微专题10 平行线、相似三角形中等积式或比例式的证明方法-【练测考】2025-2026学年八年级下册数学（鲁教版五四制）

第九章图形的相似 微专题十平行线、相似三角形中等积式或比例式的证明方法 1.如图，点D在△ABC的边AB上，DE交AC 3.如图1，点P是菱形ABCD的对角线BD上 于点E,∠ADE=∠B,点F在AD上，且 一点，连接CP并延长，交AD于点E,交 AD2=AF·AB. BA的延长线于点F, 求运，0品长 (1)求证：PE·PF=PC2; (2)如图2，连接AC交BD于点O,连接 (2)△AEF∽△ACD OE,若CE⊥BC,求证：△POC∽△AEC. E A 2.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交 于点O,直线L平行于BD,且与AB,DC, BC,AD及AC的延长线分别相交于点M, N,R,S和P.求证：PM·PN=PR·PS. MN 比我差的人还没放弃，比我好的人仍在努力，我就更没资格说，我无能为力！ 111 练测考八年级数学下册LJ 4.如图，在边长为6的正方形ABCD中，Q在 5.如图，在等腰△ABC中，AB=AC, CD的延长线上，H在CB的延长线上， ∠BAC=a,点P为△ABC内部一点，且 ∠HCQ绕点C逆时针旋转∠HCH'<45°， 得到∠H'CQ',交AB于点E,交AD的延长 ∠nPC=9o+3. 线于点N,交BD于点F,NE与BD的交点为 (1)如图1，若a=60°，延长BP交AC于点 M,连接CM.当BE=2时. D,求证：DC2=DP·DB; (1)求ND的长； (2)如图2，过点P作EF∥BC交AB,AC (2)求证：CF·EF=MF·BF; 于E,F两点，求证：BE2=PE·PF; (3)求CM的长. (3)如图3，连接AP并延长交BC于点G, 010 者部-：直接写m化的值 图1 图2 12诚然生命有挫折，也有泪水。但正因为这些砺炼，我们才从幼稚走向成熟，走向成功。 第九章图形的相似 6.点E在矩形ABCD的对角线BD上，DF⊥AE 7.等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形CDE 于点G,交AB于点F 的直角顶点C重合.DE与AC相交于F,CD (1)如图1，若DB平分∠CDF,求证： 的延长线交AB于G,连接BD. AD-AE; (1)如图1，求证：AC·CF=CE·CG; (2)如图2，取AD的中点M,若∠AMF= (2)如图2，B,D,E在同一条直线上，取AB BE ∠ABM求E的值： 的中点M,分别连接MC,ME,求证： MC-ME; (3)如图3，过BD的中点O作OP⊥AB于 (3)如图3，过A作BD的平行线，过B作 点P,延长PO交CD于点Q,连接EF交 AC的平行线，两线相交于H,H在CG的延 OP于点N,若NE=NF,求证：AE- 长线上.者BC=2BH,求是的值 图1 图2 图3 图3 感谢伤害你的人，因为他磨炼了你的心志！ 113÷80六0器即0-0r0E 8.D 9.(1)证明：AB⊥BC,DC⊥BC, ∴∠B=∠C=90°，∴∠BAE+∠AEB=90. AE⊥DE,.∠AED=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°， .∠DEC=∠BAE,.△ABE∽△ECD. (2)解：在Rt△ABE中，AB=4,AE=5,∴BE=3. ,BC=5,∴.EC=BC-BE=5-3=2. 由(1)，得△ABE∽△ECD, ·AB_BE ·ECCD1 品c0= (3)解：线段AD,AB,CD之间的数量关系：AD=AB 十CD. 理由：如图，过点E作EF⊥AD于点F. △AED∽△ECD, .∴.∠EAD=∠DEC,∠ADE=∠EDC .DC⊥BC,EF⊥AD,∴.EF=EC. .DE=DE,∠EFD=∠C=90°， .Rt△DFE≌Rt△DCE(HL), ..DF=DC. ,∠DEC=∠BAE .∠BAE=∠EAF. 又.∠B=∠AFE=90°，AE=AE, ∴.△ABE≌△AFE(AAS), ,∴.AB=AF,∴.AD=AF+DF=AB+CD 微专题十平行线、相似三角形中等积式或 比例式的证明方法 1证明.(：∠AE=∠B,DE/C8A (2aD=AF·AB,铝S 由1)，得AD=AE.AEAF 寻AB=AC·ACAD :∠A=∠A,∴△AEF∽△ACD. 2.证明：，直线1BD, 器需器祭需@ 器6器相器8器®， 由0@器器母PM,PN-P限，s 3.证明：(1)四边形ABCD是菱形， ∴.AD=CD,∠CDP=∠ADP,CD∥AB. (CD=AD, 在△CDP和△ADP中，{∠CDP=∠ADP, DP=DP. ∴.△CDP≌△ADP(SAS),.PC=PA,∠DCP=∠DAP. CD∥AB,∠DCP=∠F,.∠DAP=∠F. '∠APE=∠FPA,.△PAE∽△PFA, 路器PA=PEp ∴.PE·PF=PC2 (2),CE⊥BC,.∠ECB=90°. 四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,ADBC, ∠COP=90°，∠AEC=180°-∠BCE=180°-90°=90°， .∠COP=∠CEA. .∠OCP=∠ECA,∴.△POC∽△AEC. 4.(1)解：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠ABC=∠CDG=90°，BC=CD, ,∠HCQ绕点C逆时针旋转∠HCH'<45,得到∠HCQ, ∴∠BCE=∠DCN, .△BCE≌△DCN(ASA),∴.DN=BE=2. (2)证明：.四边形ABCD是正方形， .∠QCH=∠DCB=90°，∠CBD=∠ABD=45°， 由(I)△BCE≌△DCN,得CE=CN, 由旋转，得∠NCE=∠QCH=90°， ∴△CVE是等腰直角三角形， ∴.∠CEN=45°，∴.∠CEN=∠CBD. .'∠CFB=∠MFE,.△BCFc∽△EMF, .CF BF 派EFCF·EF=MF·BR （③解器3∠CM-∠BE, .△CFM∽△BFE,∴.∠MCE=∠MBE=45. :△CNE是等腰直角三角形∴CM=2NE, 在Rt△ANE中，，AN=ND+AD=2十6=8，AE= AB-BE=6-2=4. ∴由勾股定理，得 NE=√AN+AE2=√82+4=45， :01-=号×45=25 5.(1)证明：：AB=AC,∠BAC=a=60°， .∴.∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°. :∠BPC=90+7a=120, ∠DPC=60,∠DPC=∠DCB. ∠CDP=∠BDC,∴△PDC∽△CDB, ·DC_DP DB-DCDC=DP·DB. g证用球器是 .AB=AC,..BE=CF..'.AE=AF, ∠AEF=∠AFE=90-a, ∴∠BEP=∠CFP=90+Z, ∴∠BPC=∠PFC,∴∠BPE=∠FCP, △PEBO△CFP,器-SBE=PE·PE ③)解，密-，解答过君如下。 如图，过点P作EFBC,交AB于点E,交AC于点F. 3 .EF//BC, 器裙器 .EP PF.BG EP BG-CGCGPF PE BE BP 由(2)知，△PEBn△CFP.CF-Fp-CP =n, 设PF=x,则CF=BE=nx, BGPE-n. ∴.EP=n2x…CGPF 6.(1)证明：如图1. ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠DAF=90°，ABCD. 4 在Rt△ADF中， ∠5+∠AFG=90° DF⊥AE, 图1 .∠AGF=90°， .∠FAG+∠AFG=90, ∴.∠5=∠FAG. ABCD,∴.∠2=∠3. 又，BD平分∠CDF, ∴∠1=∠2， ∴∠1=∠3（等量代换）， ∴.∠4=∠3+∠FAG=∠1+∠5=∠ADB, ∴.AD=AE(等角对等边). (2)解：，∠AMF=∠ABM ∠MAF=∠BAM=90°， .△AMF∽△ABM 能淄 ① 如图2，作NE⊥AB于点N. .NE∥AD, 图2 ∴.△ENB△DAB, ∴.NE:NB=AD:AB 又：M是AD的中点活 ② :∠ENA=∠DAF=90°， 由(1)，知∠NAE=∠ADF,.Rt△AEN∽Rt△DFA, ..NE_AFAF AN AD 2AM ③. 由0©⑤相恶=4： NE AN' .NB:AN=1:4. BE NB 1 又：NEAD…DE-AN=4 (3)证明：在矩形ABCD中， O是BD的中点，OP⊥AB, .OP∥AD,AP=PB 如图3，过点E作EH⊥AB于点H, 则PN∥HE, .∴.FP:PH=FN:NE 又，FN=NE,∴.FP=PH, ∴AP-FP=BP-PH, 即AF=BH. ,EH∥PN,PN∥AD, ∴.EH∥AD, △ADBO△HEB小部E…E-部 7.(1)证明：：△ABC和△CDE都是等腰直角三角形， ..∠FDC=∠A=45°，CD=CE. :∠FCD=∠GCA,∴.△FCDn△GCAG=AC, CF CD ,CD=CE,∴.AC·CF=CE·CG (2)证明：如图1，连接AE, :△ABC和△CDE都是等腰直角三 角形， ..CE=CD.CA=CB. E ∠ECD=∠ACB, ∴∠ACE=∠BCD, .△ACE≌△BCD(SAS), 图1 ∴∠EAC=∠CBD, ∴.∠EAB+∠ABE=∠CAB+∠ABC=90°， ∠AEB=90. .点M为AB的中点，∴.ME=AM. ,∠ACB=90°，点M为AB的中点， ∴.MC=MA,∴.MC=ME. (3)解：如图2，延长BD交AC于P,连接PH. AC∥BH,AHBD, A .四边形APBH是平行四边形， ..AP=BH.AH=BP. .'BC=2BH, ..BC=2AP. △ABC是等腰直角三角形， 图2 ∴.AC=BC,∴AC=2AP, AP-2AC=PC=BH. 又：BH∥AP,.四边形PCBH是平行四边形. ,∠PCB=90°，.四边形PCBH是矩形， ∴BP=HC,D为BP的中点∴CD=号BP, BP-AH.'.CD-7AH. .CD=CE, DE:-CD:+CB:-2CD-2XA DE- 号AH提的值为巨 6黄金分割 1.D2.D3.A4.(W5-1)5.0.6186.B7.D8.5 9.解：设主持人从A点向B点走xm到达C点时，他的站台 最得体 ..AC=x m,BC=AB-AC=(20-x)m. ①当AC<BC时，BC2=AC·AB, ∴.(20-x)2=20x, 整理得x2-60x十400=0， 解得x1=30一10W5≈8，x2=30十10W5(不合题意，舍去)； ②当AC>BC时，AC2=BC·AB, 4