精品解析：陕西宝鸡市陈仓区天王高级中学等校2025-2026学年第二学期期中质量检测试题高一数学

2025-2026学年度第二学期期中质量检测试题（卷） 高一数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 零向量的长度是0 C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 共线向量是长度相等的向量 2. 如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，其中，，，．则四边形的面积是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 4 3. 是虚数单位，，则是为实数的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 4. 已知是两个不共线的向量，若，，，则中共线的三点是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或60° D. 60°或120° 6. 在中，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 的三内角的对边分别为，且满足，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 8. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为虚数单位，复数，，则（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 为实数 D. 的虚部为-5 10. 下列命题中不正确的是（ ） A. 以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥 B. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 C. 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 D. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 11. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在上的投影向量为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为___________ 13. 已知复数满足，则___________ 14. 如图所示，已知，，，，用与表示，则___________ 四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知，且与夹角为，求： （1）求； （2）与的夹角的余弦值． 16. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 17. 在锐角中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若的面积为，求. 18. 已知在中，为中点，，，． （1）用和表示； （2）若，求； （3）设和的夹角为，若，求证：． 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）证明：. （2）若，A的角平分线交BC于D，且，求a. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中质量检测试题（卷） 高一数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 零向量的长度是0 C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 共线向量是长度相等的向量 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，若，则与的模相等，但方向无法确定，故A错误； 对于B，零向量的长度是0，故B正确； 对于C，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故C错误； 对于D，方向相同或相反的向量称为共线向量，规定零向量与任意向量共线，故D错误. 2. 如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，其中，，，．则四边形的面积是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原，即可求解. 【详解】根据斜二测画法得出，，， 将直观图还原，如下图. 四边形是直角梯形， 上、下底分别为，，高， 所以四边形的面积. 故选： A. 3. 是虚数单位，，则是为实数的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 【答案】C 【解析】 【详解】由实数和复数的关系可知，是为实数的充要条件. 4. 已知是两个不共线的向量，若，，，则中共线的三点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以三点共线； 由，所以与不平行，所以三点不共线； 因为，所以与不平行，所以三点不共线； ， 因，所以与不平行，所以三点不共线. 5. 在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或60° D. 60°或120° 【答案】A 【解析】 【详解】由正弦定理，代入已知条件 ，，， 可得， 由三角形"大边对大角"的性质， ， 因此 . 6. 在中，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 整理为， 即，，即. 7. 的三内角的对边分别为，且满足，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦定理得，中 ，（为外接圆半径）， 代入已知等式 ​，约去得： 交叉整理得：，即  所以或， 时，，此时为等腰三角形； 时，​，此时​，为直角三角形. 因此的形状为等腰三角形或直角三角形. 8. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正八面体的面积和减去六个顶点的曲率和可得结果. 【详解】正八面体每个面均为等边三角形，且每个面的面角和为，该正面体共个顶点， 因此，该正八面体的总曲率为. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为虚数单位，复数，，则（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 为实数 D. 的虚部为-5 【答案】BD 【解析】 【分析】求出的共轭复数判断A；求出、可判断B；由复数的加法，求出的值判断C；由复数的乘法运算，求出，可判断D. 【详解】因为的共轭复数为，所以A错误； 因为，，所以B正确； 因为，所以C错误； 因为， 所以虚部为，所以D正确. 10. 下列命题中不正确的是（ ） A. 以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥 B. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 C. 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 D. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 【答案】ABD 【解析】 【详解】只有以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体才叫圆锥，故A错误； 用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台， 故B错误； 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，故C正确； 如下几何体不是棱柱， 故D错误. 11. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量平行时坐标的关系，代数计算，可判断A的正误；根据向量垂直时坐标的关系，代数计算，可判断B的正误；根据求模公式，结合条件，代数计算，可判断C的正误；根据投影向量的求法，代数计算，可判断D的正误. 【详解】选项A：若，则，即，故A错误； 选项B：若，则，解得，故B正确； 选项C：若，则，解得，即，故C正确； 选项D：若，则， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为___________ 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】由题意知，， 所以. 13. 已知复数满足，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法求出，结合复数的几何意义求解即可. 【详解】由，得， 所以. 14. 如图所示，已知，，，，用与表示，则___________ 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，， 设，则，即，解得 所以 四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知，且与夹角为，求： （1）求； （2）与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 【小问2详解】 设与的夹角为 16. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义列不等式组求解即得； （2）根据第二象限内的点的特征列不等式组求解即得. 【小问1详解】 由是纯虚数，可得， 由①解得或，因时，，不合题意， 故的值为； 【小问2详解】 由在复平面内对应的点在第二象限， 可得，由③解得；由④解得或， 故得，即的取值范围为. 17. 在锐角中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合同角三角函数关系式进行求解即可； （2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理可知： , 又因为，所以 在锐角中，因为， 所以. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以， 由余弦定理，得， 因为，且， 所以是锐角三角形，所以符合题意. 18. 已知在中，为中点，，，． （1）用和表示； （2）若，求； （3）设和的夹角为，若，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合点的分点比例，利用向量线性运算法则将转化为与的线性组合. （2）利用向量模长与数量积的关系，结合已知夹角及模长条件计算. （3）将用、表示，通过证明推导垂直关系. 【小问1详解】 ∵ ， ∴ ， 整理得， ∴ . 【小问2详解】 ∵ ，，， ∴ . ∵ ， 代入数值计算得： ， ∴ . 【小问3详解】 ∵ 为中点， ∴ ， ∴ . ∵ 与的夹角为，， ∴ . 计算得： ， ∴ ，即. 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）证明：. （2）若，A的角平分线交BC于D，且，求a. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）本题利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换，通过两角差的正弦公式推导角的等量关系，从而证明. （2）本题先由（1）的结论结合正弦定理得到与的关系，再利用角平分线的性质得到三角形内角的关系，结合正弦定理建立关于的方程，求解得到的值. 【小问1详解】 由正弦定理得， 得， 得. 因为，，所以，得. 【小问2详解】 由正弦定理，得.① 因为A的角平分线交BC于D，所以，. 在中，得，得. 在中，由正弦定理得， 得.② 由①②得，得（负根舍去）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $