 一条线段 C. 一个圆 D. 一段圆弧 7. 如图所示，在中，点是线段的中点，，则（ ） A. B. C. D. 8. 我国一种传统的手工折纸风车及平面示意图如下所示，其制作方法为，从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上（如A折叠后落到，重复操作后即可完成.已知，下列关于图2的说法中不正确的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 零向量没有方向 B. 零向量方向任意 C. 相等向量的长度一定相等 D. 共线向量不一定在同一条直线上 10. 若复数满足，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 复数是关于的方程的一个复数根 11. 八角镂空窗是中国古典建筑与园林中极具代表性的几何形镂空窗，集实用功能､美学意境与吉祥文化于一体.某八角镂空窗的边框呈正八边形，其示意图与直角坐标系中的平面图如图所示，已知为正八边形内的一动点（含边界），为正八边形的中心，，则下列说法中正确的有（ ） A. 点的坐标为 B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 13. 已知向量与的夹角为，若，则在上的投影向量的模为__________. 14. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得米，，则塔高__________米（结果保留整数）.（参考数据 ） 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数的实部为，虚部为. （1）若，求； （2）若与复数互为共轭复数，求. 16. 如图，已知中，，延长至点，连接. （1）求的长； （2）若，求的长. 17. 已知向量，若. （1）求实数的值； （2）求与夹角的余弦值. 18. 已知的内角所对的边分别为，且 . （1）求； （2）若，求外接圆面积的最小值. 19. 如图，已知满足，，线段上有一系列点，且满足. （1）判断的形状； （2）当时，若为线段上的一个动点（不含端点），求的取值范围； （3）证明： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $