9.4探索三角形相似的条件同步训练 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2012）数学八年级下册

9.4 探索三角形相似的条件 同步训练 一、单选题 1．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 3．数学文化  在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，要使“馬”“車”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帥”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，根据“馬走日”的规则，“馬”应落在（    ） A．①处 B．②处 C．③处 D．④处 4．如图，点在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则下列添加的条件中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．关于等腰三角形相似的判定，某同学提出如下猜想，下列说法中正确的是（    ） ①两腰及一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似； ②底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似． A．①错误②正确 B．①正确②错误 C．①②均正确 D．①②均错误 二、填空题 7．如图，是斜边上的高，请写出图中的一对相似三角形：________． 8．如图，在中，D在上，添加一个条件使，则这个条件可以是：____________ ．（不添加辅助线，写出一种情况即可） 9．如图，，相交于点，且，，，当_____时，与相似． 10．将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 三、解答题 11．如图，在中，点D在边上，连接，，请你用尺规作图法在边上找一点E，连接，使得（不写作法，保留作图痕迹） 12．如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形有公共顶点A，且，，点E恰好落在边上（与点不重合），与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：． 13．如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，连接，求的值． 14．如图，矩形中，，点P为边上一动点，交于点Q． (1)求证：； (2)当时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 《9.4 探索三角形相似的条件 同步训练 2025-2026学年鲁教版数学八年级下册》参考答案 1．C 【分析】利用相似三角形的判定定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．阴影三角形的外角为，根据三角形外角定理，阴影三角形的一个内角等于．角与原三角形的相等，且阴影三角形与原三角形共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． B．阴影三角形的外角为，其内角为，与原三角形的相等，且共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． C．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的和上的．原三角形夹的两边比为，阴影三角形夹的两边比为．两组边的比例相同，但所夹的角不相等，不满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定．图中无额外等角信息，无法用两角对应相等判定相似．所以，阴影三角形与不相似． D．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的（，截取了）和上的（，截取后剩余）得阴影三角形两边比：（或逆序）．原三角形两边比：；若按对应阴影边、对应阴影边，比例为，满足两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似，所以，阴影三角形与相似． 2．D 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，无法得到，故本选项符合题意； 3．B 【分析】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大． 确定“帥”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可． 【详解】解：“帥”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为；  “車”“炮”之间的距离为1，“炮”和②之间的距离为，“車”和②之间的距离为，  ∵ ∴“馬”应该落在②的位置， 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：A、不是的边，不能判定，该选项不符合题意； B、由，，判定，该选项符合题意； C、两个三角形的两边对应成比例，但夹角和不一定相等，不能判定，该选项不符合题意； D、比例式中没有的边，不能判定，该选项不符合题意． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定．通过构造辅助线，利用等腰直角三角形的性质求出一个角的度数，再通过计算三角形三边的长度，根据三边对应成比例证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应角相等的性质求出目标角的度数． 【详解】 解： 取格点P，连接、，则． ∴． 设正方形网格中的每个小正方形的边长都是m，则． 由勾股定理得：，，． ∴，，． ∴． ∴． ∴． 故选B 6．A 【分析】本题考查等腰三角形相似的判定条件，涉及两个命题：①两腰及一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形是否相似；②底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形是否相似．需结合等腰三角形的几何特性，使用相似三角形的判定方法（如SAS、AA、SSS等），并可能构造具体例子或代数推导来验证命题的真假． 【详解】解：猜想① 设等腰中，，腰上的高为； 等腰中，， 腰上的高为，且 则与可能相等或互补， 若，， 两三角形顶角互补，底角分别为和，形状不同，不相似； ∴猜想① 错误 分析猜想② 设等腰中，底边，底边高； 等腰中，底边，底边高，且 ∵等腰三角形底边高平分底边， ∴，， 则 又∵， ∴ （两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似） ∴ ，等腰中，等腰中， 故， ∴ （两角对应相等，两三角形相似） ∴ 猜想② 正确 综上，① 错误② 正确， 故选A 7．（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，关键是熟练应用知识点解题；根据两角对应相等的两个三角形相似即可得出结论． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， 同理：，， 故答案为：． 8．（答案不唯一） 【分析】可添加或，根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定其相似；或添加，利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】解： ， 当或或时，． 9．54或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 已知，只需要夹边成比例即可得到与相似，再分类讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴与相似时，或 ∴或 ∴或， 故答案为：54或． 10．（或） 【分析】本题考查了相似三角形的判定．等腰三角形的性质，由于两个三角板全等且为等腰直角三角形，图中存在多个角和角，通过角度关系可判断，． 【详解】解：和是两个全等的等腰直角三角板， ， ， ， 同理可得， 故答案为：（或） 11．画图见解析 【分析】由于，只需要作，即可得到． 【详解】解：如图所示，点E即为所求． 12．(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰三角形的定义． （1）根据得到，即，证明，即可证明； （2）根据和是等腰直角三角形可知，，进而得到，，即，根据，即可证明． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴． 在和中，，， 13．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的应用．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合即可证明； （2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴． 14．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理： （1）通过两组对角相等证明三角形相似； （2）由勾股定理计算出，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ， ∴， 即， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $