微专题3 特殊平行四边形的中点、最值问题-【练测考】2025-2026学年八年级下册数学（鲁教版五四制）

第六章特殊平行四边形 14.如图，正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥ ☑素养培优 AC,垂足为A,AF=AE 15.如图1，点E,F,M,N分别是正方形纸片 (1)求证：BF=DE; ABCD四条边上的，点，且AE=BF=CM=DN. (2)当点E运动到AC的中点时（其他条件 都保持不变)，问：四边形AFBE是什么特 殊四边形？说明理由」 图1 图2 (1)求证：四边形EFMN是正方形； (2)把图1中的四个直角三角形剪下来，拼 成图2所示的“赵爽弦图”（由四个全等的直 角三角形与中间的小正方形拼成的一个大 正方形).我们知道，勾股定理的证明，人们 已经找到了400多种方法，请结合图2，利 用所学知识证明勾股定理，写出推导过程； (3)若正方形纸片ABCD的边长为4， EN=√10，求图2中中间小正方形的面积. 数学是知识的工具，亦是其它知识工具的源泉。所有研究顺序和度量的科学均和数学有关。 笛卡尔 23 练测考八年级数学下册LJ 微专题三特殊平行四边形的中点、最值问题 类型一特殊平行四边形的中点问题 5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相 1.顺次连接四边形ABCD各边中点得到的四边 交于点O,点E,F,G,H分别是AB,BC, 形是菱形，那么AC与BD只需满足() CD,AD的中点，顺次连接E,F,G,H.若 A.垂直 AC=BD=4,∠COD=120°，则四边形EFGH B.相等 的面积为 C.互相平分 D.互相平分且垂直 2.如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线， 点E,F分别是AD,BC的中点，点M,N分 别是AC,BD的中点.若AB=CD,AB⊥ CD,则四边形EMFN是 () 6.如图，BD,AC是四边形ABCD的对角线， 点E,F,G,H分别是线段AD,DB,BC,AC 的中点 (1)求证：线段EG,FH互相平分； A.平行四边形 B.矩形 (2)四边形ABCD满足什么条件时，EG⊥ FH?证明你得到的结论. C.菱形 D.正方形 3.（2024·泰安岱岳区期中改编)如图，边长为 2的菱形ABCD中，∠B=60°，点E,F分别 是BC,CD的中点，则△AEF的周长是 A.6 B.2√3 C.3 D.3/3 4.如图，E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的 中点，AB=8,BC=6,则四边形EFGH的面 积是 24 不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用在这实际世界上。一罗巴切夫斯基 第六章特殊平行四边形 7.如图，点O是△ABC内一点，连接OA,OB, 9.(2024·恩施期中)如图，在Rt△ABC中， OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F, ∠BAC=90°，AB=5,AC=12,点P是BC G依次连接，得到四边形DEFG. 边上的一个动点，PM⊥AB于点M,PN1 (1)求证：四边形DEFG是平行四边形； AC于点N,则MN的最小值为 (2)若BO⊥CO,M为EF的中点，且OA= B 8,OM=3,求四边形DEFG的周长， 第9题图 第10题图 10.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是边 AB,AD上的动点，P是线段EF的中点， PG⊥BC,PH⊥CD,G,H为垂足，连接 GH.若AB=4,AD=3,EF=3,则线段 GH长度的最小值是 11.如图，正方形ABCD的边长为5，M在DC 上，且DM=2,N是AC上的一动点，求 DN+MN的最小值. 类型二特殊平行四边形的最值问题 8.(2024·北京海淀区校级期中)如图，E,F, G,H分别是边长为4的正方形ABCD四条 边上的点（不与顶点重合），且满足AE DH=CG=BF,记AF=x,则下列四个变 量中，不存在最小值的是 () D H A.BE B.FE C.FH D.S四边形EFGH 数学之所以比一切其它科学受到尊重，一个理由是因为它的命题是绝对可靠和无可争辩的，而其它 25 的科学经常处于被新发现的事实推翻的危险。一爱因斯坦,矩形BEDF是正方形，S方形=BE2=4=16(平方米). .'△ABF≌△CBE .S四边形ACD=S四边形ABBD十S△CE=Sg边形AFD十S△ABF一 S正方形BEDF=16(平方米). 13.解：PC=PE,PC⊥PE. 证明：由正方形的轴对称性质，可得∠PAD=∠PCD, PA=PC. ,点P位于AE的垂直平分线上，PA=PE,PC=PE. ,PA=PE,∴∠PAD=∠E,∴.∠PCD=∠E. ,∠PFC=∠DFE,∠CPF=∠FDE. :∠ADC=90°，∠FDE=90°，∴.∠CPF=90°， .PC⊥PE. 14.(1)证明：四边形ABCD是正方形， ,.AB=AD,∠BAD=90° ,AF⊥AC, ,.∠EAF=90°， ∴.∠BAF=∠EAD (AD=AB, 在△ADE和△ABF中，{∠DAE=∠BAF, AE=AF. ,.△ADE2△ABF(SAS), .'BF=DE. (2)解：当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正 方形. 理由：·点E运动到AC的中点，AB=BC, ∴BELAC.BE=AE-2AC .AF=AE, ..BE=AF=AE. 又，BE⊥AC,.∠BEC=90°=∠FAE, .BE∥AF. .BE=AF, .四边形AFBE是平行四边形 ,∠FAE=90°，AF=AE, ∴，四边形AFBE是正方形， 15.(1)证明：如图1. ,四边形ABCD是正方形， .AB=BC=CD=DA,∠A=∠B ∠C=∠D=90°. .AE=BF=CM=DN, ,∴.AN=DM=CF=BE ,∠A=∠B=∠C=∠D=90°， 图1 ∴.△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE(SAS), ,∴.EN=NM=MF=EF,∠ENA=∠DMN, .四边形EFMN是菱形. :∠ENA=∠DMN,∠DMN+∠DNM=90°， .∠ENA+∠DNM=90°， .∠ENM=90°， ∴.四边形EFMN是正方形. (2)解：如图2， 由(I),可知EF=FM=MN=NE,EH FG=MR=NQ,EQ=FH=MG=NR. 设正方形EFMN的边长EF=FM=MN= 图2 NE=C,EH=FG=MR=NQ=6,EQ= FH=MG=NR=a, 则小正方形QHGR的边长QH=b一a, ∴.小正方形QHGR的面积为(b-a)2=a2十b2-2ab, ,∴，正方形EFMN的面积=c2,正方形EFMN的面积= 2ab×4+(6-a)2=a2+b2. .∴.a2+b2=c2. (3)解：·正方形ABCD的边长为4， ..a十b=4, .∴.a2+b2+2ab=16, .∴.2ab=16-(a2+b2)=6. .中间小正方形的面积为10一6=4. 微专题三特殊平行四边形的中点、最值问题 1.B2.D 3.D解析：如图，连接AC ,四边形ABCD是菱形，∠B=60°， △ABC是等边三角形. 点E是BC的中点， .BE=1,BE⊥AE, ∴AE2+BE2=AB2, 即AE2+12=2,即AE=5,且∠EAC=30. 同理可得AF=√3，∠FAC=30°， ∴.AE=AF,∠EAC=∠FAC=30° △AEF是等边三角形， ∴.△AEF的周长为3X√3=3√3」 故选D. 4.245.23 6.(1)证明：如图，连接EF,GF,GH,HE. 点E,F分别是线段AD,DB的 中点， Er//AB.EF-AB. ,点G,H分别是线段BC,AC的 中点， GH//AB.GH-AB..EF/GH.EF-GH. ,∴.四边形EFGH为平行四边形 ∴.线段EG,FH互相平分. (2)解：当AB=CD时，EG⊥FH,理由如下： ,点G,F分别是线段BC,BD的中点， GF-CD.EF-2AB.AB-CD.EF-GF. ∴.平行四边形EFGH是菱形，∴.EG⊥FH. 7.(1)证明：D,G分别是AB,AC的中点， X/C.IG-RC. E,F分别是OB,O℃的中点， EF/BC.EF-BC..DG-EF.IG//EF. ∴四边形DEFG是平行四边形 (2)解：，BO⊥CO,M为EF的中点，OM=3, ∴.EF=2OM=6. 由(1)知四边形DEFG是平行四边形，∴.DG=EF=6. D是AB的中点，E是B0的中点DE=号A0=4 .四边形DEFG的周长为4十4十6十6=20. 8.A解析：：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D=90. .AE=DH=CG=BF...DE=AF=BG=CH, ,.△AEF≌△BFG(SAS), 同理可得△BFG≌△CGH(SAS),△CGH≌△DHE(SAS), .EF=FG=GH=EH,∠AFE=∠FGB, ,四边形EFGH是菱形 ∠BFG+∠BGF=90°，.∠AFE+∠BFG=90°， ..∠EFG=90°， ,四边形EFGH是正方形， .FH=√2EF,S四边形ERGH=EF2. EF2=AE2+AF2=AE2+(4-AE)2=2(AE-2)2+8, .当AE=2时，EF有最小值，S。边形EGH有最小值， HF有最小值. 故选A ,碧解析：在R△A收C中，∠RC-90AB5AC=12. .BC=√AB2+AC2=13. PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,∠BAC=90°， ,.四边形AMPN为矩形. B 如图，连接AP,则MN=AP, AP最小时，MN最小 垂线段最短， .∴.当AP⊥BC时，AP最小. Sa=AB·AC= BC·AP, .5X12=13AP,AP=13 60 N的最小信为器 10.2 11.解：，四边形ABCD是正方形， .点B关于AC的对称点为点D, 如图，连接BM交AC于点N,则此时 DN+MN的值最小， .∴.DN+MN=BN+MN=BM. .CD=BC=5,DM=2,..MC=3. .BM=√32+5=√34. 微专题四特殊平行四边形的动态图形变换问题 1.B解析：由题意可得：题图1中所得矩形的长为10cm,宽 为8cm, ,虚线的端点为该矩形两邻边的中点， ,∴.AC=8cm,BD=10cm, :题图2所示的菱形的面积为7×8X10=40(m). 故选B. 2.A解析：如图，令OA与B'C的交点为E. --B A B' .四边形OABC是菱形，∠AOC=45°， .∴.OC=BC,BCOA,∠B=∠AOC=45°. ,CD上AB,菱形沿CD所在直线折叠，点B的对应点 为B', ∠B'=∠B=45°， ∴.∠BCB'=90°，即BC⊥B'C, ∴OA⊥B'C. 点B的横坐标为4，∴OE=4. :△CE0是等腰直角三角形， ∴.OE=CE=4, ∴.O0C=WOE2+CE2=4w2, ∴.BC=4W2 ∴.点B的坐标为(4√2+4,4). 故选A. 3.4解析：，四边形ABCD是边长为8的正方形纸片，BE=6, ∴.AB=BC=CD=DA=8,∠B=∠D=∠C=90°， ..AE=VAB2+BE=10,CE=BC-BE=8-6=2. 由翻折可知DF=FG,AG=AD=8,∠AGF=∠D=90°， .∴.EG=AE-AG=10-8=2. .FC=DC-DF=8-DF, 在Rt△FGE和Rt△FCE中，FG2十GE2=FC2+EC2, ∴.DF2+22=(8-DF)2+22, 解得DF=4. 4.解：(1)，四边形ABCD是矩形， .AB=DC=8,AD=BC=32,∠BAD=∠ABC= ∠BCD=∠CDA=90°. 设CN=x,则DN=CD-CN=8-x, 由折叠可得PN=CN=x, 在Rt△PDN中，DP2+DN2=PN2, 即42+(8-x)2=x2, 解得x=5, 即CN=5. (2)当点C与点A重合时， 设DN=y,则AN=AD-DN=32-y, 由折叠可得D'N=DN=y,AD'=CD=8,∠AD'N= ∠CDA=90°. 在Rt△AD'N中，AD'2+D'N2=AN2, 即82+y2=(32-y)2, 解得y=15, 即DN=15. 如图，过点M作MH⊥AD. ,四边形ABCD是矩形，MH⊥AD, .四边形ABMH,DCMH是矩形， 则设HN=a.