9.7 利用相似三角形测高-【练测考】2025-2026学年八年级下册数学（鲁教版五四制）

练测考八年级数学下册LJ 7 利用相似三角形测高 (教材P113-P116内容) ~基础夯实 98 m,AB=3 m,CD=1.6 m,CA=2 m, 知识点一利用阳光下的影子测量物体的高度 亮从点D远跳楼顶N,视线恰好经过直杆的 1.宁宁和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m,他在 顶端B,请帮小亮求出楼房的高 地面上的影长为2.1m.若宁宁比爸爸矮 0.3m,则她的影长为 () A.1.3mB.1.65mC.1.75mD.1.8m 2.（2024·临沂模拟)如图， 汝A时 B时汝 在同一天测量某棵树在 太阳光照射下的影长，A 时测其影长为8米，B时 测其影长为18米，若两次日照的光线互相垂 直，则树的高度为 米 知识点二利用标杆测量物体的高度 3.[古代数学](2024·菏泽期未)《孙子算经》 是中国古代重要的数学著作，成书于约一千 五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其 长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五 寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一 根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影 子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆 (如图所示)，它的影长五寸（提示：1丈=10尺， 1尺=10寸)，则竹竿的长为 知识点三利用镜子的反射测量物体的高度 6.如图是一位同学用激 光笔测量某古城墙高 竹竿 标 度的示意图.在点P 处放一水平的平面 B 第3题图 第4题图 镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到 4.如图，路灯A与地面的距离AB=8m,身高 古城墙CD的顶端C处，若AB⊥BD,CD⊥ 1.6m的小明与路灯底部的距离BD= BD,测得AB=1.5m,BP=2m,PD=6m, 20m,则小明影子长DE= m. 则该古城墙的高度CD是 m. 5.(2024·潍坊潍城区期末)小亮运用《数书九 7.为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了 章》中测量塔高的方法测量一幢楼房的高 物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携 度.如图，MN表示楼房的高，AB表示一根 带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面 直杆顶端B到地面的高，CD表示小亮的眼 上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜 睛到地面的高，MN,AB,CD在同一平面 子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位 内，点C,A,M在同一条直线上.已知AM= 18懒情像生锈一样，比操劳更能消耗身体；经常用的钥匙，总是亮闪闪的。 第九章图形的相似 置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到 的距离是40cm,镜面中心C距离旗杆底部 树的顶端A.再用皮尺分别测量BF,DF, D的距离为5m,如图，已知小丽同学的身高 EF,观测者目高(CD)的长.利用测得的数 是1.66m,眼睛位置A距离小丽头顶的距 据可以求出这棵树的高度.已知CD⊥BD 离是6cm,求旗杆DE的高度. 于点D,EF⊥BD于点F.AB⊥BD于点B, BF=6米，DF=2米，EF=0.55米，CD= 1.65米，求这棵树的高度(AB的长). D 能力提升 8.如图，某仓库阳光从窗户射入照到地面上， 11.如图，一条河的两岸BC与DE互相平行， 垂直地面的窗户边框AB在地面上的影长 两岸各有一排景观灯（图中黑点代表景观 DE=3m,窗户下檐到地面的距离BC= 灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是10m, 5m,EC=4m,那么窗户的高AB为() 在与河岸DE的距离为16m的A处 A.2.75m B.3.25m (AD⊥DE)看对岸BC,看到对岸BC上的两 C.3.5m D.3.75m 个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观 A 灯的灯杆遮住.河岸DE上的两个景观灯之间 D 有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观 灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度， B U C E D 第8题图 第9题图 E 9.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 AB绕固定点O旋转到位置DC,已知栏杆AB 的长为3.5m,OA的长为3m,C点到AB的距 离为0.3m,支柱OE的高为0.6m,则栏杆D 端离地面的距离为 m. 10.(2024·泰安宁阳县期末)某数学兴趣小组 测量校园内一棵树的高度.采用以下方法： 如图，把支架(EF)放在离树(AB)适当距 离的水平地面上的点F处，再把镜子水平 放在支架(EF)上的点E处，然后沿着直线 累累的创伤，就是生命给你最好的东西，因为在每个创伤上面都标志着前进的一步。 119 练测考八年级数学下册LJ 12.[教材P114方法3变式]数学实践小组想 ~素养培优 利用镜子测量池塘边一棵树的高度AB.测 13.张红武和学习小组的同学们想利用刚学过 量的部分步骤如下：①如图，树与地面垂 的测量知识来测量学校内一棵树的高度， 直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明 经讨论之后大家决定用以下方法进行测 站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好 量：首先准备一矩形的笔记本和一根笔直 看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距 的长约30cm的木条.测量时，如图，由一 离CD=2米，小明的眼睛E到地面的距离 位同学把笔记本拿在手里（笔记本封面所 ED=1.5米；②将镜子从点C沿BC的延 在平面在竖直平面内)，另一位同学沿笔记 长线向后移动10米到点F处，小明向后移 本DA边观察树的顶端，调整角度之后使 动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜 树的顶端M与DA边在一条直线上.这时 子中看到树的顶点A,这时测得小明到镜子 让木条的一端与点A重合.用手捏住这一 的距离FH=3米.请计算树的高度AB. 端，并使木条自然下垂，这时木条与BC边 交于点E.经测量点A到地面的距离为 1.2m,笔记本的长AD=20cm,宽AB= 14cm,BE=8cm.一位同学从点A的正下 D下 方走向树的底部共走了21步，若该同学每 一步的长为40cm,请求出这棵树(MN) 的高度 120没有不可能完成的事，只有可能完成的事。∴.x2=20(20-x), 整理得x2十20x-400=0, 解得x1=10W5-10≈12，x2=-10-105(不合题意，舍去). 综上所述，主持人从A点向B点走8m或12m时，他的站 台最得体 10.解：(1)BD=DC=AC, .∠B=∠DCB,∠CDA=∠A 设∠B=x,则∠DCB=x,.∠CDA=∠A=2x. 又∠ACE=108°， ∴.∠B+∠A=108°， ,∴.x+2x=108°，解得x=36°， .∠B=36°. (2)①图中的黄金三角形有三个：△BDC,△AIDC,△BAC. 选△BDC,理由如下： .DB=DC,∠B=36 △DBC是黄金三角形.（选其他三角形，理由合理即可） ②“.△BAC是黄金三角形，∠B=36, AC=5—1AB=BC BC .BC=2,.AC=5-1, .'.BA=BC=2,BD=AC=5-1. AD=BA-BD=2-(W5-1)=3-5. ③存在，有三个符合条件的点P1, P2,P3. .以CD为底边的黄金三角形：作 CD的垂直平分线分别交直线AB,B☑ P/P C E BC得到点P1,P· .以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径 作弧与BC的交点为点P3· 滚动练习六(46节) 1LA解析：A若记-S结合∠B=∠ACD可别定 △ACDO△ABC,但题中条件无法得到∠ACD=∠B,故 不能判定△ACD与△ABC相似； B若∠ADC=∠ACB,结合∠A=∠A,可得△ACDc∽△ABC； C.若∠ACD=∠B,结合∠A=∠A,可得△ACDn△ABC; D若AC=AD,AB,中S-把结合∠A=乙A,可行 △ACDC∽△ABC.故选A 2.C3.A4.D 5.B解析：如图 ,·四边形ABCD为平行四边形， ∴.CD∥AB,ADBC, .△DGM∽△AGB,△DGMP△CBM. EF//CD, .∴.△DGM∽△EGN,△CBM∽△FBN ,∴.△DGM∽△AGB∽△FBN∽△CBMK∽△EGN. 即与△ABG相似的三角形有4个.故选B. 6C7.D8(95-9)9.2 12.(1)证明：：∠ABC=∠ACD,∠A=∠A, .△ABC△ACD. (e解：△AC△ACDS0. ∴.AC2=AB·AD=2×6=12,..AC=23 13.(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， ,'.ADBC,.∠DBC=∠BDA. ,∠BDA=∠BAE,∴.∠DBC=∠BAE. ∠BEF=∠BEA,.△EBF△EAB, 贯需BE=F·AE (2)解：，BE2=EF·AE,且BE=4,EF=2, ..AE=BE2 42 EF=2=8.AF=AE-EF=8-2=6. :BE/AD小邵器即g-名解得F-2 △EBO△EAB2器即品-是 .AB=4. 14.(1)证明：CE⊥AB, .∠CEB=90°=∠A, ∴∠1十∠3=90°，∠2+∠ABC=90°. :∠1=∠ABC,∴.∠2=∠3. (2)解：①BC=BD.证明如下： 设∠2=∠3=x, ∠BFE=90°-x=∠DFC. :∠4=45°，∠CDB=180°-45°-(90°-x)=45°+x. :∠BCD=∠4+∠2=45°+x, ∴.∠BCD=∠BDC,.BC=BD ②BC=BD=13,AD=5, ∴.AB=√BD2-AD2=J169-25=12. :BC=BD,∠A=∠CEB,∠2=∠3， ∴.△ADB2△EBC(AAS),.BE=AD=5. :∠A=∠CEB,∠3=∠3， ∴.△EFB∽△ADB, .EF_BE EF 5 AD-AB·5 2EF=25 2 7利用相似三角形测高 1.C 2.12解析：如图，CD⊥CE,CF⊥DE, 汝A时 则∠DCF+∠ECF=90°，∠ECF+ B时妆、C ∠E=90°，∴∠DCF=∠E. ∠CFD=∠CFE=90°， '.△CDF△ECF, 器器 即CF2=EF·DF=18X8=144, .CF=12(米). 3四丈五尺解析：设竹竿的长度为x尺 ,竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺， 标杆的影长五寸=0.5尺， 由相似原理可物言一是解得=5 即竹竿的长为四丈五尺， 4.5 5.解：如图，过点D作DF⊥MN于点F,交AB于点E, AE=MF =CD=1.6 m,DE=AC=2 m,EF=AM= 98m, .'BE=AB-AE=1.4 m,DF=DEEF=100 m. 由题意，得BEFN,∴.△DBEC△DNF, BE DE FN DF 装品N=0m .∴.MN=FN+FM=70+1.6=71.6(m). 则楼房的高为71.6m. 6.4.5 7.解：由题意，得AB=166一6=160(cm),BC=40cm,CD= 5m=500cm,∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD, △ABCn△Bc提%即22 解得DE=2000,2000cm=20m, 故旗杆DE的高度为20m. 8.D解析：方法一：由题意，得BE∥AD, .∠A=∠CBE,∠D=∠CEB, .△CBEc∽△CAD, CB CE CA CD' 5 4 小5+AB4+3 解得AB=3.75, ∴.窗户的高AB为3.75m.故选D. 方法二：由题意，得BE∥AD, 需器即青 得AB=3.75. ∴.窗户的高AB为3.75m.故选D. 9.2.4解析：如图，过D作DG⊥AB D 于G,过C作CH⊥AB于H,则 DG//CH. ∴.△ODG∽△OCH, DG OD …cHOC 由题意，得CD=AB=3.5m,OD=OA=3m,CH=0.3m, .∴.OC=CD-OD=0.5m, 9品 .DG=1.8. OE=0.6m, ∴.栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6=2.4(m). 10.解：过点E作水平线交AB于点 G,交CD于点H,如图. DB是水平线，CD⊥BD,EF BD,AB⊥BD. .四边形HDFE,EFBG都是矩形， ∴.DH=EF=GB=0.55米，EH=DF=2米，FG=FB=6米， .CH=CD-DH=1.65-0.55=1.1(米)， 又根据题意，得∠CHE=∠AGE=90°，∠CEH=∠AEG, .△CHE∽△AGE, 器即号品 6 AG 解得AG=3.3, .∴.AB=AG+GB=3.3+0.55=3.85(米). 答：这棵树的高度为3.85米. 11.解：由题意，得AD⊥DE,DE∥BC,DE=20m,BC= 50m,AD=16m .AB⊥BC,△ADE∽△ABC, 瓷品器品AB=0m .BD=AB-AD=40-16=24(m), 答：这条河的宽度为24m. 12.解：设AB=x米，BC=y米. 由题意，得∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD, .△ABC∽△EDC, 部流 由题意，得∠ABF=∠GHF=90°，∠AFB=∠GFH, ∴.△ABF∽△GHF, .ABBE xy+10 GmHF心，5 3 .义=y+10 2 3 解得y=20 把y=20代人6-号中.得=16 .树的高度AB为15米。 13.解：如图，根据题意，可知NP= 21×0.4=8.4m,AB=0.14m, BE=0.08m,AP=1.2m 由题意，得BFMQ, .△EPF∽△APQ. ,∠B=∠APF,∠AEB=∠PEF, .∴.△EPF△EBA, ∴.△APQp△EBA, 能品品品 PQ 解得PQ=2.1. aP/aN△ArOn△MQ识-8 品284解得MN=6 2.1 答：这棵树(MN)的高度为6m 8相似三角形的性质 第1课时相似三角形对应线段的性质 1.B2.1:23.6 4 解析：，△ABC△A'B'C',AD,A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'对应边上的中线，BE,B'E分别是△ABC和 △A'BC对应边上的高， 器即品 AD2.2 又.AD-A'D'=0.5cm,