8.6 第4课时动态几何问题-【练测考】2025-2026学年八年级下册数学（鲁教版五四制）

练测考八年级数学下册L小 第4课时动态几何问题 (教材P78一P79内容) ~基础夯实 1.(2024·威海荣成市期中)如图，Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=7,BC=5,点P从点B 出发向终点C以1个单位长度s移动，点Q 从点C出发向终点A以2个单位长度/s移 第3题图 第4题图 动，P,Q两点同时出发，一点先到达终点时 4.如图，∠AOB=90°，OA=36cm,OB= P,Q两点同时停止，则 秒后，△PCQ 12cm,一个小球从点A出发沿着AO方向 的面积等于4. 滚向点O,另一小球立即从点B出发，沿BC 匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小 球.若两个小球滚动的速度相等，则另一个 小球滚动的路程BC是 cm. 5.如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点 A,B同时出发，并分别以顺时针的方向沿圆 A.1 B.2 C.4 D.1或4 周运动.甲运动的路程s(cm)与时间t(s)满 2.如图，将边长为12cm的正方形ABCD沿其 对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向 足产+≥0.乙以4m的速度 平移，得到△A'B'C',若两个三角形重叠部 匀速运动，半圆的长度为21cm. 分的面积为32cm,则它移动的距离AA'等 (1)甲运动6s后的路程是 于 (2)甲从运动开始到第一次追上乙时，它们 运动了多长时间？ (3)甲从运动开始到第二次追上乙时，它们 运动了多长时间？ A.4 cm B.8 cm C.6cm D.4cm或8cm 3.如图，在矩形ABCD中，AB=16cm,BC= 6cm,点P从点A出发沿AB以3cm/s的 速度向点B移动，一直到达点B为止；同时， 点Q从点C出发沿边CD以2cms的速度 向点D移动.设运动时间为ts,当PQ= 10cm时，t= A号 B. 5或4 c D.4 80 加减乘除，本领真大，做道算题，眼睛直眨。（打一工具）一计算器 第八章一元二次方程 能力提升 10.如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB= 6.如图，在等腰△ABC中， 6 cm,BC=8 cm. ∠B=90°，AB=BC= (1)点P从点A开始沿AB边向点B以 8cm,动点P从点A出发 1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿 沿AB向点B移动，作 BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果 PQ∥AC,PR∥BC,当 P,Q分别从A,B同时出发，经过几秒，点 □PQCR的面积为△ABC面积的一半时， P和点Q间的距离是6cm? 点P移动的路程为 ( (2)点P从点A开始沿AB边向点B以 A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿 7.如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点， BC边向点C以2cms的速度移动.如果 点P沿BC从点B运动到点C,设B,P两 P,Q分别从A,B同时出发，线段PQ能否 点间的距离为x,PA一PE=y,图2是点P 将△ABC分成面积相等的两部分？若能， 运动时y随x变化的关系图象，则BC的长 求出运动时间；若不能，说明理由； 为 ( (3)若点P沿射线AB方向从点A出发以 1cms的速度移动，点Q沿射线CB方向 从点C出发以2cms的速度移动，P,Q同 时出发，问几秒后，△PBQ的面积为 B PE 1cm2? 图1 图2 A.4 B.5 C.6 D.7 8.[教材P79习题8.14T2变式]如图，在 △ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC= 3cm,点P从点A开始沿AB边向点B以 6cm 2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC 边向点C以1cm/s的速度移动，如果P,Q 两点同时出发， s后△APQ是等腰 三角形. B 第8题图 第9题图 9.如图，菱形ABCD中，AC,BD交于点O AC=8cm,BD=6cm,动点M从A出发沿 AC方向以每秒2cm匀速直线运动到C,动 点N从B出发沿BD方向以每秒1cm匀速 直线运动到D,若M,N同时出发，出发后 s时，△MON的面积为菱形ABCD 商积肠品 平时它比谁都小，但只要靠上谁，它就比谁都大而且它越多就越大。（打一数字）一0 81,当x=10时，销售单价为60元， 此时成本为40×[500-10×10]=16000>10000，故不符 合题意； 当x=30时，销售单价为80元， 此时成本为40×[500一10×30]=8000<10000，符合 题意. 故该商品的销售单价应定为每套80元. 8.解：(1)设“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为x元，则“事事高 中”粽子礼盒的单价为1.5.x元， 求银题意，得690-7+5解得-20 经检验，x=240是原方程的解，且符合题意， .1.5x=360, .“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为240元，“事事高中”粽子 礼盒的单价为360元. (2②)由(1.知甲公同购买“冰淇#棕~卷子礼会0=25 盒，“事事高中”粽子礼盒25一5=20盒， 根据题意，得25(240-6m)+(360-5m)(20+6m) 6000+7200, 25 整理，得50m一6m=0,解得m=12或m=0(舍去)， ∴.m的值为12. 第4课时动态几何问题 1.A解析：设t秒后，△PCQ的面积等于4. 由题意，得BP=t,CQ=2t,则CP=5一t. :Sam=2CcQ·CP, 1 4=2×2·(5-),整理，得2-51+4=0， 解得t1=1,t2=4(不合题意，舍去)， 即1秒后，△PCQ的面积等于4.故选A 2.D解析：设AA'=xcm,则A'D=(12- D x)cm.:题图中四边形ABCD是正方形， ∴.∠D=∠DAB=90°，∠DAC=∠BAC= 45.如图，△A'B'C'由△ABC沿着AD B'C C 方向平移得到，∠BAC'=45°，A'B⊥AD,∴A'ECF ∠A'EA=45°，∴.AA'=A'E=xcm,∠B'A'C'=∠A'EA, ∴A'F∥EC,.四边形A'ECF为平行四边形，所以 SaAF=A'E×A'D=x(12-x)=32,解得x=4或8. 故选D. 3.C解析：设P,Q两点从出发经过ts时，点P, Q间的距离是10cm.如图，作PH⊥CD,垂足 为H, 则易得PH=BC=6,PQ=10,HQ=|16-5t. .PH+HQ=PQ2, 62+(16-5t)2=102,解得4=5=5 824 P,Q两点从出发经过号s点酷时，点P.Q间的距商 是10cm.故选C 4.20解析：由题意，知∠AOB=90°，OA=36cm,OB= 12cm.设AC=xcm,则OC=(36-x)cm, 3 在Rt△BOC中，BC=WOC+OB2=√(36-x)+12 两个小球滚动的速度相等，设速度为，根据题意，一个 小球从，点A出发，另一小球立即从点B出发，恰好在点C 处截住，可知两小球运动时间相等， :BC-AC,.BC-AC. v U .√(36-x)2+122=x,解得x=20, .'BC=20 cm. 5.解：(1)27cm (2)由题，可知甲从运动开始到第一次追上乙时，甲走过的 路程比乙走过的路程多21cm,甲走过的路程为(2+ 3,Y 2t)cm,乙走过的路程为4tcm, +-=1, 3 解得-5+V193, 2 =5-,103(舍去. 2 ∴.甲从运动开始到第一次追上乙时，它们运动了 5+√/193 2 (3)由题，可知甲从运动开始到第二次追上乙时，甲走过的 路比乙走过的路程多21×3=63(cm),甲走过的路程为 (2+)m,乙走过的路程为em, 六安+号-=63，解得，=1，=-9（会去 3 ∴.甲从运动开始到第二次追上乙时，它们运动了14s. 6.B解析：设AP=xcm,则PB=(8一x)cm. .∠B=90°，AB=BC=8cm,.∴∠A=45. :PR//BC,.∠APR=90°，.PR=PA=xcm. ,☐PQCR的面积为△ABC面积的一半， 8-)=7×分×8X8解号==4， ∴.点P移动的路程为4cm.故选B. 7.C解析：由题图2，可知当点P位于点B时，PA一PE=1, 即AB-BE=1,∴.BA=BE+1. 当点P位于点E时，PA一PE=5,即AE一0=5， .∴.AE=5. ,在矩形ABCD中，∠B=90°， ∴.AB2+BE2=AE2, .(BE+1)+BE2=AE2=52,即BE2+BE-12=0, BE>0,∴.BE=3. 点E为BC的中点，∴BC=6.故选C 8.12-63 1 9.1或4解析：设出发后x秒时，S△o=12S发形AD,则 AM=2x,BN=x. 四边形ABCD是菱形，AC=8,BD=6, ÷0A=4,OB=3,AC1BD,SE5m=2AC,BD=号× 8×6=24. QM ON-. 当x<2时，点M在线段AO上，点N在线段BO上. 此时OM=OA-AM=4-2x,ON=OB-BN=3-x, 则（4-2x)3-x)=2解得x1=1,=4(含去)： 当2x<3时，点M在线段OC上，点N在线段BO上， 此时OM=AM-OA=2x-4,ON=OB-BN=3-x, 则)(2x-403-)=2.化简为r2-5x十8=0. 此时方程△<0，原方程无实数解； 当x>3时，点M在线段OC上，点N在线段OD上， 此时OM=AM-OA=2x-4,ON=BN-OB=x-3, 则2(2x-4)(x-3)=2,解得x1=1(含去)，x2=4. 1 综上所述，出发后1s或4s时，S△w=2S爱特AwD: 10.解：(1)设经过x秒，点P和点Q间的距离是6cm,依题 意，得(6-x)2十(2x)2=62,解得x1=0,x2=2.4, 经检验，x2=2.4符合题意。 故经过2.4秒，点P和点Q间的距离是6cm. (2)不能.理由如下：设经过y秒，线段PQ能将△ABC分 成面积相等的两部分，依题意，得 △ABC的面积=号×6X8=24(cm)。 1 ·.△BPQ的面积=2(6-y)X2y=2X24, 即y2-6y+12=0. ,△=b2-4ac=36-4×12=-12<0, 此方程无实数根， ∴，线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分. (3)①设经过m秒，点P在线段AB上，点Q在线段CB 上(0m4), 依题意，有2(6-m)(8-2m)=1, 即m2-10m十23=0，解得m1=5十√2，m2=5-√2， 经检验，m1=5十√2不符合题意，舍去， m=5-√2. ②设经过n秒，点P在线段AB上，点Q在线段CB的延 长线上(4<n≤6)，依题意，有2(6-n)(2m一8)=1， 即n2-10n十25=0，解得1=2=5， 经检验，n=5符合题意. ③设经过k秒，点P在线段AB的延长线上，点Q在线段 CB的延长线上(k>6), 依题意，有2k-6)(2k-8)=1 即k2-10k十23=0，解得k1=5+√2，k2=5-√2， 经检验，k1=5一√2不符合题意，舍去 ∴.k=5十2 综上所述，经过(5-√2)秒或5秒或(5十√2)秒后，△PBQ 的面积为1cm2. 10证阴号< ∴当t=4秒时，两点停止运动. ,在运动过程中AP=3t,CQ=t, .BP=12-3t,DQ=6-t. -3=9 当t=号时，DQ=6-2=2AP=3X3=9 21 ..AP=DQ. 又四边形ABCD为等腰梯形，，APDQ, .四边形APQD为平行四边形. (2)解：PQ能平分对角线BD. 0 连接BD交PQ于点E,如图1 所示. 若PQ平分对角线BD, 图 则DE=BE. CD∥AB, ∴∠1=∠2，∠3=∠4. ∠3=∠4， 在△DEQ和△BEP中， ∠1=∠2， DE=BE, ∴.△DEQ≌△BEP(AAS),∴.DQ=BP, .6-t=12-3t,解得t=3,符合题意， ∴.当t=3秒时，PQ平分对角线BD. (3)解：分两种情况： ①当PQ=PD时，作DN⊥AB 于N,QM⊥AB于M,CE⊥AB 于E,如图2所示， 则易得DN=QM, AN-BE-(AB-CD)-3. ME=CQ=t, ..PN=AP-AN=3t-3, PM-BP-BE-ME=9-4t. 在R△DNP和Rt△QMP中，PD=PQ, (DN-QM, .△DNP≌△QMP, ∴.PN=PM, .3t-3=9-4t, 解得1=号 ②当PQ=DQ=6-t时，则PQ=DQ. 在Rt△AND中， :AD=5,AV=3, .DN=4,∴.QM=4. 由勾股定理，得PQ=QM+PM=4+(9-4t)2, .4+(9-4t)2=(6-t)2,整理，得15t2-60t+61=0, 得△<0，故方程无解 综上所述，若△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，t的值 为号 12解：I:AB=BC=5,△ABC的面积为5，AD是边BC 上的高 号BCAD=号5AD=15,解得AD=3. (2),AB=BC=5,AD=3,AD是BC边上的高， ∴.BD=√AB2-AD=4. :动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿 BD一DA匀速向终点A运动， ∴.①当点P在BD上运动时（即0<t≤4时），有BP=t, ∴，PD=BD-BP=4-t; ②当点P在DA上运动时（即4<t<7时），有BD十DP=t, ∴.PD=t-BD=t-4. 综上所述，当0<t≤4时，PD=4一t;当4<t<7时，PD= t-4. (3)①当点P在BD上运动，△APD为等腰直角三角形 时，有AD=PD, .3=4一t,解得t=1,.BP=1,.PC=5一1=4， 1 △ACP的面积为2PC·AD=2×4X3=6. ②当点P在DA上运动，△PDC为等腰直角三角形时，有 DC=PD, ,∴.DC+BD=PD+BD=5,∴.t=5 .PD=DC=5-4=1,∴.AP=AD-PD=3-1=2, ∴△ACP的面积为2AP·CD=2×2X1=1 1 综上所述，△ACP的面积为6或1. (4)点P在BD上运动，图中存在以点P为顶点的等腰三 角形，且不是直角三角形，分为以下情况 ①△APC为等腰三角形，且AP=AC. ,AD⊥PC,∴.PD=CD=BC-BD=5-4=1, BP=BD-PD=4-1=3=是-3. ②△APC为等腰三角形，且PC=AC, 5-t=√32+12， 整理，得(5-t)2=10,解得t1=5+√10>4（不合题意，舍 去)，t2=5-/10」 ③△ABP为等腰三角形，且BP=AP,则BP2=AP2, 即=4-+，解得1器 综上所述4的值为3或5-而或得 微专题八一元二次方程与方程组、分式方程、 不等式（组）的综合应用 1.解：(1)设购进x袋鲜肉粽，y袋蜜枣粽， 恨据意行0 0解得=32， y=18. .购进32袋鲜肉棕，18袋蜜枣粽 (2)设每袋鲜肉粽应降价m元，此时每袋的利润为(27 m-15)元， 则降价当天的销售量为(2十2m)件， ∴.降价之前鲜肉棕的销量为(32一2一2m)袋。 根据题意，得18×(19-10)+(2+2m)(27-m-15)+ (32-2-2m)(27-15)=506 整理，得m2十m一20=0， 解得m=4(负值舍去). ∴.每袋鲜肉粽应降价4元. 2.解：(1)设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平 均速度是25x千米小时， 由题意得2+上1.5解得=2， 3 经检验，x=2是原方程的解，且符合题意， ∴.25.x=25×2=50, ∴.甲开车的平均速度是50千米小时，步行的平均速度是2千 米小时. (2)由(1)可知，甲开车的时间为50÷50=1（小时），则乙开 1 车的时间为(1-24m)小时， 由题意可知，乙开车的速度为(50十m)千米小时，乙步行 的速度为(2+子m)千米小时。 由题意.得(60+m)1-7m）+号(2+m）=46 整理，得m2+24m-112=0, 解得m1=4,m2=一28（不符合题意，舍去）， ∴m的值为4. 3.解：(1)设每个背包售价x元， 根据题痘.得280-20×20≥130，解得≤5. ∴.每个背包售价应不高于55元. 2根据题在得6-30(280-20×20）-3120. 解得x1=42,x2=56(不符合题意，舍去)， .这种背包销售单价为42元时，销售利润是3120元. 4.解：(1)设每个玩具的售价为x元. x60, 根据题意，得 （60-3×a9）6s 解得56x≤60. ∴.预计每个玩具售价的取值范围是不低于56元且不高于 60元. (2)由(1)，可知最低销售价为56元个，此时销售量为 50-62×8=1(个，根据题意.得[551+a0 49]×14(1-2a%)=147,令t=a%,整理，得32t2-12t+ 1 1=0,解得11=412=8a=25或a=12.5. 滚动练习四(5~6节) 1.C2.D3.B4.C5.B6.C 7.C解析：设经x秒二人在B处 相遇，这时乙共行走AB=3x, 甲共行走AC十BC=7x. AC=10,.BC=7x-10. 又：∠A=90°， ∴.BC2=AC2+AB2, .(7x-10)2=102+(3x)2, 解得x=0(含去)或x=3.5, .∴.AB=3x=10.5,AC+BC=7x=24.5,即甲走了24.5步. 故选C 8.10%解析：设年平均增长率为x.由题意，得 40(1+x)2=48.4, 解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不符合题意，舍去). 9.x2-38.x+37=010.DG 11.解：设经过t秒后，P,Q两点的距离是4√2cm, 根据题意，得0≤t≤4，AP=tcm,BQ=2tcm, .∴.BP=(6-t)cm. 3