9.7利用相似三角形测高同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制）数学八年级下册

9.7 利用相似三角形测高 同步训练 一、单选题 1．有一棵不知道高度的笔直大树矗立在平地上，量得它在太阳下的影子长为4米，同时在这块平地上竖直立一根长米的标杆，测量得它在太阳下的影子长为米，这棵大树的高度为（    ） A．25米 B．20米 C．15米 D．10米 2．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，则建筑物的高是（    ） A． B． C． D． 3．我们知道国旗有通用尺寸，在如图所示的四种尺寸中，只有一种不符合标准，这个尺寸是（　　） A． B． C． D． 4．如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（米，、、三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明身高米，则凉亭的高度约为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图，小亮在做小孔成像实验时，测得物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 6．为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．此时，测得，，，则两岸间的距离为（   ） A． B． C． D． 7．如图是小明设计利用光线来测量某古城墙高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离米，镜子P与小明的距离米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明的眼睛距地面的高度米，解决本题应用了什么光学知识，该古城墙的高度是（   ） A．光的反射，米 B．光的折射，米 C．光沿直线传播，米 D．光的反射，米 二、填空题 8．《孙子算经》是中国古代的数学著作，其中记载了利用影长测量物体高度的方法，若操场上的旗杆在太阳下的影长为米，同时身高米的小亮的影长为米，则旗杆的高度为_______米. 9．如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高 ________m． 10．如图是小明利用光线来测古城墙高度的示意图，如果镜子与古城墙的距离米，镜子与小明的距离米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点，小明眼睛距地面的高度米，那么该古城墙的高度是______． 11．小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度．如图，将标杆底端和旗杆影子顶端重合，已知标杆，测得标杆的影长，旗杆的影长，则旗杆的高_____m． 12．（洞孔成像）如图，，物像所在正方体的面与平面垂直，根据图中尺寸，已知物像的长为4，那么物长为_______． 三、解答题 13．古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的意思是：如图，尺，尺，问井深是多少？请解答上述问题． 14．文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，又因位于旧彰德府文庙东北方，作为代表当地“文风”的象征，故又称文峰塔．如图，王林欲测量文峰塔的高度，他站在距离塔底A点处的D点．测得自己的影长为，此时该塔的影子为，他测得点D与点C的距离为，已知王林的身高为，求文峰塔的高．（图中各点都在同一平面内．点A，C，D，E在同一直线上） 15．某天小明和小亮去某景区游玩，当小明给站在高墙上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图，三点共线）．已知小明的眼睛离地面1.6米（米），凉亭顶端离地面1.9米（米），小明到凉亭的距离为2米，凉亭离高墙底部的距离为38米，小亮身高为1.7米． (1)动手操作：过点A作于点G，交于H，证明； (2)解决问题：请根据以上数据求出高墙的高度． 16．一多层等腰三角形货架的截面图如图所示，，，每相邻两层之间的高度为，且每层货架中间部分被设计出截面为正方形的小长方体隔间． (1)求第一层货架与第二层之间的隔板的长度； (2)若第层仍能设计出长方体隔间，则的最大值为______． 17．某校初三学生开展主题为“测量校园凉亭高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内凉亭的高度（凉亭顶端M与底部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺． 实践活动 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向凉亭顶端M，调整人到凉亭的距离，使得点M与点C，A恰好在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如示意图所示． 示意图 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离，． 解决问题 利用得到的数据求出凉亭的高度． 学科网（北京）股份有限公司 《9.7 利用相似三角形测高 同步训练 2025-2026学年鲁教版数学八年级下册》参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，根据同一时刻，物长与其影长的比值相同建立方程求解即可． 【详解】解：设这棵大数的高度为米， 由题意得，， 解得， ∴这棵大树的高度为20米， 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意得，再利用解答即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．B 【分析】本题考查了相似形的应用，熟练掌握相似形的判定定理是解题的关键．根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，即可得到结论． 【详解】解∶，，， ， ∴， ∴B选项不符合标准， 故选∶B． 4．B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知，，则，根据性质的，然后代入即可求解，掌握相似三角形的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意知：，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 故选：． 5．B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，利用相似三角形的性质解题．设蜡烛火焰的高度是，根据相似三角形的对应高之比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得到， 解得， 即蜡烛火焰的高度是． 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据垂直定义可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 7．A 【分析】本题主要考查了相似三角形的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据题意得到，由光的反射定律可知，则可证明，得到，据此代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由光的反射定律可知， ∴， ∴，即，∴米， 故选：A． 8． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据成比例关系可知，人身高比上人的影长等于旗杆长比上旗杆影子长，代入数据即可求． 【详解】解：设旗杆的高度为米 根据题意： 解得： 经检验，是分式方程解且符合题意， 故答案为：． 9．5.1 【详解】本题主要考查了相似三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 在同一时刻物高和影长对应成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 解：设树高是x米，则， 解得：， ∴树高为， 故答案为：5.1． 10．米 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出的长．正确得出相似三角形是解题关键． 【详解】解：由题意可得： ，，，，， ∴， ∴，即， ∴， 解得：． ∴该古城墙的高度是米． 故答案为：米． 11．12 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解题意是关键．先证明，即可根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 解得（m）． 故答案为：12． 12．12 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键． 过点O作于点C，延长交于点，再证，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：过点O作于点C，延长交于点，如图， ， 依题意得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 故答案为：12． 13．尺 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．设井深是尺，则尺，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：设井深是尺， ∵尺， ∴尺， 由题意可知，， ∴， ∴， ∵尺，尺， ∴， 解得， 答：井深是尺． 14． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，根据已知易得：，再根据题意可得：，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 由题意得：， ， 由题意得：， ， ， ， ， 解得：， ∴文峰塔的高度为． 15．(1)见解析 (2)米 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质知识点，解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质求解． （1）根据题意构造直角三角形，过点A作于点G，交于点H，由可得出， （2）利用相似三角形的判定与性质求出的长，进而求出高墙的高度． 【详解】（1）过点A作于点G，交于点H， 则四边形和四边形都是矩形， ， ∴， （2）由（1）知四边形和四边形都是矩形， ，，, 小明到凉亭的距离为2米，凉亭顶端离地面1.9米（米），凉亭离高墙底部的距离为38米． 则，，， 则， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， 答：城楼的高度为米． 16．(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过相似三角形的性质求相应未知量是解题的关键． （1）过点作于点，则，根据等腰三角形的性质得，进而根据勾股定理求出，，根据相似三角形的性质求出即可； （2）由（1）知，每相邻两层之间的高度为，可得的最大值为5． 【详解】（1）解：过点作于点，则， ，， ， 在中，根据勾股定理得， ， 每相邻两层之间的高度为， ， ， ， ， 即， 解得， 即第一层货架与第二层之间的隔板的长度为； （2）解：设第层时，隔板的长度为，则， 解得， 第层仍能设计出长方形隔间， ， 即， 解得， 为整数， 最大值为， 故答案为：． 17．凉亭的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．先证明，求出，再证明四边形是矩形，得到，即可求得答案． 【详解】解：由题意知，，， ， ， ， ， 解得， ，，， 四边形是矩形， ， ， 凉亭的高度为． 学科网（北京）股份有限公司 $