微专题4 特殊平行四边形的动态图形变换问题-【练测考】2025-2026学年八年级下册数学（鲁教版五四制）

D是AB的中点，E是B0的中点DE=号A0=4 .四边形DEFG的周长为4十4十6十6=20. 8.A解析：：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D=90. .AE=DH=CG=BF...DE=AF=BG=CH, ,.△AEF≌△BFG(SAS), 同理可得△BFG≌△CGH(SAS),△CGH≌△DHE(SAS), .EF=FG=GH=EH,∠AFE=∠FGB, ,四边形EFGH是菱形 ∠BFG+∠BGF=90°，.∠AFE+∠BFG=90°， ..∠EFG=90°， ,四边形EFGH是正方形， .FH=√2EF,S四边形ERGH=EF2. EF2=AE2+AF2=AE2+(4-AE)2=2(AE-2)2+8, .当AE=2时，EF有最小值，S。边形EGH有最小值， HF有最小值. 故选A ,碧解析：在R△A收C中，∠RC-90AB5AC=12. .BC=√AB2+AC2=13. PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,∠BAC=90°， ,.四边形AMPN为矩形. B 如图，连接AP,则MN=AP, AP最小时，MN最小 垂线段最短， .∴.当AP⊥BC时，AP最小. Sa=AB·AC= BC·AP, .5X12=13AP,AP=13 60 N的最小信为器 10.2 11.解：，四边形ABCD是正方形， .点B关于AC的对称点为点D, 如图，连接BM交AC于点N,则此时 DN+MN的值最小， .∴.DN+MN=BN+MN=BM. .CD=BC=5,DM=2,..MC=3. .BM=√32+5=√34. 微专题四特殊平行四边形的动态图形变换问题 1.B解析：由题意可得：题图1中所得矩形的长为10cm,宽 为8cm, ,虚线的端点为该矩形两邻边的中点， ,∴.AC=8cm,BD=10cm, :题图2所示的菱形的面积为7×8X10=40(m). 故选B. 2.A解析：如图，令OA与B'C的交点为E. --B A B' .四边形OABC是菱形，∠AOC=45°， .∴.OC=BC,BCOA,∠B=∠AOC=45°. ,CD上AB,菱形沿CD所在直线折叠，点B的对应点 为B', ∠B'=∠B=45°， ∴.∠BCB'=90°，即BC⊥B'C, ∴OA⊥B'C. 点B的横坐标为4，∴OE=4. :△CE0是等腰直角三角形， ∴.OE=CE=4, ∴.O0C=WOE2+CE2=4w2, ∴.BC=4W2 ∴.点B的坐标为(4√2+4,4). 故选A. 3.4解析：，四边形ABCD是边长为8的正方形纸片，BE=6, ∴.AB=BC=CD=DA=8,∠B=∠D=∠C=90°， ..AE=VAB2+BE=10,CE=BC-BE=8-6=2. 由翻折可知DF=FG,AG=AD=8,∠AGF=∠D=90°， .∴.EG=AE-AG=10-8=2. .FC=DC-DF=8-DF, 在Rt△FGE和Rt△FCE中，FG2十GE2=FC2+EC2, ∴.DF2+22=(8-DF)2+22, 解得DF=4. 4.解：(1)，四边形ABCD是矩形， .AB=DC=8,AD=BC=32,∠BAD=∠ABC= ∠BCD=∠CDA=90°. 设CN=x,则DN=CD-CN=8-x, 由折叠可得PN=CN=x, 在Rt△PDN中，DP2+DN2=PN2, 即42+(8-x)2=x2, 解得x=5, 即CN=5. (2)当点C与点A重合时， 设DN=y,则AN=AD-DN=32-y, 由折叠可得D'N=DN=y,AD'=CD=8,∠AD'N= ∠CDA=90°. 在Rt△AD'N中，AD'2+D'N2=AN2, 即82+y2=(32-y)2, 解得y=15, 即DN=15. 如图，过点M作MH⊥AD. ,四边形ABCD是矩形，MH⊥AD, .四边形ABMH,DCMH是矩形， 则设HN=a. ..AH=BM=32-15-a=17-a,HD=MC=AM= 15+a. 在Rt△ABM中，AM=AB+MB, .∴.(15十a)2=82十(17-a)2, 解得a=2. 在Rt△HNM中，MN2=HM2+HN2=82+22=68, .MN=√/68=2/17. 5.B 6.D解析：如图，，四边形ABCD为 正方形， ,∴.OD=OC,∠ODA=∠CD=45° ∠DOC=90°， 而∠POM=90°， 即∠DOF+∠COF=90°，∠DOE+∠DOF=90°， .∠DOE=∠COF. 在△ODE和△OCF中， 1∠DOE=∠COF, OD=OC, ∠ODE=∠OCF, .△ODE≌△OCF(ASA), .S AODE=S△0cF, .S4cm). 4 故选D. 7.√/41 8.解：(1)AG=CE. 证明：由题意，可得∠GDE=60°，GD=DE. ∠ADC=60°，∠ADG=∠CDE. 四边形ABCD是菱形，∴.AD=CD, .∴.△ADG≌△CDE(SAS),..AG=CE. (2)如图，过点G作GH LAD,交 AD的延长线于H,连接BD. ,四边形ABCD是菱形， ∠ADC=60°， 1 ∴∠ADB=2∠ADC=30, .∠GDH=∠ADB=30°. 在Rt△DHG中，DG=23, GH-DG-5. .DH=√DG2-GH=√/(2√3)2-(W3)2=3, ..AH=AD+DH=6. 在Rt△AHG中， AG=√AH+HG2=√62+(W3)2=39, 由(1)知CE=AG=√39. 9.(1)证明：由旋转可得GB=DF,AF=AG, ∠BAG=∠DAF. 四边形ABCD为正方形，∴.∠BAD=90°. ∠EAF=45°，∠BAE+∠DAF=45°， .∠BAG+∠BAE=45°=∠EAF」 (AG=AF 在△AGE和△AFE中，{∠GAE=∠FAE, AE=AE, ∴.△AGE≌△AFE(SAS),.∴.GE=EF ,GE=GB十BE=DF+BE,∴EF=BE十DF (2)解：EF=DF-BE, 理由：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转 90到△ADG,交CD于点G, 同(1)可证得△AEF2△AGF(SAS), ∴.EF=GF且DG=BE, ∴.EF=DF-DG=DF-BE. 10.B解析：如图，连接BD,DF,DF交PP'于H, D PH、E以 B武A)F 由题意PP'=AA'=AB=CD,PP'∥AA'CD, 四边形PP'CD是平行四边形. ,四边形ABCD是菱形，∠A=60°， ∴.△ABD是等边三角形」 .AF=FB=2, .DF⊥AB,DF⊥PP',DF=√AD2-AF2= √42-22=2√5， .∠AFE=∠FPH=30°， AE=1 AF-1.EF-AF-AE-2-F-3. P是EF的中点，PF= 2 HE-1PF5 4 DH=DF-HF=25-5_73 44 平行四边形Pp'CD的面积为73X4=75. 4 故选B. 11.(1)证明：.'△ABC与△DEF是边长为8cm的等边三角形， ∴.DE=AC,∠ACE=∠DEC=60°. ,∠ACE=∠DEC,.DE∥AC, .四边形AEDC是平行四边形. (2)解：四边形AEDC是矩形，理由如下： ,点B与点F重合，此时A,D,F在同一直线上， ∴.EF=CF=8,AF=DF=8.∴.AD=CE=16. 由(1)可知四边形AEDC是平行四边形， .四边形AEDC是矩形. 12.D解析：连接BD, ,四边形ABCD是菱形， AB=AD,∠ADB=∠ADC=60, ∴.△ABD是等边三角形， ..AD-BD. 又，△DEF是等边三角形， ∴.∠EDF=∠DEF=60°，DE=DF 又∠ADB=60°， ∴∠ADE=∠BDF. (DE=DF, 在△ADE和△BDF中，{∠ADE=∠BDF, AD-BD. .△ADE≌△BDF(SAS), ..AE=BF. .AE=t,CF=2t, .'.BF=BC-CF=5-21, 1=5-21=号故选D 13.(3,4)或(2,4)或(8,4)解析：D是OA的中点， OD=AD=20A=5. (1)当OP=OD=5时， C0=4, ∴.CP=√OP2-OCz=3, .P(3,4) (2)如图，当OD=PD=5时， 过点D作DN⊥BC于点N,则四边形 OCND为矩形， P B DN=OC=4,DO-NC-5, 0 ∴.PN=/DP2-DN2=3, 从而CP=CN-PN=5-3=2或CP'=CN+P'N=5+ 3=8, ∴.P(2,4)或(8,4) (3)当Op=PD时，P(34小， 此时腰长为，√（侣）厂+≠5，故这种情况不合题意， 舍去 故点P的坐标为(3,4)或(2,4)或(8,4). 14.解：(1)当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形. 证明：，四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90° :点M是边AD的中点AM=DM=AD, .AD=2AB=2CD,..AB=AM=DM=CD, ∴.∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°， ∴.∠BMC=180°-45°-45°=90°. .PE⊥MC,PF⊥BM,.∠MEP=∠PFM=90°， ∴四边形PEMF为矩形， 即当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形. (2)当P是BC的中点时，矩形PEMF变为正方形. 证明：·四边形PEMF为矩形， ∴.∠PFM=∠PFB=∠PEC=90. 由(1)知∠FBP=∠ECP=45°. I∠FBP=∠ECP, 在△BFP和△CEP中，∠PFB=∠PEC, BP=CP, △BFP≌△CEP(AAS),.PF=PE. 又，四边形PEMF是矩形，∴.矩形PEMF是正方形， 即当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形， 15.解：(1)由题意，得AQ=t,则DQ=16一t, .AD//BC,AB=12, 面积为S26-)X12=一6d+ (2)'AD∥BC, .当DQ=PC时，四边形PCDQ是平行四边形. .BP=2t,∴.PC=20-2t,∴.16一t=20-2t,解得t=4, .当t=4时，四边形PCDQ是平行四边形. (3)如图，过点P作PH LAD于H, 则四边形ABPH为矩形， ∴.AH=BP=2t OH D 当PQ=PD时，PH⊥AD, QH=HD=216-0, 1+216-)=21,解得1= 3 当1=9时.PQ-Pm 章末复习 1.B 2.√3解析：设AC交BD于O,如图. 在菱形ABCD中， ∠ABC=120°，AB=2, ∴.∠BAD=∠BCD=60°，∠DAC= ∠DCA=30°，AD=AB=2,BD⊥AC. 在R△A0D中.0D=2AD=1,OA=5, ..AC=20A=23. 在R△APE中，∠DAC=30,PE=2AP. 在Rt△CPF中，∠PCF=∠DCA=30',PF=2CP. PE-PF-TAP-CP-(AP-CP)-TAC, ∴.PE-PF=3. 3.(1)证明：：E是AD的中点，∴AE=DE. .'AFBC,.∴.∠AFE=∠DBE. I∠AFE=∠DBE. 在△AEF和△DEB中，{∠AEF=∠DEB, AE-DE. .∴.△AEF≌△DEB(AAS). (2)证明：由(1)可知△AEF≌△DEB, ∴.AF=DB. D是BC的中点，BD=CD,.AF=CD 'AFBC,∴.四边形ADCF是平行四边形 .∠BAC=90°，D是BC的中点， AD=BC=CD∴平行四边形ADCF是菱形. (3)解：菱形ADCF的面积为10，∴Sm=号×10=5 ,D是BC的中点，∴.S△ABC=2S△ACD=10, S6r=号AB·AC=10. 即号×5×AC=10, .∴.AC=4. .∠BAC=90°， ∴.BC=wAB2+AC2=√52+42=√4I. 3练测考八年级数学下册LJ 微专题四 特殊平行四边形的动态图形变换问题 类型一翻折问题 (1)如图1，王欢在边CD上取一点N,将纸 1.如图，将一个长为20cm,宽为16cm的矩形 片沿直线MN折叠，使点C落在边AD上， 纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上 记为点P,若DP=4,求CN的长； 的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线 (2)如图2，张乐在边AD上取一点N,将纸 (虚线)剪下（如图1），再打开，得到如图2所 片沿直线MN折叠，当点C与点A重合时， 示的小菱形的面积为 求MN的长 图1 图2 A.20 cm2 B.40 cm C.60 cm2 D.80 cm 2.如图，菱形OABC的顶点A在x轴上， CD⊥AB于点D,将菱形沿CD所在直线折 叠，点B的对应点为B'.若∠AOC=45°，点 类型二旋转问题 B'的横坐标为4，则点B的坐标为( 5.如图，以正方形ABCD对角线所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，其中A(0,1), A.(4√2+4,4) ---,B OD=1,菱形ABEF的边BE在x轴上，将 B.(8,4) D 菱形ABEF绕点O逆时针旋转，每次旋转 C.(42+4,22) 45°，则第2024次旋转结束时，点F2024的坐 D.(8,22) 标为 () 3.(2024·东营期末)如图，在边长为8的正方 A.(-1,2) B.(2,1) 形纸片ABCD中，E是边BC上的一点， C.(-√2，-1) D.(-2,1) BE=6,连接AE,将正方形 D 纸片折叠，使点D落在线段 AE上的点G处，折痕为AF, 则DF的长为 4.矩形折叠探究 在矩形纸片ABCD中，AB=8,BC=32,点 第5题图 第6题图 M是边BC上的一点， 6.[教材P27习题6.8T4变式]如图，有两个边 长为4cm的正方形，其中一个正方形的顶点在 另一个正方形的中心上，绕着中心旋转其中一 个正方形，那么图中阴影部分的面积是() A.无法确定 B.8 cm 图 图2 C.16 cm2 D.4 cm2 数学之所以有高声誉，另一个理由就是数学使得自然科学实现定理化，给予自然科学某种程度的可 26 靠性。—爱因斯坦 第六章特殊平行四边形 7.如图，在矩形ABCD中， (2)如图2，当∠EAF绕点A旋转到图2位 AC是对角线.将矩形 置时，试探究EF与DF,BE之间有怎样的 ABCD绕点B顺时针旋 数量关系？ 转90°到矩形GBEF位 置，H是EG的中点.若AB=6,BC=8,则线 段CH的长为 8.在菱形ABCD中，∠ADC=60°，E为平面 内任意一点，连接DE,将线段DE绕点D顺 图1 图2 时针旋转60°得到DG,连接EC,AG. (1)如图1，当点E在菱形ABCD内部时，判 断AG与CE的数量关系，并写出证明： (2)如图2，当点B,D,G在同一条直线上 时，若AD=3,DG=2√3，求CE的长. 图 图2 类型三平移问题 10.如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，AD=4, F是AB的中点.过点 F作FE⊥AD,垂足 A BA F 为E.将△AEF沿点A到点B的方向平 移，得到△A'EF'.设P,P'分别是EF, E'℉'的中点，当点A'与点B重合时，四边 形PP'CD的面积为 9.已知，如图1，四边形ABCD是正方形，E,F 分别在边BC,CD上，且∠EAF=45°，我们 A.63 B.73C.313 D.513-8 4 4 把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角 11.如图，已知△ABC和△DEF是两个边长都 模型”问题时，旋转是一种常用的方法 为8cm的等边三角形，且点B,E,C,F在 (1)在图1中，连接EF,为了证明结论 同一直线上，连接AE,DC “EF=BE十DF”,小亮将△ADF绕点A顺 (1)求证：四边形AEDC是平行四边形； 时针旋转90°后解答了这个问题，请按小亮 (2)若△ABC沿着BF的方向匀速运动， 的思路写出证明过程； △DEF不动，当△ABC运动到点B与点F 给我最大快乐的，不是已懂的知识，而是不断地学习；不是已有的东西，而是不断地获取；不是已达到 的高度，而是继续不断地攀登。—高斯 27 练测考八年级数学下册LJ 重合时，四边形AEDC是什么特殊的四边 (2)如果四边形PEMF为矩形，那么当点 形？说明理由. P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正 方形？证明你的猜想 15.[教材P29复习题T13变式]如图所示，在 直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°， AB=12,BC=20,AD=16.动点P从点B 类型四动点问题 出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长 12.如图，在菱形ABCD中， 度的速度运动，动点Q同时从点A出发，在 AB=5cm,∠ADC=120°， 线段AD上以每秒1个单位长度的速度向 点E,F同时由A,C两点 点D运动，当其中一个动点到达端点时停 出发，分别沿AB,CB方 止运动，另一个动点也随之停止运动.设运 向，向点B匀速移动（到点B为止），点E 动的时间为t秒， 的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s, (1)设△DPQ的面积为S,用含t的式子表 经过ts△DEF为等边三角形，则t的值 示S; 为 ( (2)当t为何值时，四边形PCDQ是平行四 c 5 边形？ D (3)当t为何值时，PQ=PD? 13.已知：如图，在平面直角坐标 y 系中，O为坐标原点，四边形 OABC是矩形，点A,C的 OD A 坐标分别为A(10,0),C(0,4),点D是OA 的中点，点P在BC边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标 为 14.如图，在矩形ABCD中，点M是边AD的 中点，点P是边BC上的动点，PE⊥MC, PF⊥BM,垂足为点E,F, (1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件 时，四边形PEMF为矩形？证明你的结论； 数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。 28 高斯