9.4 探索三角形相似的条件同步练习2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学 下册

第九章·图形的相似 4 探索三角形相似的条件 第1课时 利用角的关系判定两个三角形相似 夯基础 1.具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是 ( ) A.有一个角为40°的两个等腰三角形 B.两个等腰直角三角形 C.有一个角为100°的两个等腰三角形 D.两个等边三角形 2.如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是 ( ) A.△BCD∽△ACD B.△BCD∽△ABC C.△ACD∽△ABC D.以上都不对 3.如图,在△ABC 中,D,E 分别是AB 和AC上的点,DE∥BC,若 那么 ( ) A. B. C. D. 4.如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,点 P 在边AC上,过 P 画直线截△ABC 使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线最多可画( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD 平分∠ABC,DE∥BC,则与△ABC 相似的是( ) A.△DBE B.△BCD C.△ABD D.△DEC 6.如图,△ABC 为等边三角形,点D,E 分别在边 BC,AB 上,∠ADE=60°.若BD=4DC,DE=2.4,则AD 的长为 ( ) A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2 7.如图1 是装满了液体的高脚杯(数据如图所示)，图2 是用去部分液体后的高脚杯(数据如图所示)，则图2中液面AB 的宽度为 ( ) A.1 cm B.2cm C.3cm D.4 cm 8.如图,在矩形 ABCD 中,AB=6,AD=4,点 E,F 分别为BC,CD 的中点,BF,DE相交于点 G，过点 E 作EH∥CD,交 BF 于点 H,则线段 GH 的长度是 ( ) A. B.1 C. D. 9.定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”.如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD,CB=CD,下列条件能使四边形ABCD 成为“全相似四边形”的是 ( ) A.∠A=90° B.∠B=90° C.∠C=90° D.∠D=60° 10.如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点 B 作 BD⊥CB,垂足为B,且BD=4,连接CD,与 AB 相交于点M,过点 M 作MN⊥CB,垂足为 N.若AC=3,则 MN 的长为 ( ) A. B. C. D. 11.如图,E 是矩形ABCD 的边CB 上一点,AF⊥DE 于点F,AB=6,AD=4,CE=2,则AF 的长度为 ( ) A. B. C. D.5 12.如图,在△ABC 中,点 D,E分别在边 AB，AC 上.添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是 .(写出一种情况即可) 13.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点 D，已知 那么BC= . 14.如图,在菱形 ABCD 中,∠ABC=60°,对角线 AC 与 BD 相交于点O,点 F 为 BC 的中点,连接AF 与 BD 相交于点 E，连接CE 并延长交AB 于点G. (1)证明:△BEF∽△BCO; (2)证明:△BEG≌△AEG. 15.如图所示,在矩形 ABCD中,E 为边CD 上一点,且AE⊥BD. (1)求证: (2)F为线段 AE 延长线上一点，且满足 求证:CE=AD. 练能力 16.如图，直线 与x 轴交于点A，与y轴交于点B，在第一象限内找点C,使△AOC 与△AOB 相似,则共能找到的点 C 的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 17.如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点 P 在边 BC上(不与点 B，C重合)，过点 P 作直线截△ABC，使截得的新三角形与原△ABC 相似，当截得新三角形与原△ABC 相似的个数仅为3时，则PC 的取值范围为 . 第2课时 利用边角的关系判定两个三角形相似 夯基础 1.如图,在△ABC 中,∠A=78°,AB=6,AC=9.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ( ) 2.如图,点 P 在△ABC 的边AC 上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件，不正确的是 ( ) A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC C. D. 3.如图,在正三角形ABC中,点 D,E 分别在 AC,AB 上,且 AE=BE,那么有△AED∽ ( ) A.△BED B.△ABD C,△CBD D.△ABC 4.如图,已知∠1=∠2,添加下列条件，仍不能使△ABC∽△ADE的是 ( ) A.∠B=∠D B.∠C=∠E C. D. 5.如图,在△ABC 中,D 为BC 上一点,BC= ,则AD:AC 的值为 ( ) A. B. C. D. 6.如图,点 E 在矩形ABCD 的AB 边上,将△ADE 沿DE 翻折,点 A 恰好落在BC边上的点F 处，若CD=3BF,BE=4,则AD 的长为 . 7.如图,已知△ABC 中,D 为边AC上一点,P 为边 AB 上一点,AB=12,AC=8,AD=6,当AP 的长度为 时，△ADP 和△ABC 相似. 8.如图,AB∥CD,AC与BD 交于点E,且AB=6,AE=3,CD=18. (1)求AC 的长; (2)求证:△ABE∽△ACB. 9.如图,在△ABC 中,点D,E 分别在边AB,AC上,DE,BC 的延长线相交于点F，且 (1)求证:△ADE∽△ACB; (2)当AB=12,AC=9,AE=8时,求 BD 的长. 10.如图,△ABC 和△ADE 的顶点 A 重合,∠BAD=∠CAE,∠B=∠D. (1)若AB=3AD,BC=4,求 DE 的长; (2)连接BD,CE,求证:△ABD∽△ACE. 11.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D 是斜边AB 上的中点,E是边 BC 上的点,AE 与CD 交于点 F,且 (1)求证:AE⊥CD; (2)连接 BF,如果点 E 是 BC 中点,求证:∠EBF=∠EAB. 练能力 12.如图,已知点 P 是边长为 10的正方形 ABCD 内的一点,且 PB = 8,BF ⊥BP,若在射线 BF 上有一点M,使以点 B,M,C为顶点的三角形与△ABP 相似，那么BM= . 13. 如图,在等腰△ABC 中,AB=AC=10 cm,BC=16 cm.点 D 由点 A 出发沿AB 方向向点B 匀速运动，同时点 E由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1 cm/s.连接 DE，设运动时间为t(s)(0<t<10),解答下列问题: (1)当 t 为何值时,△BDE 的面积为7.5 cm²; (2)在点 D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE 与△ABC 相似?若存在,请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由. 第3课时 利用三边的关系判定两个三角形相似 夯基础 1.如图,在4×4的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是 ( ) 2.已知△ABC 和△DEF的三边长，下列条件能判断它们相似的是( ) A. AB =4,BC =8,AC= 10;DE = 20,EF=16,DF=8 B. AB=3,BC=4,AC=6;DE=6,EF=5,DF=9 C. AB=12,BC=15,AC=24;DE=16,EF=30,DF=20 D. AB=4k,AC=5k;DE=6k,EF=7k,DF=8k(k>0) 3.新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形.如图,已知△ABC 是 6×6 的网格图中的格 点 三角形，那么该 网格 中 所有与△ABC 相似且有一个公共角的格点三角形的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图,将△ABC 绕点 B顺时针旋转，使得点 A 落在边AC 上，点A，C 的对应点分别为D,E,边 DE 交BC 于点F，连接CE，下列两个三角形不一定相似的是 ( ) A.△BAD 与△BCE B.△BDF 与△ECF C.△BAC 与△BDE D.△DBF 与△CEB 5.如图,在正方形 ABCD中,E 是 BC 的中点,F 是 CD 上一点,AE⊥EF,则下列结论: ①∠BAE=30° ④△ABE∽△AEF.正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图,△OPQ 在边长为1个单位长度的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B,C,D,E 也是小正方形的顶点，从点 A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△OPQ 相似，那么这个三角形是 . 7.如图，在平行四边形ABCD 中，连接对角线AC,延长 AB 至点 E,使 BE=AB,连接DE,分别交 BC,AC 交于点 F,G.若 BC=6,DG=4,则 FG 的长为 . 8.如图，已知一次函数 的图象与两坐标轴分别交于A，B，点C 在x轴上，AC=4,第一象限内有一个点 P,且 PC⊥x轴于点C，若以点 P，A，C为顶点的三角形与△OAB 相似,则点 P 的坐标为 . 9. 已 知△ABC 的三边长分别为6 cm,7.5cm ,9 cm,△DEF 的一边长为5cm ，如果这两个三角形相似，那么△DEF的另两边长是 . 10.如图，在边长为4 的正方形ABCD中,点 E,F 分别是BC,CD 的中点,DE,AF 交于点 G,AF 的中点为 H,连接BG,DH.给出下列结论:①AF⊥DE ③HD∥BG ④△ABG∽△DHF.其中正确的结论有 .(填序号) 11.如图,四边形 ABCD,CDEF,EFGH 都是正方形. (1)求证:△ACF∽△GCA; (2)求∠1+∠2 的度数. 12.如图,点 B,D,E 在一条直线上,BE 与AC 相交于点 F, (1)求证:∠BAD=∠CAE; (2)若∠BAD=21°,求∠EBC 的度数; (3)连接 EC,求证:△ABD∽△ACE. 练能力 13.已知两个直角三角形的三边长分别为 3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为 。 14. 如图,在△ABC 中,AB =3,AC=4,BC=6,D 是BC上一点,CD=2,过点 D 的直线l 将△ABC 分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC 相似，若直线l 与△ABC 另一边的交点为点 P，则DP= . 15.如图，已知四边形 ABCD 是菱形，对角线AC,BD 相交于点O,BD=2AC.过点 A作AE⊥CD,垂足为点 E,AE 与 BD 相交于点F.过点C作CG⊥AC,与AE 的延长线相交于点G.求证： (1)△ACG≌△DOA; (2)DF·BD=2DE·AG. 第1课时利用角的关系判定两个三角形相似 1. A 2. C 3. D 4. C 5. B 6. C 7. C8. A 9. B 解析:如图,连接AC,BD交于点O. 在△ABC 和△ADC 中, ∴△ABC≌△ADC(SSS), ∴∠ABC=∠ADC. 当∠ABC=90°时,∠ADC=90°, ∵AB=AD,BC=DC, ∴AC⊥BD, ∴ ∠ABO + ∠BAO = 90°, ∠ACB +∠BAO=90°, ∴∠ABO=∠ACB. ∵∠AOB=∠BOC=90°, ∴△AOB ∽△BOC,同法可证△AOD∽△DOC, 故选项 B符合题意. 当∠A=90°或∠C=90°或∠D=60°时不符合题意. 10. C 11. A 12.∠ADE=∠C(答案不唯一) 14.证明:(1)∵四边形 ABCD 是菱形,∴AB=BC,AC⊥BD. 又∵∠ABC=60°, ∴△ABC 是等边三角形, ∴AB=AC. ∵点 F 为BC 的中点, ∴AF⊥BC, ∴∠BOC=∠BFE=90°. 又∵∠EBF=∠CBO, ∴△BEF∽△BCO; (2)∵BO⊥AC,AF⊥BC, ∴CG⊥AB, ∴∠BGE=∠AGE. 又∵AC=BC, ∴BG=AG. 在△BEG 和△AEG中, ∴△BEG≌△AEG(SAS). 15.证明:(1)∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠BAD=90°,∠ADE=90°,AB=DC, ∴∠ABD+∠ADB=90°. ∵AE⊥BD, ∴∠DAE+∠ADB=90°, ∴∠ABD=∠DAE. ∵∠BAD=∠ADE=90°, ∴△ADE∽△BAD, ∵AB=DC, (2)连接AC,交 BD 于点O, ∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠ADE=90°, ∴∠DAE+∠AED=90°. ∵AE⊥BD, ∴∠DAE+∠ADB=90°, ∴∠ADB=∠AED. ∵∠FEC=∠AED, ∴∠ADO=∠FEC. ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴OA=OD=EF=CF, ∴∠ADO=∠OAD,∠FEC=∠FCE. ∵∠ADO=∠FEC, ∴∠ADO=∠OAD=∠FEC=∠FCE,在△ODA 和△FEC 中, ∴△ODA≌△FEC(AAS), ∴CE=AD. 16. D 解析:∵点 C 在第一象限, ∴当点 C 为直角顶点时，有两种情形，如图点C₁,C₂, 当点 A 为直角顶点时，也有两种情形，如图点C₃,C₄,共有4种情形. 解析：如图，过点 A 作∠CAP=∠B, 则△PCA∽△ACB, ∵AC=3,BC=4, 解得 ∴当截得新三角形与原△ABC 相似的个数仅为3时， 第2课时 利用边角的关系判定两个三角形相似 1. D 2. C 3. C 4. D 5. C 6.15 7.4或9 解析:∠PAD=∠BAC, 当 AP : AB = AD : AC 时,△APD∽△ABC, ∴AP:12=6:8,∴AP=9; 当 AP : AC = AD : AB 时,△APD∽△ACB, ∴AP:8=6'12, ∴AP=4, ∴AP 的长度为4 或9时,△ADP 和△ABC相似. 8.解:(1)∵AB∥CD, ∴∠A=∠ACD,∠ABE=∠D, ∴△CDE∽△ABE,∴CDD=CCAE, ∴AC=AE+CE=12; (2)证明:∵ ∵∠A=∠A, ∴△ABE∽△ACB. 9.解:(1)证明: 且∠EFC=∠BFD, ∴△FEC∽△FBD, ∴∠FEC=∠B. 又∵∠AED=∠FEC, ∴∠AED=∠B. 又∵∠EAD=∠BAC, ∴△ADE∽△ACB; (2)∵△ADE∽△ACB, 目 ∴AD=6, ∴DB=AB-AD=12-6=6. 10.解:(1)∵∠BAD=∠CAE, ∴∠BAC=∠DAE. ∵∠ABC=∠ADE, ∴△ABC∽△ADE, (2)证明:∵△ABC∽△ADE, ∵∠BAD=∠CAE,∴△ABD∽△ACE. 11.证明:( 又∵∠ACB=∠ECA=90°, ∴△ACB∽△ECA, ∴∠ABC=∠EAC. ∵点 D 是AB 的中点, ∴CD=AD, ∴∠ACD=∠CAD. ∵∠CAD+∠ABC=90°, ∴∠ACD+∠EAC=90°, ∴∠AFC=90°, ∴AE⊥CD; (2)∵AE⊥CD, ∴∠EFC=90°, ∴∠ACE=∠EFC. 又∵∠AEC=∠CEF, ∴△ECF∽△EAC, ∵点 E 是BC 的中点, ∴CE=BE, ∵∠BEF=∠AEB, ∴△BEF∽△AEB, ∴∠EBF=∠EAB. 12.8或12.5 13.解:(1)分别过点 D,A 作DF⊥BC,AG⊥BC,垂足为 F,G,如图, ∵AB=AC=10,BC=16,∴BG=8, ∴AG=6. ∵AD=BE=t,∴BD=10-t, 解得 解得t=5. 答:t为5秒时,△BDE 的面积为7.5cm²;(2)存在.理由如下： ①当BE=DE 时,△BDE∽△BCA, 即 解得 ②当BD=DE 时,△BDE∽△BAC, 即 解得 答：存在时间 t 为 或 秒时，使得△BDE 与△ABC 相似. 第3课时 利用三边的关系判定两个三角形相似 1. B 2. A 3. D 4. D 5. B 6.△CDB7.2 8.(6,8)或(6,2) 或4cm,6 cm或 解析:设△DEF 的另两边为x cm,y cm,若△DEF 中为5cm 边长的对应边为6cm,则 解得 若△DEF 中为 5cm 边长 的 对应边为7.5cm, 则 解得x=4cm,y=6cm;若△DEF 中为5cm 边长的对应边为9 cm,则 解得 10.①④ 11.解：(1)证明：可设正方形的边长为a，则 又∵∠ACF=∠GCA,∴△ACF∽△GCA,(2)由(1),得△ACF∽△GCA, ∴∠1=∠CAF, ∴∠1+∠2=∠CAF+∠2=∠ACB=45°. 12.解:(1)证明:∴ ∴△ABC∽△ADE, ∴∠BAC=∠DAE, ∴∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF,即∠BAD=∠CAE; (2)∵△ABC∽△ADE, ∴∠ABC=∠ADE. ∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD, ∴∠EBC=∠BAD=21°; (3)证明:如图, 又∵∠BAD=∠CAE, ∴△ABD∽△ACE. 或 解析：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似； 当三边分别为3，4， 和6,8,2 ，此时两三角形相似； 当3，4为直角边时，m=5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为 2 故 当6，8为直角边，n=10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为 故 综上所述，m+n的值为( 或10+ 14.1或 或 解析:如图1,若DP∥AB, ∴△CDP∽△CBA, ∴DP=1; 如图2,若 DP∥AC, ∴△BDP∽△BCA, 如图3,若∠CPD=∠B,且∠C=∠C, ∴△CDP∽△CAB, 15.证明:(1)∵四边形 ABCD 为菱形, ∴AD=CD,AC⊥BD,OB=OD, ∴∠DAC=∠DCA,∠AOD=90°. ∵AE⊥CD,CG⊥AC, ∴∠DCA+∠GCE=90°,∠G+∠GCE=90°, ∴∠G=∠DCA, ∴∠G=∠DAC. ∵BD=2AC,BD=2OD, ∴AC=OD, 在△ACG 和△DOA 中, ∴△ACG≌△DOA(AAS); (2)∵AE⊥CD,BD⊥AC, ∴∠DOC=∠DEF=90°. 又∵∠CDO=∠FDE, ∴△CDO∽△FDE, 即OD·DF=DE·CD. ∵△ACG≌△DOA, ∴AG=AD=CD. ∴DF·BD=2DE·AG. 学科网（北京）股份有限公司 $