8.5一元二次方程的根与系数的关系同步训练2025-2026学年鲁教版(五四制)(2012)数学八年级下册

8.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步训练 一、单选题 1．一元二次方程的两根为，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若方程的两根分别为，，则（　　） A． B． C． D． 3．一元二次方程的两根恰好是菱形的两条对角线的长，则该菱形的面积为（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 4．若是一元二次方程的两个根，下列说法正确的是（   ） A．与的和一定是正数 B．与的和一定是负数 C．与的积一定是正数 D．与的积一定是负数 5．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C．5 D．2 6．若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 7．若α，β是方程的两个根，则的值为（    ） A．7 B． C． D．3 二、填空题 8．已知，是方程的两个根，则______． 9．已知方程的两个实数根分别为，则______． 10．若一元二次方程的两根为则这个方程可以是___________(写出一个即可)． 11．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则m的值为________． 三、解答题 12．关于的方程有两个实数根，请求下列各式的值： (1)填空：_____；_____； (2)； 13．关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 14．已知，是两个不相等的实数，且满足，． (1)求式子的值； (2)若与两数异号，求实数k的取值范围． 15．按要求解答下列问题． (1)我们知道，命题“若两个数a，b的和与这两个数的积均为整数，则这两个数a，b必为整数．”是假命题，请举出一个反例，如_________，_________； (2)若关于x的方程（m为整数）的两根为整数，求m的值及对应方程的根； (3)设，是方程（p，q为整数）的两根，且是一个完全平方数，试探究，均为整数． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，需利用“对于一元二次方程（），两根之和为，两根之积为”这一性质求解. 【详解】解：∵一元二次方程中，，，. ∴，. 故选：C． 2．C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，可得出、的值，代入求值即可． 【详解】解：∵对于一元二次方程， 若方程两根为，， 则 ，， 本题方程为 ，可得 ，，， ∴ ，， ∴ . 3．C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，菱形面积计算等知识，掌握这两个知识点是解题的关键．设菱形两条对角线分别为，，则，是一元二次方程的两根，由根与系数关系及菱形面积计算公式即可求解． 【详解】解：设菱形两条对角线分别为，，则，是一元二次方程的两根， 由根与系数关系得：， ∴菱形面积为， 故选：C． 4．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系． 先将一元二次方程化为标准形式，再利用一元二次方程根与系数的关系分析各选项． 【详解】解：∵ 将方程化为标准形式为， ∴ 由一元二次方程根与系数的关系可知，两根之和，两根之积， ∵ ， ∴ 与的和一定是正数，故A正确，B错误． ∵ 的值不确定，可正、可负、可为0， ∴ 与的积不一定是正数或负数，故C、D错误． 故选：A． 5．B 【分析】首先根据给定的一元二次方程确定系数、、，通过韦达定理得到和的值；然后将展开并整理为含和的代数式；最后代入数值计算出结果，对照选项得到答案． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 6．B 【分析】构造不等式，结合一元二次方程的根与系数关系转化为关于的不等式求解，同时验证判别式保证方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：设方程的两根为、，且，， 由根与系数的关系得，， ∵，， ∴，即， ∴，解得， 又判别式， 当时，，故，方程有两个不相等的实数根，满足条件； 综上，的取值范围是． 7．A 【分析】由一元二次方程根与系数的关系，，，由此可解． 【详解】由题意得，，， ． 8． 【分析】将所求分式通分转化为用两根之和与两根之积表示的形式，再利用韦达定理代入计算． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 9． ± 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式的变形求出的值，最后开平方得到的结果． 【详解】∵方程中，，，， ∴，， ∴ ， 对等式两边开平方，得． 故答案为：． 10．(答案不唯一) 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，关键是掌握“若一元二次方程的两根为、，则该方程可表示为”．先根据两根写出因式形式的方程，再取为任意非零常数(如)，展开整理即可得到满足条件的方程． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴设该方程为， 取，则方程为， 展开整理得：； 故答案为：(答案不唯一)． 11．或 【分析】本题考查解一元二次方程及“同伴方程”的定义，先求解方程的实数根，再分两种情况将相同根代入方程求出，同时验证另一个根是否不同，确保符合“同伴方程”的定义即可． 【详解】解：先解方程 因式分解得 则或 解得， 因为方程和为“同伴方程”，分两种情况讨论： ①当是两个方程相同的实数根时，将代入，得 计算得 即，解得 此时根据根与系数的关系，方程的另一个根为，，符合“同伴方程”的定义． ②当是两个方程相同的实数根时，将代入，得 计算得 即，解得 此时根据根与系数的关系，方程的另一个根为，，符合“同伴方程”的定义． 综上，的值为或． 12．(1)5； (2)8 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，乘法公式的变形计算是 关键． （1）确定一元二次方程二次项，一次项，常数项的值，根据根与系数的关系代入求值即可； （2）根据分式的计算法则得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：关于x的方程有两个实数根， ∴， 故答案为：5；； （2）解：∵ ∴原式． 13．(1) (2) 【分析】（1）根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得． （2）解：是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， 整理，得， 解得，（不满足，舍去）， 故． 14．(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，可看成方程的两个根，利用根与系数的关系求出两根之和即可； （2）根据方程有两个不相等的实数根得到判别式，再结合，求出实数k的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，，可看成方程的两个根， 由根与系数的关系得：； （2）解：方程有两个不相等的实数根， 判别式, 解得, 与两数异号, , 解得, 综上所述，的取值范围是． 15．(1)， (2)，根为0和2 (3)见解析 【分析】本题考查命题真假判断、一元二次方程根与系数的关系、完全平方数的性质，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）要判断命题是假命题，只需找出满足a、b和与积为整数，但a、b本身不是整数的反例即可； （2）先根据韦达定理得到两根之和与两根之积，再结合两根为整数的条件，通过因式分解求出m的值和方程的根； （3）利用求根公式表示出方程的根，再根据完全平方数的性质证明两根为整数即可． 【详解】（1）解：令a，b，． 验算：、均是整数，但a，b都不是整数， 故答案为：，； （2）解：设关于x的方程（m为整数）的两根分别为，，由题意得： ， 整理得：， ，是整数， 、都是整数， 分情况讨论： 当、时， 解得、， ； 当、时， 解得、， ； 综上所述，，方程根为0和2； （3）证明：， （p、q为整数）， ，是方程（p，q为整数）的两根， ， 方程有两个相等的实数根， ， ， ， 又q是整数， 是整数．即是4的倍数， 必为偶数， 设，k为整数， 是整数， ，都是整数． 学科网（北京）股份有限公司 $