9.5 相似三角形判定定理的证明-【练测考】2025-2026学年八年级下册数学（鲁教版五四制）

*5相似三角形 (教材P106 ~基础夯实 1.如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D, 则添加下列条件后无法判定△ABC∽ △DEF的是 R A.∠B=∠E B.∠C=∠F 提品 BA BC D. EDEF 2.如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E 在AC边上，且∠1=∠2=∠3，则与△ADE 相似的三角形的个数为 D 2 A.4 B.3 C.2 D.1 3.如图，一副三角板，AD=AB,顶点A重合，将 △ADE绕其顶点A旋转，在旋转过程中，以下 4个位置，不一定存在相似三角形的是( D 0 4.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥ BC.在图中的三角形中，两两相似的三角形 对数为 ( A.2 B.3 C.4 D.5 第4题图 第5题图 无痛不快，无苦何甜，活着，本就是一种修行！ 第九章图形的相似 判定定理的证明 P109内容) 5.如图，如果∠BAD=∠CAE,那么添加条件 ,能确定△ABC和 △ADE相似. 6.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在AB,BC, AC边上，DE∥AC,EF∥AB. (1)求证：△BDE∽△EFC; (2)若FC=3AF,BC=12,求线段BE的长. 能力提升 7.如图，在下列四个条件：①∠B=∠C, ②∠ADB=∠AEC,③AD:AC=AE:AB, ④PE:PD=PB：PC中，随机抽取一个能使 △BPE∽△CPD的概率是 ( A.0.25 B.0.5 C.0.75 D.1 107 练测考八年级数学下册LJ 8.如图，M是□ABCD的对角线BD上一点， AM的延长线交BC于点E,交DC的延长 线于点F,图中相似三角形有 A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 A M C 第8题图 第9题图 9.如图，若A,B,C,P,Q,甲、乙、丙、丁都是方 格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC,则点 R应是甲、乙、丙、丁四点中的 () A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 10.[分类讨论]如图，正方形ABCD的边长为 2,BE=CE,MN=1,线段MN的两端在 边CD,AD上滑动，当DM为多长时， △ABE与以点D,M,N为顶点的三角形 相似？请说明理由. 108时间是由分秒积成的，善于利用零星时间的人 素养培优 11.(淄博中考)如图，AB,CD相交于点E,且 AC∥EF∥DB,点C,F,B在同一条直线 上.已知AC=p,EF=r,DB=q,则p,q,r 之间满足的数量关系式是 () D B A.1+1=1 1112 B. rq卫 prq c.1+1=1 D.1+1=2 1 ”qrp 12.(上海中考)如图，在等腰三角形ABC中，AB= AC,点E,F在线段BC上，点Q在线段AB 上，且CF=BE,AE2=AQ·AB. 求证：(1)∠CAE=∠BAF; (2)CF·FQ=AF·BQ. 才会做出更大的成绩。第3课时利用三边关系判定两三角形相似 1.D2.A 3.A解析：图①的三边为2，√10，√2； 图②的三边为3，√5，√2； 图③的三边为2,2√2,2√5； 图④的三边为3,17，√2. 2-2102 22225=21 ∴.①与③相似.故选A. 4.△DEB 5.解：相似.D,E,F分别是CA,AB,BC的中点， ∴.DE,DF,EF是△ABC的中位线， .DE DF EF 1 ·BC=ABAC2' ∴.△ABC∽△FDE. 6.解：△A'B'C'∽△ABC. 证明8欲=8∠Aox-∠A0c .∴.△A'OC∽△AOC. 4C04 ‘AC-0A=3, 同理BC -4g-8 S-C-C△A 7.A解析：在第一个直角三角形中，若m是直角边，则m= √/42-32=√7； 若m是斜边，则m=√4十32=5. 在第二个直角三角形中，若n是直角边，则n=√82一6= /28=2W7; 若n是斜边，则n=√82+62=10. 又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10,m=√7 和n=2√7不能同时取， ..当m=5,n=2√7时，m+n=5+27; 当m=√7，n=10时，m十n=10+/7. 故选A 8.B9.A 10.B解析：设截成的两边的长分别为xcm,ycm, 若从60cm长的木条上截取， :'x+y≤60<120， .不符合题意. 若从120cm长的木条上截取， ①当60cm与75cm是对应边时， 两三角形相似， ÷9。高 y 解得x=80,y=96. .80+96=176>120, ∴此种情况不符合题意； ②当60cm与100cm是对应边时， :两三角形相似， 品芳成 解得x=45,y=72. ,60<45+72=117<120, .从120cm长的木条上截取45cm和72cm两根木条； ③当60cm与120cm是对应边时， 两三角形相似， “20污10 60 xy 解得x=37.5,y=50. .60<37.5+50=87.5<120, ,.从120cm长的木条上截取37.5cm和50cm两根 木条. 综上所述，若两三角形相似，共有两种裁法：①从120cm 长的木条上截取45cm和72cm两根木条；②从120cm 长的木条上裁取37.5cm和50cm两根木条 故选B. 11.20° 2.解：相似.理由：AB/DE,∴△0DE∽△OAB,E= g.BCEF,.△OEF∽△OBC,∴g=OE-OE BC OB OC' ac/D△o0Fn△aC.g-8瓷% 贯-△DEF△ABC 13.解：(1)由题意，得AC=√2，BC=2,AB=√/10，DE= 22 若△PDE∽△ABC,则DE:BC=PE:AC=PD:AB, .PE:√2=PD:√10=22：2，.PE=2,PD=25 如图1，点P即为所求.（答案不唯一） D 图1 图2 (2)由题意，得MN=4.若△QMN的面积最大，则MN与 AC对应. 由网格中MN的位置，可知△QMN∽△BCA,即MN: AC=QM:BC=QN:AB=2√2：1. .'BC=2,AB=√/10，.QM=42,QN=4W5 如图2，点Q即为所求. *5相似三角形判定定理的证明 1.D2.C3.A4.B 5B=∠D或∠AD=∠C支品被 6.(1)证明：，DE∥AC,∴.∠BED=∠C. 又：EF∥AB,∴∠B=∠FEC, ,∴.△BDE△EFC 2解/AB,E等号 BE 1 :BC=1212-BE 3·BE=3. 7.C8.A9.C 10解当DM-有或时△ABE与以点D.aM.N为顶点 的三角形相似. 理由：，正方形ABCD的边长是2，BE=CE, .∠B=∠D=90°，BE=1, .AE=√AB+BE=√5， ,△ABE与以点D,M,N为顶点的三角形相似，∠B= ∠D=90°， 存在以下两种情况： ①△ABE∽△NDM, ∴.DM:BE=MN:AE DM:1=1:5DM=5 ②△ABEP△MDN, .∴.DM:BA=MN:AE DM:2=1:5DM=25 综上所述，DM=5或25 5或 时符合要求。 11.C 12.证明：(1)，AB=AC,∠B=∠C .CF=BE,..CF-EF=BE-EF,CE=BF. AC=AB. 在△ACE和△ABF中，{∠C=∠B CE=BF, ∴.△ACE≌△ABF(SAS),.∠CAE=∠BAF. (2).'△ACE≌△ABF, .AE=AF,∠CAE=∠BAF」 ·AE=AQ·AB,AC=AB,A5=AC AQ AF .△ACE∽△AFQ,∴.∠AEC=∠AQF,∴∠AEF=∠BQF :AE=AF,∠AEF=∠AFE, ∴.∠BQF=∠AFE :∠B=∠C,∴△CAPO△BFQS, 即CF·FQ=AF·BQ 微专题九相似三角形的基本模型 1.A 2.解：(1)∠BAE与∠DAC互补 理由如下： 由旋转的性质，知∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°+(90°-∠DAC)= 180°-∠DAC. 即∠BAE+∠DAC=180°. 因此∠BAE与∠DAC互补. (2)△ABD与△ACE相似. 理由如下： 由旋转的性质，知AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE, ·∠ADB=∠B=2180°-∠BAD),∠ACE=∠AEC= 2(180°-∠CAE). ∴.∠ADB=∠ACE=∠B=∠AEC. .△ABD∽△ACE. (3)线段BC与CE互相垂直. 理由如下： 由(2)，知∠ACE=∠B. .∠B+∠ACB=90°，∴∠ACB+∠ACE=90°， 即线段BC与CE互相垂直， 3.B4.A 5.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ,∴.OA=COC,ADBC, ∴.∠FAO=∠NCO. 在△AFO和△CNO中， I∠FAO=∠NCO, OA=OC, ∠AOF=∠CON, ∴.△AFO≌△CNO(ASA), ∴.FO=NO EF=OF,∴.EF=OF=ON, EF-EN. (2)解：AFBC, ∴.△EAF∽△EBN, .AF EF 1 BNEN3' ,四边形ABCD是平行四边形， B0=0D=BD=35, .NO⊥BO,∠CBD=30°， ∴.可设ON=x,BN=2x,则OB=√BN2-ON2=3x, 即√3x=3√3，.x=3. BN=65号AF=2 6.解：：∠1=∠2，∠APC=∠DPB, ∴.△APCC△BPD, 部器 品品 2 :BD=2 3 7.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形 ,∴.ABCD,,.∠ABO=∠CEO,∠BAO=∠ECO, .∴.△AOB∽△COE. (2):△C0En△A0B,OB-OA: OE OC ADBC,∴.△COB∽△AOF.