8.5 一元二次方程的根与系数的关系-【练测考】2025-2026学年八年级下册数学（鲁教版五四制）

即(.x-1)(2.x-5)=0. ∴x-1=0或2x-5=0, 5 解得x1=1,x2=2 (4)a=3,b=4,c=-1, .b2-4ac=16+12=28>0, “x=-4生V28_-2±7 6 3 .x1= -2+√7 -2-7 3 ，x2= 3 12.解：根据图形和题意，可得(a十b)2=b(a十2b),其中a=1, 则该方程可转化为(1十b)2=b(1十2b),即b2-b-1=0, 解得6，-1+ 2 2,b2= 1-√5 2 (舍去)， 该正方形的面积为(1+1士5)°-7+35 2 2 13.解：(1)将x=1代人原方程， 得1十a十a-2=0,解得a=之 (2)把a=3代人原方程，得x2+3x十1=0， .△=32-4×1×1=5>0， -3土√5 ∴.x= x01=3+5 2 2 x2=3V6 2 14.解：(1)根据题意，得b2-4ac=(-6)2-4×3(1-k)≥0， 解得k≥一2. ,k为负整数，.k=一1，一2 (2)当k=-1时，b2-4ac=24+12k=12, 方程没有整数根，不符合题意，舍去： 当k=-2时，b2-4ac=24+12k=0, 此时方程的根为x1=x2=1. 15.解：(1)△ABC是等腰三角形，理由如下： x=一1是方程的根， .(a+c)×(-1)2+2b×(-1)+(a-c)=0, ∴.a+c-2b+a-c=0, ∴.a-b=0,即a=b, '.△ABC是等腰三角形 (2)△ABC是直角三角形，理由如下： ,方程有两个相等的实数根， .△=(2b)2-4(a十c)(a-c)=0, .4b2-4a2+4c2=0, ∴.a2=b2+c2, .△ABC是直角三角形， (3)将a=3,b=4,c=2代入方程，得5.x2+8x十1=0， 解得.x=一4士√们 5 x1=4+ ,x2=-4/I 5 *5一元二次方程的根与系数的关系 1.B解析：由题，知x1x2=2,x1十x2=3,故A项错误，不符 合题意；B项正确，符合题意； (x1十x2)2=x号+2x1.x2十x号=9，.x1十x2=9-2X2=5, 故D项错误，不符合题意； (x1-x2)2=x1-2x1x2十x2=5-4=1,.x1-x2=士1， 故C项错误，不符合题意.故选B. 2.B3.A4.-17 5.11解析：：a,3是一元二次方程x2十3x-17=0的两 个根， a+3=-3,a2+3a-17=0,.a2+3a=17, ∴.a2+5a+23=a2+3a+2(a+B)=17+2×(-3)=11. 6.解：设x2-4(m一1)x-7=0的两根为a,3, 则a十3=4(m-1). ,关于x的方程x2一4(m一1)x-7=0有两个实数根且互 为相反数， ∴a十B=0, ∴.4(m一1)=0，解得m=1, 经检验，m=1时，原方程有两个不相等的实数根， .(-m)2021=(-1)2021=1. 7.(1)证明：由题意，知△=[-(2m+1)]2-4×1×(-m 2)=4m2+4m+1+4m+8=4m2+8m+9=4(m十1)2+5. .4(m+1)≥0，∴.4(m+1)2+5>0,即△>0， 不论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根. (2)解：由根与系数的关系， 得x1十x2=2m十1，x1x2=-m-2. 由x1十x2+3x1x2=1,得2m十1+3(-m-2)=1, 解得m=-6. 8.C 9.C解析：，x1,x2是方程x2一4x-2024=0的两个实 数根， ∴.x1十x2=4,x1-4x1-2024=0, ∴.x1=4x1+2024, ∴.原式=4x1+2024一2x1+2x2=2(x1+x2)十2024= 2×4十2024=2032.故选C. 10.A11.16 12.-2解析：m,n是方程x2-2x-1=0的两个实数根， .∴.m2-2m-1=0,n2-2n-1=0,m十n=2,mm=-1, m-2三1，n2=21十1 2m-4=2 m 2+n2-3=2m-4+2m+1-3=2(m+n)-6=2X 2-6=-2. 13.解：(1)关于x的一元二次方程(k一1)x2十3x十1=0有 两个不相等的实数根， .△>0，且k一1≠0， :9-4-1D>0解得<且表≠1. k-1≠0， (2)存在实数k,使该方程的两个实数根x1,x2满足x1十 x2=5-2.x1x2. 若x1x2是(k一1)x2+3x十1=0的两个实数根，则x1十 3 1 :x1十x2=5-2x1x2, 启-5名解得长=专 3 …413 54 k=专时，k-1)2+3x十1=0有两个实数根， 8 “存在实数&=号，使该方程的两个实数根1，清足 x1十x2=5-2x1x2. 14.解：(1)当x≥1时，原方程化为x2-x-2=0,解得x1= 2,x2=-1(不合题意，舍去)； 当x<1时，原方程化为x2+x一4=0，解得x1= -1-/17 2 ,=1+亚（不合题意，合去. 2 因此原方程的根是x1=2,x,=1二，√17 2 (2)0当m=n时”+贤=2： ②当m≠n时，由题意，知m,n是方程x2一7x+2=0的 两个根，∴，m十n=7,n=2, .”+m=m+n)'-2mm_49-4-2 mn 221 ÷品十只的值为2或号 微专题七一元二次方程根与系数 关系的分类应用 1.C解析：：m,n是一元二次方程x2十2x-2026=0的两 个实数根， .∴.m2+2m-2026=0,m十n=-2, .∴.m2+2m=2026, .∴.m2+3m+n=(m2+2m)十(m十n)=2026+(-2)= 2024.故选C 2.C 3.C解析：m,1是一元二次方程x2+2x-5=0的两 个根， ∴.m+=-2,m=-5m2+2-5=0, ∴.m2=5-2m, ..m-mn+3m+n=5-2m-mn+3m+n=5-mn+ m十1=5-(-5)-2=5十5-2=8.故选C. 4.C5.A 6.解：(1)关于x的一元二次方程kx2-2x十4=0有两个实 数根， ∴k≠0，且△=(-2)2-4h×4≥0，解得k≤且k≠0， 1 2 (2)由根与系数的关系，可得x1十x2=3+x2=友， 1 4 2 x1x2=3x:=友，解得k=一30x2=-5, 1 2 x+xg=一i5x:=-6 .c+D(x+D=x1x+(红+x)+16-店+ 1- 7.B 8.1解析：设另一根为a, 别-如=号-6：解得a=1 9.解：(1)：关于x的方程x2-4x十m=0的一个根为2十 √3，设另一根为a, ∴.a十2+3=4，即a=2-5, m=(2+3)(2-√3)=4-3=1. (2),方程的两个根为x1,x2, .x1十x2=4,x1·x2=1, ∴原式=(x1·x2)223·x2十x1=x1十x2=4. 10.B 11.A解析：：关于x的方程3x2-5.x十k=0的两根分别为 x1和x2, 5 k 六x1十x2=3x1·x2=3 6.x1十x2=0, 六.6x十x2=5x1十x1+x2=0,即5x1十3=0 x01= 3x2=2, x=2x(吉）=夸 ∴k=一2.经检验k=一2符合题意.故选A 12.解：(1)方程有两个不相等的实数根.理由： a=(-2P-4(k-）=-+2=4(-2)‘+1>0. 方程有两个不相等的实数根。 (2)设方程的两根为x1,x2, 1 则有x1十x2=2k,x1x2=k一2 ·方程的两个实数根之和等于两根之积， 2=k一2解得及=一2 1 13.解：(1)x2一2kx+k2+2=2(1-x), 整理，得x2-2(k-1).x十k2=0. 该方程有两个实数根x1x2, ∴4=4k-10-k2≥0解得及≤2， 实数k的取值范围是k≤2 1 (2),x1,x2是方程x2一2(k一1)x十k2=0的两实数根， .x1十x2=2(k-1),x1x2=k2. 又，|x1十x2|=x1x2-6, .2(k-1)=k2-6. k<号2k-10<0 .2(k-1)=k2-6可化简为k2+2k-8=0, ∴.(k一2)(k十4)=0，解得k1=2(不合题意，舍去)， k2=-4, .k的值为一4. 14.(1)证明：.‘a=2,b=m-2,c=一m, ∴.b2-4ac=(m-2)2-4X2×(-m)=m2+4m十4= (m+2)2≥0， .不论m为何实数，方程总有实数根 x1十x2= 2一m>0 2 (2)解：①由题意，得 x1x2= プ0 2 m2, 解得 m<0, m的取值范围为m<0.练测考八年级数学下册LJ *5 一元二次方程的根与系数的关系 (教材P70一P73内容) ☑基础夯实 7.(2024·淄博博山中学期中)已知关于x的 1.一元二次方程x2一3x十2=0的两根为x1 一元二次方程x2-(2m+1)x-m-2=0. 和x2,则下列结论正确的是 (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相 A.x1十x2=-3 B.x1x2=2 等的实数根； C.x1-x2=1 D.x1十x=7 (2)若方程有两个实数根为x1,x2,且x1十 2.(贵港中考)若x=一2是一元二次方程x2十 x2十3x1x2=1,求m的值. 2x+m=0的一个根，则方程的另一个根及 m的值分别是 ) A.0,-2 B.0,0 C.-2,-2 D.-2,0 3.若方程x2一2x一4=0的两个实数根为x1, x2,则(x1一1)(x2-1)值为 ( A.-5 B.3 C.7 D.9 4.若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的 两个根分别是x1=-3,x2=5,则b十c 5.(2024·济宁邹城市模拟)设a,3是一元二 次方程x2+3x一17=0的两个根，则a2+ 5a+23= 易错点悟 利用根与系数的关系时，因忽略 6.若关于x的方程x2一4(m-1)x一7=0有两个 “△≥0”而致错 实数根且互为相反数，试求：（一m)221的值， 8.下列方程两根之和是一2的是 A.x2+2x+3=0 B.x2-2x-3=0 C.x2+2x-3=0 D.x2-2x+3=0 能力提升 9.(2024·烟台莱山区期中)若x1,x2是方程 x2一4x-2024=0的两个实数根，则代数式 x-2x1十2x2的值等于 () A.2024 B.2027 C.2032 D.2035 10.若1，n是一元二次方程x2十x-3=0的两个 实数根，则m3一4n2+17的值为 () A.-2 B.6 C.-4 D.4 11.一元二次方程x2-2x-6=0的两根分别 为x1,x2,则x?十x号的值为 70 周而复始（打一数学名词）一循环小数 第八章一元二次方程 12.(2024·临沂郑城县模拟)若m,n是方程 ☑素养培优 x2-2x-1=0的两个实数根，则2十 14.[运算能力]先阅读下面材料，再解方程 m 例：解方程x2一|x|一6=0. n2-3= 解：当x≥0时，原方程化为x2一x一6=0， 13.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2+ 解得x1=3,x2=一2（不合题意，舍去）； 3x+1=0有两个不相等的实数根， 当x<0时，原方程化为x2十x一6=0，解 (1)求实数k的取值范围； 得x1=-3,x2=2(不合题意，舍去)， (2)是否存在实数k,使该方程的两个实数 因此，原方程的根是x1=3,x2=一3. 根x1,x2满足x1十x2=5一2x1x2,若存 (1)请参照例题解方程：x2一x一1 在，请求出k的值；若不存在，请说明理由. 3=0; (2)拓展应用：已知实数m,n满足m2 7m十2=0，n2-7m十2=0，求”+的值. m n 考试不作弊（打一数学名词）一真分数 71