9.4 第1课时利用角的关系判定两三角形相似-【练测考】2025-2026学年八年级下册数学（鲁教版五四制）

第九章图形的相似 4探索三角形相似的条件 第1课时 利用角的关系判定两三角形相似 (教材P98一P100内容) 基础夯实 6.(菏泽中考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC= 知识点一相似三角形的相关概念及性质 90°，E是边AC上一点，且BE=BC,过点A 1.已知△ABC∽△A'BC',∠A=45°，∠B= 作BE的垂线，交BE的延长线于点D,求 105°，则∠C的度数是 ( 证：△ADEc∽△ABC. A.30 B.45° D C.30°或45° D.75 2.(兰州中考)已知△ABC△DEF, AB 1 DE2 若BC=2,则EF= ( ) A.4 B.6 C.8 D.16 3.如图，已知△ABC∽△ADE,AD=5cm, DB=3 cm,BC=8.8 cm;DE= cm. B 知识点二利用角的关系判定两三角形相似 4.[双垂型]如图，在△ABC中，高BD,CE相 交于点F.图中与△AEC一定相似的三角形 易错点悟 不理解相似三角形的对应关系而 有 出错 7.如图，△AOB∽△COD,下列各式中正确的 有 ( CD-COOAB ①AB BO AO D DO A.1个 B.2个 ③A0B0 AO BO ODc0④C0D0 C.3个 D.4个 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.[8字型]如图，AB∥CD,点E在AB上，点 F在CD上，AC,BD,EF相交于点O,则图 能力提升 中相似三角形共有 8.将两个完全相同的等腰直角△ABC与 △AFG按如图所示的方式放置，那么图中 一定相似（不含全等）的三角形是 ( A.△AEC与△ADB B.△ABE与△DAE C.△ABC与△ADE A.1对 B.2对C.3对 D.4对 D.△AEC与△ADC 认真的人改变了自己，执着的人改变了命运。有些事情，不是看到了希望才去坚持，而是坚持了才有 101 希望。该奋斗的年龄，不要选择了安逸。 练测考八年级数学下册LJ 9.[教材P99例1变式]如图，在平面直角坐标12.(2024·聊城东昌府区期末)已知△ABC是 系中，C为△AOB的OA边上一点，AC: 等腰三角形，过△ABC底边BC的中点D OC=1:2,过点C作CD∥OB交AB于点 作DE⊥AC,垂足为E,并延长ED到F,使 D,CD=2,则点B的纵坐标为 得DE=DF,连接BF. A.4 B.5 C.6 D.7 求证：△AED∽△DFB. 4 B 第9题图 第10题图 10.(北京中考)如图，在矩形ABCD中，若 AB-8AC-58-则AE的长为 11.如图，在△ABC中，∠BAC是直角，过斜边 中点M且垂直于斜边BC的直线交CA的 延长线于点E,交AB于点D,连接AM. 素养培优 求证：(1)△ABC∽△MEC; (2)AM2=MD·ME. 13.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 36°，BD是△ABC的角平分线 (1)找出图中的相似三角形，并证明； BC (2)求出AB的值. 102努力过后，才知道许多事情，坚持坚持就过来了。,DF⊥BC,CE⊥BC,.DFCE, BD BF 63 DE-CF-42 即BD:DE=3:2.故选A 8.189.4 10解2- 5 ∴.5(2x+y)=3(x+3y), 整理，得x= 7y+2y 、18 2x-3 13* 1解由经--得y= .5 2. 把y= 5 2x=2x代入3x+2y-之=14， 得8x+3一吾=16，郁得1 12.解：(1)，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D', .∠D=∠D'=140°， .∠C=360°-∠A-∠B-∠D=360°-62°-75°- 140°=83 答案：83 (2)四边形ABCD∽四边形AB'C'D, 常器品 ABC-12. 13.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .ADBC,AB=CD,.∠FAE=∠AEB. EF∥AB,.四边形ABEF是平行四边形 ,AE平分∠BAD,∠FAE=∠BAE, ∴∠BAE=∠AEB,∴AB=EB, ∴.四边形ABEF是菱形，∴BF平分∠ABC (2)解：四边形ABEF为菱形，∴.BE=AB=6. ,四边形ABCD∽四边形CEFD,CD=AB=6, 0%即。 6 BC 解得BC=3士3√5（负值舍去）， ∴.BC=3+3W5. 14.(1)证明：，菱形AEFG∽菱形ABCD, ∴.∠EAG=∠BAD,AE=AG,AB=AD, .∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB, ,.∠EAB=∠GAD..'AE=AG,AB=AD .△AEB≌△AGD,∴.EB=GD. (2)解：如图，连接BD交AC于点P,则BP⊥AC. D ,在菱形ABCD中，∠DAB=60°，.∠PAB=30, .BP-7AB-1. 3 ∴AP=√AB2-BP=√3， ,菱形AEFG∽菱形ABCD,相似比是3：2，AB=2, ∴.AE=√3，.EP=AE十AP=23, ∴，EB=√EP2+BP=√I2+1=13, ∴.GD=13」 4探索三角形相似的条件 第1课时利用角的关系判定两三角形相似 1.A2.A3.5.54.C5.C 6.证明：BE=BC,∴∠C=∠CEB. ,∠CEB=∠AED,∴∠C=∠AED. ,AD⊥BE,∴.∠D=∠ABC=90°，∴.△ADEn△ABC. 7.A8.B 9.C解析：CD∥OB,.∠ADC=∠ABO,∠ACD= AOB,△ACD∽△A0B.AS-GB,:AC:OC 1:2S子CD=2品-号解得0B=6 ∴.点B的纵坐标为6. 10.1 11.证明：(1)，∠BAC是直角，ME⊥BC, ∴.∠BAC=∠EMC=90°. ,∠C=∠C,∴.△ABC△MEC. (2).∠BAC=∠EMC=90°， .∠C+∠E=∠C+∠B,.∠E=∠B. :点M为Rt△ABC斜边的中点，MA=MB, .∴.∠MAD=∠B,..∠MAD=∠E. 又，'∠AMD=∠EMA,∴.△MAD∽△MEA, MD ME. 12.证明：，△AB℃是等腰三角形，点D是△ABC底边BC的中点， ∴.BD=CD,∠ADC=90° DB=DC, 在△DFB和△DEC中，（∠BDF=∠CDE, DF-DE, .△DFB≌△DEC(SAS), ∴.∠BFD=∠CED. .DE⊥AC,.∴.∠CED=∠AED=90°， .∠BFD=∠CED=90°， ∠BFD=∠DEA=90°. :∠ADC=∠ADE+∠CDE=90°， ∠ADE+∠EAD=90°， ∴.∠EAD=∠CDE. ,∠BDF=∠CDE,∴∠EAD=∠FDB, ∴.△AEDc∽△DFB. 13.解：(1)△BDC△ABC. 证明：，AB=AC,∠BAC=36°， ∴∠ABC=∠C=2180°-36)=72 ,BD是△ABC的角平分线， ∠DBC=∠DBA-2∠ABc=2X72=3G, ∴.∠DBC=∠BAC. 9 :∠C=∠C,.△BDC∽△ABC. (2)∠DBA=∠BAC=36°，∴.AD=BD. ,∠BDC=∠DBA+∠A=36°+36=72°， ∴.∠BDC=∠C,∴.BD=BC,∴AD=BC. 设AD=BC=x,AC=AB=a, DC BC :△BDC∽△ABC,·BC=AC .BC2=AC·(AC-AD), ∴.x2=a(a-x), 解得x,=51 -√5-1 2a,x2= 2a(不符合题意，舍去). W5-1 BC-5,1a.BC-2a_5-1 2a…AB a 2 第2课时利用边角关系判定两三角形相似 1.B2.A 3.C解析：根据勾股定理，得BC=√1十1=√2，AC= W12+32=√10，AB=W22+2=2W2, 所以AB2十BC2=AC2,所以△ABC是直角三角形，且 ∠B=90,所以两直角边的比为22=2，观察各选项，只有 √2 C选项中的三角形与所给图形的三角形相似. +怨是斧案不-)5不相似 6.证明：AD=2,BD=6,∴.AB=8, 0兰-福专日把品 又，∠A=∠A,∴.△ACDD△ABC. 7号或号解折：当铝把时，∠A=∠A△AD △ABC时AE=D-2-号铝-能时， AC 5 ∠A=∠A△ADE∽△ABC,此时AE=AC·AD AB 52-综上所选，当AE=号或号时，以A,DE为顶 6 点的三角形与△ABC相似. 8.C 9.4解析：如图」 ①过点D作AB的垂线段DP,交AB于点 P,则△APD∽△ACB; ②过点D作BC的平行线DE,交AB于点 E,则△ADE∽△ACB; ③过点D作AB的平行线DF,交BC于点 C FG B F,则△DCFP△ACB; ④作∠DGC=∠A,DG交BC于点G,则△GCDC∽△ACB. 故满足条件的直线共有4条. 10.25°解析：AB=9,AD=6,AE=4, :AE-4=2.AD62 'AD 6 3'AB 9 3 铝裙 :在Rt△ABC中，AD平分∠BAC,∠BAC=50°， ∠EAD=∠DAB=合∠BAC=2S ∴.△EAD△DAB, ∴∠EDA=∠B. :∠B+∠C+∠BAC=180°，∠C=90°， ∠B=40°， ∠EDA=40°. :∠CDA=90°-∠CAD=90°-25°=65°， .∠CDE=∠CDA-∠EDA=25. 11.证明：，BE=3,EC=6, .BC=3+6=9. ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=9,∠B=∠C=90 80-988器-2 0-器△ABE△CF 212或2或号 13.解：(1)①，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形， ∴.∠BAC=∠DAE=45°， 即∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠CAE, ∴.∠BAD=∠CAE. ,'△ABC和△ADE均为等腰直角三角形. △ACO△ADE,A8-E, 福福 又：∠BAD=∠CAE, .△ABD∽△ACE, 08-. ∴.BD=√2CE. ②B,D,E三点共线， ∴.∠ADB=180°-∠ADE=180°-45°=135°， ,△ABD∽△ACE, .∠ADB=∠AEC=135°， ∴.∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-90°=45 (2)如图，连接EC. :∠BAC=∠DAE=90, ∠ABC=∠ADE=30°， B ∴.△ABCC∽△ADE. 同(1)可证△ABD∽△ACE :能品-5，∠AE=∠ABD=∠ADE, 在Rt△ADE中，，∠ADE=30°， =3, 提提 AE =3×3=3. ,∠ADF=∠ECF,∠AFD=∠EFC, △ADFAECF,部设-8