8.4用因式分解法解一元二次方程同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制）数学八年级下册

8.4 用因式分解法解一元二次方程 同步训练 一、单选题 1．一元二次方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．一元二次方程的根是（ ） A． B． C．， D．， 3．已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 4．若是关于x的方程的一个根，则方程的另一个根是（   ） A． B．3 C． D．1 5．已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形的周长是（   ） A．16 B．11 C．11或16 D．11或17 6．关于x的一元二次方程有一个根大于1，k取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 7．关于的方程，下列说法中正确的有（   ）个． ①若，则该方程没有实数根； ②若，则该方程的两个根互为相反数； ③若，则该方程一定有两个实数根； ④若，则一定是这个方程的实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 8．一元二次方程的解是_____． 9．若关于的方程有一根是，则另一个根是___________． 10．的根是______，的根是______． 11．已知，则的值是________． 三、解答题 12．用适当的方法解方程： (1) (2) (3) (4) 13．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一根为2，求k的值及方程的另一根． 14．定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 15．（1）解一元二次方程：． （2）下面是某同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程右侧提取公因式得：第一步 移项，得：第二步 方程两边同时除以，得：第三步 移项，得：第四步 系数化为1，得第五步 回答下列问题： ①这位同学的解法从第___________步开始出现错误； ②此方程正确的解应该是___________． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握十字相乘法因式分解是解题的关键．通过因式分解将一元二次方程转化为两个一元一次方程，进而求解． 【详解】解：， ， ∴或， ∴，． 故选：B． 2．D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴或， 解得， ， 故选：D． 3．C 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程解的意义以及换元法． 通过变量替换，将新方程转化为已知方程的形式求解. 【详解】解：设，则方程化为， 的解为或， ∴或， 解得或， 故选：C． 4．B 【分析】本题主要考查了已知方程的解求参数，解一元二次方程，将已知根代入方程求出参数m，再解方程得出另一个根即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴ ， ∴， 于是方程化为， 因式分解得， ∴或， 解得：或， 已知一个根为，故另一个根为． 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 由方程可得，．根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底和腰进而即可求出三角形的周长． 【详解】解：∵方程可因式分解为， ∴，． ∵等腰三角形的两边长为2和7， ∴第三边可能为2或7． 当第三边为2时，三边为2、2、7，但，不满足三角形三边关系，不能构成三角形， 当第三边为7时，三边为2、7、7，且，，，能构成三角形， ∴这个三角形的周长为． 故选：A． 6．B 【分析】本题考查解一元二次方程，因式分解法求出一元二次方程的解，再根据有一个根大于1，进行求解即可． 【详解】解：， ， 解得， ∵方程有1个根大于1，， ∴， ∴； 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，根据判别式可判断①②；当时，方程变为，解方程即可判断③；把代入原方程，求出方程左边的值，看方程左右两边是否相等即可判断④． 【详解】解：①若，则该方程没有实数根，原说法正确； ②当时，则，若，则方程无实数根，原说法错误； ③当时，方程变为，即，解得或，原说法正确； ④当时，把代入原方程，方程左边，此时方程左右两边相等，故是原方程的解，原说法正确． 故选：C． 8． ， 【分析】将方程移项后，利用平方差公式分解因式，转化为两个一元一次方程，进而求解方程的根. 【详解】解：， ， ， 或 ； 解得 ，. 9． 【分析】将已知根代入一元二次方程，求出参数的值，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：将代入方程， 可得， 解得， 则原方程为， 可得， 解得，， 故方程的另一个根是． 10． ， ， 【详解】解：， ， ， ，， 解得：，； ， ， ，， 解得，． 11． 【分析】本题主要考查了利用换元法解方程，设，根据平方的非负性得，将原方程转化为关于的一元二次方程，求解后舍去不符合题意的负根，即可得到结果. 【详解】解： 设，由平方的非负性可知 原方程变形为： 整理得： 因式分解得： 解得：， ， 不符合题意，舍去， . 12．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）移项，然后直接开平方求解即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： 解得，； （3）解： 或 解得，； （4）解： 或 解得，． 13．(1)见解析 (2)的值为1，方程的另一根为0 【分析】本题考查了根的判别式以及方程的解，熟练掌握当方程有两个不相等的实数根时是解题的关键． （1）根据一元二次方程的根的判别式，结合完全平方公式的非负性分析求证； （2）把一根为2代入一元二次方程求出k的值，再解方程求出另一根． 【详解】（1）证明：∵ ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：当时，， 解得：， 把代入原方程：， 解得，， 故的值为1，方程的另一根为0． 14．(1)是 (2)， (3)代数式的最小值为 【分析】（1）根据“和谐方程”定义进行判断即可； （2）根据“和谐方程”定义得出，求出b的值，再解方程即可； （3）根据“和谐方程”定义得出，把代入得出根据非负数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵方程中，，， ∴， ∴方程是“和谐方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， 解得：， 解方程， 解得； （3）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， ∴， ∴ ， ， ， 即代数式的最小值为． 15．（1）； （2）①三；②， 【分析】（1）方程的左边为完全平方式，可通过配方法直接开方求解，也可利用求根公式计算； （2）该同学在第三步直接除以，忽略了的情况，属于丢根错误，正确做法是通过因式分解将方程转化为两个一元一次方程求解，得到所有根． 【详解】（1）解：， ， ， 解得， 方程的解为； （2）解：①这位同学的解法从第三步开始出现错误， 因为当时，方程两边不能同时除以，否则会丢失这个根； ②， ， 移项得， 提取公因式得， 或， 解得，． 学科网（北京）股份有限公司 $