微专题04 特殊平行四边形中的最值问题（专项训练）数学鲁教版五四制八年级下册

微专题04 特殊平行四边形中的最值问题 题型1 根据垂线段最短求最值 核心原理：从直线外一点向这条直线所引的所有线段中，垂线段最短（垂线段的长度是该点到直线的最短距离）。 应用场景：求特殊平行四边形中点到直线的最短距离（如菱形、矩形中某点到对边的距离）、线段和的最小值（如动点在对边上运动时，到两条线段的距离之和的最小值）。 解题步骤： 1. 确定目标点与直线：明确需要求最短距离的点（如动点）和对应的直线（如对边、对角线）。 2. 构造垂线段：过目标点作目标直线的垂线，垂足为某点（如菱形中过顶点作对边的垂线）。 3. 计算垂线段长度：利用特殊平行四边形的性质（如菱形的对角线互相垂直平分、矩形的四个角为直角），结合勾股定理或面积公式求垂线段长度。 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点，与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查正方形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质． 取中点，利用正方形的性质证明，得到，当时，易证此时四边形是正方形，此时，即点G与点H重合，有最小值，利用正方形的性质求出；由点是与的交点，是定线段，得到点G在线段上运动，在整个运动过程中，当边与重合，点G，点E与点C重合，当时，点G与点H重合，当边与重合，点G，点F与点C重合，即点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，即点经过的路径长是，即可得出结果． 【详解】解：如图，取中点， 在正方形中，， 又∵， ∴， ∴， ， 当时，则， ，， 四边形是正方形， ，即点G与点H重合， ， ； 点是与的交点，是定线段，， 点G在线段上运动， 在整个运动过程中， 当边与重合，点G，点E与点C重合，有最大值， 当时，点G与点H重合，有最小值， 当边与重合，点G，点F与点C重合，有最大值， 点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C， 点经过的路径长是， 点经过的路径长是， 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接，若正方形的边长为8，则的最小值为（   ）    A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】由可证得，，由此得当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合，即当点E在线段上运动时，点G在线段上运动，根据“垂线段最短”可知：当时，为最短，即当点G与点T重合时，为最小，最小值为线段的长，由，得为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得的最小值． 【详解】连接并延长与的延长线交于点K，过点M作于T，如图所示：    ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合， 即当点E在线段AC上运动时，点G在线段CK上运动， 根据“垂线段最短”可知：当时，为最短， 即当点G与点T重合时，为最小，最小值为线段的长． ∵，， ∴为等腰直角三角形，即， ∵，点M为的中点， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． ∴的最小值为 ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识点，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形三角形的判定和性质是解决问题的关键． 3．（2024·天津滨海新区·二模）如图，四边形是正方形，边长为，是边上的动点，在正方形的外侧以为边作正方形，连接，若为的中点，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，垂线段最短，勾股定理，连接，延长交点，连接，可得为等腰直角三角形，进而得，得到为的中位线，即得，可得当取最小值时，取最小值时，由当时，的值最小，此时，点为的中点，得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，延长交点，连接，则， ∵四边形是正方形， ∴    ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴点为的中点， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当取最小值时，取最小值时， 当时，的值最小，此时，点为的中点，， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）四边形为正方形，E为对角线上一动点，连接．过点E作交直线于点F，以为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求正方形的边长； (3)点E关于的对称点为P，连接，若的最小值为， ①求的长为_______； ②正方形的面积的最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）过E作于M，于N，证明四边形是矩形，得到，进而得到，证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）先证明得到，过G作于H，则是等腰三角形，进而可得，，在中，利用勾股定理求得即可求解； （3）①作D关于的对称点K，则K在的延长线上，连接交于P，连接交于M，连接，此时值最小，最小值为的长，则，由轴对称性质得到，则，利用勾股定理求解即可；在中，由得， ②利用垂线段最短知，当时，取得最小值，此时正方形的面积最小，进而求解的最小值即可． 【详解】（1）证明：如图，过E作于M，于N，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴，则， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形为正方形； （2）解：如图，过G作于H， ∵四边形为正方形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 过G作于H，则是等腰三角形，又， ∴， ∴， 在中，， ∴正方形的边长为； （3）解：①∵， ∴点E关于的对称点P在上，， 作D关于的对称点K，则K在的延长线上，连接交于P，连接交于M，连接， 此时值最小，最小值为的长，则， 由轴对称性质得，则， 在中，由得， 解得（负值已舍去）， 故答案为：； ②在中，，则， ∵点E为上一点， ∴当时，取得最小值， ∵，， ∴的最小值为， ∵是正方形的边长， ∴正方形的面积的最小为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、轴对称性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、角平分线的性质等知识，综合性强，涉及知识点较多，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加适当的辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解答的关键． 5．（24-25八年级下·福建·期中）如图，在菱形中，、交于点． (1)若为对角线上一动点，是的中点，请在图中画出当取得最小值时的点，简单写出点的做法，不需要证明； (2)如图，为对角线上一动点，为边上一动点，若的最小值为，这个值恰好与（1）中的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形； (3)在（2）的条件下，如图所示，若点是的中点，点为线段上的动点，在绕着点旋转过程中，点的对应点是，直接写出、两点间的距离的最大值和最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)、两点间的距离最小值为；、两点间的距离最大值为 【分析】（1）连接，交于，当点在处时，最小； （2）作于，交于，此时最小，最小值是的值，由（1）知，是的中点，，根据四边形是菱形得出，从而得出是等边三角形，进一步得出结果； （3）作于，以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上），进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图， 连接，交于， 当点在处时，最小； （2）解：如图， 作于，交于，此时最小，最小值是的值， 由（1）知， 是的中点， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ； 菱形的边长为； （3）解：如图， 作于， 以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上）， 由（2）知， ， ， 当点在处时，、两点间的距离最小，距离为：， 当点在点处时，、两点间的距离最大，最大为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 6．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，在等边中，，点、分别在边、上，且，你能求出线段长度的最小值吗？ 思路分析：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．这样就把求线段的最小值转化成求线段的最小值． 问题解决： (1)求的度数； (2)则线段的最小值为_______． 应用：如图，某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，图是它的示意图，已知是等腰三角形，四边形是长方形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上． 在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为__________米． 【答案】(1)； (2)；应用：． 【分析】（）过点作交于点，过点作交的延长线于点，作射线，过点作于点，先求出，证明四边形是平行四边形得，，进而得，则，然后根据三角形内角和定理即可求出的度数； （）先在中，根据，，得，由 （）可知，则当最小时，为最小，根据“垂线段最短”得当时，为最小，则当点与点重合时，为最小，最小值是线段的长，由此即可得出线段的最小值； 应用: 连接，过点作于点，交于点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，作射线，过点作于点，先求出，证明四边形是平行四边形得，，进而得，由三角形内角和定理得，根据得当最小时，为最小, 再根据“垂线段最短”得当时，为最小，最小值是线段的长，根据等腰三角形和矩形的性质分别求出米，米，米，米，再由勾股定理得米，再求出，得，继而得是等腰直角三角形，由勾股定理得米，由此即可得出最小值. 【详解】（1）解：过点作交于点，过点作交的延长线于点，作射线，过点作于点，如图所示: ∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：∵于点， ∴是直角三角形， 在 中，，， ∴， 由（）可知， ∴当最小时，为最小， ∵点在射线上运动，根据“垂线段最短”得：当时，为最小， ∴当点与点重合时，为最小，最小值是线段的长， ∴的最小值是， ∴线段的最小值为， 故答案为：； 应用：连接，过点作于点，交于点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，作射线，过于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时，为最小， ∵点在射线上，根据“垂线段最短”得：当时，为最小， ∴当点与点重合时，为最小，最小值是线段的长， ∴的最小值是线段的长， 在矩形中，米，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，，， 在中，米，， ∴米， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 在中，（米）， 由勾股定理得：（米）， ∵，， ∴， ∵米， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴（米）， ∴的最小值是米， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，垂线段的性质，等边三角形的性质，含有角的直角三角形的性质，勾股定理等知识熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 题型2 根据三角形三边关系求最值 核心原理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边（当且仅当三点共线时，等号成立）。 应用场景：求特殊平行四边形中线段和或差的最值（如动点在对边上运动时，到两个顶点的距离之和的最小值、到两个顶点的距离之差的最大值）。 解题步骤： 1. 转化线段：将动点所在的边与两个顶点的连线转化为三角形的三边。 2. 应用三边关系：根据三角形三边关系，确定线段和的最小值或差的最大值。 1．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是的中点，P是的中点，连接．若，，则线段的最大值是（　　） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质． 连接．由，，得到，从而，由旋转的性质得到，，再根据直角三角形斜边上中线的性质得到，从而根据即可求解． 【详解】解：连接． ∵，，， ∴． ∵点M是的中点， ∴． ∵将绕顶点C逆时针旋转得到， ∴，， ∴点P是的中点， ∴， ∵， ∴的最大值为3． 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点、是坐标轴上的动点，若正方形的边长为2，则线段的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系等知识． 如图，记的中点为，连接，则，由正方形，勾股定理得，，由题意知，，即，然后作答即可． 【详解】解：如图，记的中点为，连接， ∵， ∴， ∵正方形， ∴ ∴由勾股定理得，， 由题意知，，即， ∴线段长的最大值是， 故答案为：． 3．（2025·陕西汉中·二模）如图，在矩形中，，，点是平面内任意一点，连接、，点是的中点，连接，若，则的最大值为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，三角形三边关系，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 如图，延长到，使得，连接，，证明，求出的最大值可得结论． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． ， ， ∵四边形都是矩形， ， ， ∴， ， ， ∴的最大值为 ， ∴的最大值为． 故答案为： ． 4．（24-25八年级下·山东滨州·期末）【课本再现】如图1，在中，M、N分别是、的中点，则线段是的中位线，请叙述三角形的中位线定理：________________； 【触类旁通】如图2，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是________； 【深度发现】已知：如图3，在中，中线，交于点O，F，G分别是，的中点．连接、、、，试判断四边形的形状； 【探索运用】现将一大一小两个三角板按照如图4所示的方式摆放，C、E、B三点在一条直线上（），其中，三角板从图4所示的位置开始绕点B按顺时针方向旋转（旋转角），在三角板旋转的过程中，取的中点G，连接，是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】课本再现：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半   触类旁通：  深度发现：是平行四边形，理由见解析  探索运用： 【分析】课本再现：根据三角形的中位线定理即可得到结论； 触类旁通：由点，，，分别是，，，的中点， 根据中线求得F的面积的面积，同理可得的面积的面积， 的面积的面积，根据三角形的面积公式即可得到结论； 深度发现：由，都是的中线，得到是的中位线，根据三角形中位线定理得到，得到且，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形； 探索运用：取中点， 连接、， 由是中点，得到，根据直角三角形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】课本再现：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半， 故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半； 触类旁通：∵点， ， ， 分别是， ，， 的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线， 是的中线，是的中线， ∴的面积 的面积的面积的面积， 同理可得的面积的面积， 的面积的面积， 又∵是的中位线， ∴的面积的面积， 的面积， 的面积， 故答案为：； 深度发现：证明： ∵ ，都是的中线， ∴是 的中位线， ， ∵，分别是，的中点， ， 且 ， ∴四边形是平行四边形； 探索运用：取中点， 连接、， 如图： ∵是中点， ， 在中，， ， ， ∵是斜边上中线， ， 当、、不在同一直线上时， ， 当在线段上时，， ， ∴、、三点共线时， 最大值． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了三角形中位线定理，三角形的中线，三角形的面积的计算，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 5．（23-24八年级下·山东济南·期末）阅读下面材料： 我遇到这样一个问题：如图，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，求证：，我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上，他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题，他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． 参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： (1)在图中，的度数是___________； (2)如图，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度； (3)如图，中，，，以为边作正方形，连接．当___________时，线段有最大值，并求出的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)，最大值为． 【分析】（）根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，然后求出，再根据计算即可得解； （）过点作交的延长线于点可得四边形是正方形，然后设，根据上面的结论表示出，再求出，然后在中, 利用勾股定理列式进行计算即可得解； （）过点作，取，连接，，推导出，由可证，可得，当三点共线时，取最大值． 【详解】（1）根据旋转知: ， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 故答案为：； （2）过点作交的延长线于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 根据上面结论可知， 设， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）如图，过点作，取，连接，，如图 ∵，，∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴线段有最大值时，只需最大即可， 在中，， 当三点共线时，取最大值，此时， 在等腰直角三角形中，，， ∴， ∵，最大，即最大值为， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 6．（24-25八年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点D、N分别作的平行线，并交于点P，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求证：． （2）的大小为______度，线段长度的最小值为______． 【方法运用】（3）如图③，在菱形中，，，点E、F分别在边上，且，则周长的最小值为______． 【答案】（1）证明见解析；（2），；（3）． 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点分别作的平行线，并交于点，作射线，利用平行四边形的判定与性质得到，利用等量代换的性质即可得出结论； （2）利用正方形的性质，平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可得出结论，再利用垂线段最短的性质和等腰直角三角形的性质解答即可； （3）过点分别作的平行线，并交于点，作射线，利用平行四边形的判定与性质和等式的性质得到，利用菱形的性质和平行线的性质得到，则为等边三角形，利用垂线段最短的性质和含角的直角三角形的性质解答即可求得EF的最小值，利用三角形的周长的定义和等式的性质得到周长，则结论可求． 【详解】（1）证明：过点分别作的平行线，并交于点，作射线，则四边形为平行四边形，如图： ∴， ∵， ∴． （2）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 由题意：点为上一动点， ∴当时，取得最小值， 此时， 根据勾股定理可得：， 解得：， ∵， ∴线段长度的最小值为， 故答案为：，； （3）解：过点分别作的平行线，并交于点，作射线，则四边形为平行四边形，如图： ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由题意：点为上一动点， ∴当时，取得最小值， 此时， ∴, 根据勾股定理可得：, ， ∴的最小值为， 周长， 周长的最小值为， 故答案为：． 题型3 将军饮马求最值 核心原理：两点之间线段最短（通过轴对称变换，将折线转化为直线）。 应用场景：求特殊平行四边形中两条线段和的最小值（如菱形中动点在对角线上，到两条边的距离之和的最小值；矩形中动点在边上，到两个顶点的距离之和的最小值）。 解题步骤： 1. 确定定点与动点：明确两个定点（如菱形的两个顶点）和动点（如对角线上的动点）。 2. 作轴对称变换：作其中一个定点关于动点所在直线的对称点。 3. 连接对称点与另一定点：连接对称点与另一定点，与动点所在直线的交点即为所求动点位置，此时线段长度即为最小值。 1．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，在菱形中，对角线，，点分别是边边上的动点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，对称轴最短路径的计算，勾股定理等知识的运用，掌握菱形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键． 如图所示，在上取一点，使得，连接，，过点作于点，根据菱形的性质可得点关于的对称点为点，，则有，的最小值为的长度，在中，根据勾股定理可得，结合，即可求解． 【详解】解：如图所示，在上取一点，使得，连接，，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴点关于的对称点为点，， ∴， ∴， ∴的最小值为的长度， 设菱形的对角交于点，则， ∴在中，， ∴， ∴， 故选：D ． 2．（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质，正方形性质及等边三角形判定与性质．将绕B逆时针旋转得到，连接，将绕D逆时针旋转得到，连接，连接与，分别交于M，N，证明是，的垂直平分线，再求出，即可得到答案． 【详解】解：将绕B逆时针旋转得到，连接，将绕D逆时针旋转得到，连接，连接与，分别交于M，N，如图： 由旋转可知，，，，，，，，，，， ∴，，，都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵，， ∴在的垂直平分线上，在的垂直平分线上， ∵，， ∴是，的垂直平分线， ∴，， ∴，，四边形是长方形， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在菱形中，对角线，点E，F分别是边的中点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是_______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质．设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小，可得的最小值为的长，证明四边形是平行四边形，可得，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小， ∵四边形是菱形， ∴关于对称，，， ∴，，且点N在上， ∴，即的最小值为的长， ∵E为的中点， ∴N为的中点， ∵，N为中点，F为中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为5． 故答案为：5 4．（2025·河南周口·二模）利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题． 问题提出 （1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小． 的度数是_； 周长的最小值是_． 问题探究 （2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值． 问题解决 （3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值． 【答案】（1），； （2）； （3）米 【分析】根据对称的性质可知：，，所以可知，，从而可得：； 根据对称性质可知，，所以可知是等边三角形，从而可知，线段的长度就是周长的最小值； 过点作于点，延长到点，使，连接，则点与点关于直线对称，连接交于点，则，线段的长度就是的最小值，利用勾股定理求出线段的长度即可； 过点作的垂线交的延长线于点，于的交点即为所求，根据直角三角形的性质可知米，利用可证，根据全等三角形的性质可知，米，利用勾股定理求出米，可得：的最小值是米． 【详解】解：点与点关于对称， ， 点与点关于对称， ， ， ， ， ， 故答案是：； 解：点与点关于对称， ，， 点与点关于对称， ，， ， 由可知， 是等边三角形， ， 的周长是， 周长的最小值是， 故答案是：； 解：如下图所示，过点作于点，延长到点，使，连接， 则点与点关于直线对称， 连接交于点，则， 线段的长度就是的最小值， 是等腰直角三角形，，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， 点是的中点， ， ， 的最小值是； 如下图所示，过点作的垂线交的延长线于点，于的交点即为所求， 四边形为一个矩形， ， ，米， 米， 米， ， 点是矩形的中心， ， ， ， ， 在中， ，， ， 在和中，， ， ，米， 米， 米， 的最小值是米， 米， 的最小值是米． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形的性质、轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是根据轴对称的性质构造全等三角形和直角三角形，利用勾股定理求出边的长度． 5．（24-25八年级上·陕西西安·月考）【问题发现】 （1）如图1所示，将军每天从军营出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的军营开会，为了方便，将军给自己制定了方案，找到了饮马的最佳位置，如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于，点就是所求位置． 直线是点，的对称轴， ． ． 根据“_”可得的最小值是． 【问题探究】（2）如图3，在正方形中，，是边上的一点，且，是上的一个动点，求周长的最小值． 【问题解决】（3）如图4、在长方形中，，，是边上一点，且，点是线段上的任一点，连接，以为直角边在上方作等腰直角三角形，为斜边．连接，边上存在一个点，且，连接，的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）两点之间，线段最短；（2）12；（3）存在，周长最小值为 【分析】（1）根据两点之间线段最短可得答案； （2）连接，，利用正方形的性质、勾股定理可得出A、C关于对称，，，则周长=，当E、F、C三点共线时，周长最小，即可求解； （3）如图，过F作于G，交于K，过于H，交于O，过M作于N，交于，根据矩形的性质和勾股定理可求出，，证明四边形是矩形，得出，，结合是等腰直角三角形，可证明，得出，同理可证四边形是矩形，可求出，同理可证是矩形，可求出，证明是等腰直角三角形，得出，根据勾股定理可求出，则可判断；垂直平分，得出，则，当P、F、N三点共线时，最小，最小值为，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：（1）直线是点，的对称轴， ． ． 根据“两点之间，线段最短”可得的最小值是， 故答案为：两点之间，线段最短； （2）连接，， ∵在正方形中，， ∴，，A、C关于对称， ∴，， ∴ ∴周长=， 当E、F、C三点共线时，的周长最小，最小值为； （3）如图，过F作于G，交于K，过于H，交于O，过M作于N，交于， 在长方形中，，， ∴，， 又， ∴， ∴， 又 ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 又是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 同理可证四边形是矩形， ∴，， ∴， 同理可证是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴当P、F、N三点共线时，最小，最小值为， 又的周长为， ∴的周长最小值为． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，二次根式的化简等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 6．（2025·陕西延安·二模）【问题提出】 （1）如图1，为正方形的对角线，为的中点，为上任意一点，连接，若，则的最小值为___________； 【问题解决】 （2）如图2，是李叔叔家的农场平面示意图，李叔叔欲对该农场进行扩建，扩建部分为，其中点在的延长线上，分别为边的中点，在四边形内养殖家禽，为一道栅栏，经测量，米，为两个饲料储存点，其中为的中点，点在上，现要沿，修建两条运输通道，问运输通道的总长度是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，米 【分析】（1）取的中点E，连接，可证明，得到，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，在中，由勾股定理得，则的最小值为； （2）证明四边形是矩形，得到．再证明四边形是菱形；连接交于点，则，互相垂直平分，则当三点共线时，的值最小，即为的长．证明为等边三角形，而米，则米．米，则（米）．的最小值为米． 【详解】解：（1）如图所示，取的中点E，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵为的中点，E为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为； （2）存在， 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形． ， ， 四边形是矩形， ． 四边形是平行四边形， ． 分别为边的中点， ， 四边形是平行四边形． 为边的中点， ， 四边形是菱形； 如图，连接交于点，则，互相垂直平分， ， 当三点共线时，的值最小，即为的长． ， ， 为等边三角形，而米， 米． 为的中点， 米， （米）． 的最小值为米． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键． 7．（24-25八年级下·全国·期中）李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班　李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是_． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【模型迁移】 （4）问题4．如图5，菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 【答案】（1）米；（2）；（3）见解析，；（4）的最小值为 【分析】（1）问题1．作点A关于直线l的对称点，连接，根据勾股定理计算即可； （2）问题2．由于点B与D关于对称，所以连接，与的交点即为P点．此时最小，而是直角的斜边，利用勾股定理即可得出结果； （3）问题3．作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，利用对称的性质得到，则，于是利用两点之间线段最短可判断P点满足条件；先写出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求得P点坐标；利用两点间的距离公式求出即可； （4）问题4．过A作，交于P，连接，利用菱形的性质和勾股定理的知识解答即可． 【详解】解：（1）问题1：作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交于点M， ∴米， 在中，米，米， （米）， ∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米； （2）问题2：如图，连接， 设与交于点P， ∵四边形是正方形， ∴点B与D关于对称， ∴， ∴最小． 即P在与的交点上时，最小，为的长度． ∵中，，，， ∴． 故答案为：． （3）问题3．如图，作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求： 利用对称的性质得到，则，的值最小； A点关于x轴对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴P点坐标为； 的最小值； （4）问题4．过A作，交于P，连接， 此时线段最小，且， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，即， ∴， ∴线段的最小值是． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键． 8．（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）取中点记作点，连接，，，记与的交点为点，连接，，先根据三角形的中位线性质和菱形性质证明点是点E关于的对称点，则，当点F运动到点时，的最小值，即的长， 证明为等边三角形和为等腰三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可求解； （2）在上取点H，使得，连接，证明四边形是平行四边形，得到，在延长线上取点，使得，连接，则，进而利用两点之间线段最短得到的最小值为，然后利用勾股定理求得即可求解； （3）在下方，过C作，且，连接，，证明得到，由，当A、F、P共线时取等号，可得的最小值为的长；过P作于H，延长线于Q，由等腰直角三角形的判定与性质求得，再证明四边形是矩形，得到，，在中利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：取中点记作点，连接，，， 记与的交点为点，连接，， ∵点E，点分别是，边中点， ∴，，， 在菱形中，，, ∴，， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴当点F运动到点时，的最小值，即的长， 在菱形中，，， ∴，则为等边三角形， ∴， ∴，则为等腰三角形， ∵点是边中点， ∴，，即， 又，， ∴，则， 在中，， 又∵，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 在上取点H，使得，连接，则 ∴四边形是平行四边形， ∴， 在延长线上取点，使得，连接，则， ∴，当H、F、共线时取等号， ∴的最小值为， ∵，． ∴中，，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：在下方，过C作，且，连接，， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，当A、F、P共线时取等号， ∴的最小值为的长； 过P作于H，延长线于Q，则， 在中，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、最短路径问题等知识，熟练掌握特殊四边形的性质，添加辅助线得到最小值时动点的位置是解答的关键． 题型4 费马定理求最值 核心原理：在平面三角形中，到三个顶点距离之和最小的点称为费马点。当三角形的每个内角都小于120°时，费马点是三角形内与各边张角均为120°的点；当三角形有一个内角大于或等于120°时，费马点是该内角的顶点。 应用场景：求特殊平行四边形中三个顶点到某一点的距离之和的最小值（如菱形中三个顶点到对角线上的动点的距离之和的最小值）。 解题步骤： 1. 确定三角形：将特殊平行四边形中的问题转化为三角形问题 2. 判断三角形内角：若三角形的每个内角都小于120°，则费马点是与各边张角均为120°的点；若有一个内角大于或等于120°，则费马点是该内角的顶点。 3. 构造费马点：通过旋转或作等边三角形，找到费马点的位置。 4. 计算最小值：利用旋转后的线段长度计算费马点到三个顶点的距离之和。 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，，可证是等边三角形，得到，当点四点共线且时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当点四点共线且时，取得最小值， ∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，将绕点顺时针旋转得到，得到是解题的关键． 2．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题． 【详解】解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，，如图所示， 则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′， ∴△APP′是等边三角形， ∴AP=PP′， ∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC， ∵PP′+P′B′+PC≥CB′， ∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值， 即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值， ∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2， ∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB•cos∠BAC=2×cos30°=， ∴CB′=， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想． 3．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）在中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转 为线段． (1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，使得，连接交于点H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，平面内一点P，当最小时，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）作，根据等腰直角三角形的性质与判定，得到，，在中，应用勾股定理，求出的长，根据平行四边形的性质得到的长，根据等腰直角三角形的性质与判定，即可求解， （2）连接，，根据全等三角形的性质与判定得到，，，结合旋转的性质得到，，根据平行四边形的判定得到，，根据平行四边形的性质得到的长度，即可求解， （3）将绕点顺时针旋转，得到，由旋转的性质可得，根据两点之间线段最短，得到，当在线段上时取得最小值，作， 根据等腰直角三角形的判定与性质，得到，在中，应用勾股定理得到，，，，由，得到， 在中，得到，在中，得到，，根据，即可求解， 本题考查了，平行四边形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：通过旋转得到． 【详解】（1）解：过点作，交延长线于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：， （2）解：连接，， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， （3）解：将绕点顺时针旋转，得到，连接， 由旋转的性质可得，，，， ∴， ∴，当在线段上时取得最小值， 延长与延长线交于点，过点作于点，连接， 由旋转的性质可得，，， ∵， ∴，， ∴， 在中，，，， ∵，即：，解得：， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）【阅读材料：】如图①，中，各个内角均小于，在内找一点O，使，此时；最小；这个点O称为的费马点，的值称为的费马距离；（费马，17世纪法国数学家） 【费马点的求作及原理：】如图②，在的外侧作等边、等边，连接交于点O，这个交点O就是的费马点； 作图原理：小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明： 小明的部分证明思路：第一步，先证明，…进而得出，第二步，连接，并在线段上取一点Q，使；…进而得出 第一步：____________________； 第二步：____________________． 【费马距离的计算：】连接． （1）证明：； （2）当时，求的费马距离． 【答案】第一步：见解析；第二步：见解析；（1）见解析；（2）的费马距离为 【分析】作图原理：第一步：先证明，进而得出；第二步：连接，并在线段上取一点Q，使；进而得出，即可解决问题； （1）由第二步可得，所以，根据是等边三角形，即可解决问题； （2）过点D作交延长线于点G，证明，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题． 【详解】解：作图原理：证明：第一步： ∵等边、等边， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 第二步：如图②，连接，在线段上取一点Q，使， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （1）证明：由第二步可知：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，过点D作交延长线于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的费马距离为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是理解费马距离定义． 5．（22-23九年级下·北京海淀·月考）如图（1），P为所在平面上一点，且，此时的和最小，称为的费马距离．    (1)若点P是等边三角形三条高的交点，点P　　（填是或不是）该三角形的费马点． (2)如图（2），分别以、为边向外作正和正，和相交于P点．求证：P点为的费马点． (3)若图（2）中，，，，则的费马距离＝　　． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)b 【分析】（1）利用等边三角形的性质，结合三线合一性质，根据费马点满足的条件证明判断即可． （2）根据费马点满足的条件，三角形的相似证明判断即可． （3）在上取一点T，使得．利用等边三角形和三角形全等证明计算即可． 【详解】（1）解：如图1所示：    ∵，是的高线， ∴平分． 同理：平分，平分． ∵为等边三角形， ∴． ∴． 同理：，． ∴P是的费马点． 故答案为：是． （2）设交于点F，如图2所示：    ∵与都为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴P点为的费马点． （3）如图2﹣1中，在上取一点T，使得．    ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是正三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：b． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 6．（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图（1），P为所在平面上一点，且，则点P叫做的费马点． (1)如果点P为锐角的费马点，且．求证：； (2)如图（2），在锐角外侧作等边，连接．求证：过的费马点P，且． (3)已知锐角，，请利用直尺和圆规在图上做出的费马点（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）先证明，再根据两个角对应相等的两个三角形相似，即可证明结论； （2）在上取点P，使，连接，再在上截取，连接．由此可以证明为正三角形，再利用正三角形的性质得到，，，而为正三角形，由此也可以得到，，现在根据已知的条件可以证明，然后利用全等三角形的性质即可证明题目的结论； （3）以点B、C为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，连接，以点A、B为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接，则、的交点即为所求． 【详解】（1）解：为锐角的费马点，且， ， ，， ∴， ∴． （2）证明：在上取点P，使，连接，再在上截取，连接． ∵， ∴， ∴为正三角形， ∴，，， ∵为正三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴P为的费马点． ∴过的费马点P，且． （3）解：点P即为所求作的点，如图所示： 连接、、、， 根据作图可知：、为等边三角形， 根据解析（2）可知：费马点在、上， ∴与的交点P即为费马点． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定和性质及三角形内角和为等知识；此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数． / 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题04特殊平行四边形中的最值问题 根据垂线段最短求最值 根据三角形三边关系求最值 特殊平行四边形中的最值问题 将军饮马求最值 费马定理求最值 /00 德点鱼破 题型1根据垂线段最短求最值 啸方法 核心原理：从直线外一点向这条直线所引的所有线段中，垂线段最短（垂线段的长度是该点到直线的最短 距离)。 应用场景：求特殊平行四边形中点到直线的最短距离（如菱形、矩形中某点到对边的距离）、线段和的最小 值（如动点在对边上运动时，到两条线段的距离之和的最小值）。 解题步骤： 1.确定目标点与直线：明确需要求最短距离的点（如动点）和对应的直线（如对边、对角线）。 2. 构造垂线段：过目标点作目标直线的垂线，垂足为某点（如菱形中过顶点作对边的垂线）。 3. 计算垂线段长度：利用特殊平行四边形的性质（如菱形的对角线互相垂直平分、矩形的四个角为直角）， 结合勾股定理或面积公式求垂线段长度。 1.(23-24八年级下江苏宿迁期中)如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，且AC=2,正 方形A'B'CD'的顶点与点O重合，边A'D'与OD重合，将正方形A'B'C'D'绕点A顺时针旋转90°， AB与边BC交于点E,A'D'与边CD交于点F,连接EF交OC于点G,在整个运动过程中，则点G经 过的路径长是() 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D F G E B A.1 B. 2 D.√2-1 2.(24-25九年级上广东深圳期中)如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正 方形DEFG,M是CD的中点，连接GM,若正方形ABCD的边长为8，则GM的最小值为() D G M E B A.2 B.2V5 C.25 D.4 3.(2024天津滨海新区·二模)如图，四边形ABCD是正方形，边长为6，M是AD边上的动点，在正方形 ABCD的外侧以AM为边作正方形AMEF,连接BE,若N为BE的中点，连接MN,则线段MN的最小 值为 D E M A B 4.(24-25八年级下·江苏宿迁期末)四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一动点，连接DE,BE.过 点E作EF⊥DE交直线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG, 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图1 备用图 (I)求证：矩形DEFG是正方形； (2)若AB=4,CG=√2，求正方形DEFG的边长； (3)点E关于DC的对称点为P,连接DP、AP,若DP+AP的最小值为210， ①求AB的长为 ②正方形DEFG的面积的最小值为 5.(24-25八年级下·福建期中)如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于0点， D C C 图① 图② 图③ (1I)若F为对角线BD上一动点，E是AD的中点，请在图①中画出当EF+AF取得最小值时的点F,简 单写出点F的做法，不需要证明； (2)如图②，M为对角线BD上一动点，N为边AD上一动点，若MN+AM的最小值为3√3，这个值恰 好与(1)中EF+AF的最小值相等，求菱形的边长（要求画出必要的图形）； (3)在(2)的条件下，如图③所示，若点P是OB的中点，点Q为线段AD上的动点，在△ACD绕着点O 旋转过程中，点Q的对应点是g,直接写出P、g两点间的距离的最大值和最小值 6.(24-25八年级下山东青岛·期末)如图①，在等边ABC中，AB=5,点M、N分别在边AC、BC上， 且AM=CN,你能求出线段MW长度的最小值吗？ 思路分析：过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P,作射线AP.这样就把求线段MN的最 小值转化成求线段CP的最小值， / 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 钢丝绳 图① 图② 图③ 图④ 问题解决： (1)求∠CAP的度数； (②)则线段MN的最小值为 应用：如图③，某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，图④是它的示意图，己知 ABC是等腰三角形，四边形BCDE是长方形，AB=AC=CD=4米，∠ACB=30°，MN是一条两端点 位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上 在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM=DN.钢丝绳MN长度的最小值为 米。 题型2根据三角形三边关系求最值 城方法 核心原理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边（当且仅当三点共线时，等号成立）。 应用场景：求特殊平行四边形中线段和或差的最值（如动点在对边上运动时，到两个顶点的距离之和的最 小值、到两个顶点的距离之差的最大值)。 解题步骤： 1.转化线段：将动点所在的边与两个顶点的连线转化为三角形的三边。 2.应用三边关系：根据三角形三边关系，确定线段和的最小值或差的最大值。 1.(25-26九年级上·山东淄博·月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将ABC绕顶点C逆时针旋转 得到△A'B'C,M是BC的中点，P是A'B的中点，连接PM.若BC=2,∠BAC=30°，则线段PM的 最大值是() 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A P B 以 A.4 B.3 C.4V6 D.42 2.(24-25八年级下山东济宁期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的两个顶点A、B是坐标 轴上的动点，若正方形的边长为2，则线段0C的最大值是· B A 3.(2025陕西汉中.二模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点M是平面内任意一点，连接AM、 DM,点N是AM的中点，连接BN,若DM=4,则BN的最大值为· B 4.(24-25八年级下·山东滨州期末)【课本再现】如图1，在ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，则 线段MN是ABC的中位线，请叙述三角形的中位线定理： 【触类旁通】如图2，△EFG的面积是10，点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点，则 ABC的面积是 【深度发现】已知：如图3，在ABC中，中线BE,CD交于点O,F,G分别是OB,OC的中点.连 接DF、FG、EG、DE,试判断四边形DFGE的形状； 【探索运用】现将一大一小两个三角板按照如图4所示的方式摆放，C、E、B三点在一条直线上 (∠B=30°)，其中AC=BD=4,三角板DEB从图4所示的位置开始绕点B按顺时针方向旋转(0°<旋 转角<150°)，在三角板DEB旋转的过程中，取AD的中点G,连接CG,CG是否存在最大值？若存在， 请求出CG的最大值；若不存在，请说明理由. 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B G B D 图1 图2 图3 E 图4 图5 5.(23-24八年级下·山东济南期末)阅读下面材料： 我遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF=45°，连 接EF,求证：DE+BF=EF，我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段 集中到同一条线段上，他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题，他的方 法是将ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG(如图2)，此时GF即是DE+BF. B 图1 图2 图3 图4 参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： (1)在图2中，LGAF的度数是 (2)如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(AD>BC),∠D=90°，AD=CD=10,E是CD上一点， 若∠BAE=45°，DE=4,求BE的长度； (3)如图4，ABC中，AC=2,BC=3,以AB为边作正方形ADEB,连接CD.当∠ACB= 时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值 6.(24-25八年级下·吉林长春·期末)【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正 方形ABCD中，AB=2,点M、N分别在边AD、CD上，且DM=CN,试探究线段MN长度的最小值. 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 运动路径，进而解决上述几何问题， 【问题解决】如图②，过点D、N分别作MN、AD的平行线，并交于点P,作射线CP.在【问题呈现】 的条件下，完成下列问题： 图① 图② 图③ (1)求证：NC=NP. (2)∠DCP的大小为度，线段MN长度的最小值为 【方法运用】(3)如图③，在菱形ABCD中，AB=2,LA=60°，点E、F分别在边AD、CD上，且 DE=CF,则△DEF周长的最小值为· 题型3将军饮马求最值 啸方法 核心原理：两点之间线段最短（通过轴对称变换，将折线转化为直线）。 应用场景：求特殊平行四边形中两条线段和的最小值（如菱形中动点在对角线上，到两条边的距离之和的 最小值；矩形中动点在边上，到两个顶点的距离之和的最小值)。 解题步骤： 1. 确定定点与动点：明确两个定点（如菱形的两个顶点）和动点（如对角线上的动点）。 2.作轴对称变换：作其中一个定点关于动点所在直线的对称点。 3. 连接对称点与另一定点：连接对称点与另一定点，与动点所在直线的交点即为所求动点位置，此时线 段长度即为最小值。 1.(24-25九年级上·广东佛山期中)如图，在菱形ABCD中，对角线BD=12,AC=16,点E、F分别是 边AB、BC边上的动点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在EP+FP的最小值，则这个最小值是() D E A.2.4 B.4.8 5 D.9.6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(2026四川成都一模)阅读材料：如图1，己知正方形ABCD中，M为对角线BD上一点，则将△ABM 绕点B逆时针旋转6O得到△FBG,则AM+BM+MC的最小值是线段FC的长度.根据阅读材料所提供 的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形ABCD中有任意两个点P、Q,则 AP+BP+PQ+DQ+CQ的最小值是· D D 图1 图2 3.(24-25八年级下江苏扬州期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC=8,BD=6,点E,F分别是边 AB,BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 D 4.(2025·河南周口·二模)利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单 的对称问题.具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的.然 后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题.请 据此解答下面的问题。 问题提出 (1)如图1，已知∠A0B=30°，P是∠AOB内一点，OP=6,点M,N分别是OA,OB边上的动点（不 与点O重合)，求△PMN周长的最小值.我们可以分别作点P关于OA,OB的对称点P,B,然后连接 ?,,PP与OA,OB有两个交点，当M、N分别与这两个交点重合时，如图2，aPMN周长最小. ①∠POP的度数是； ②△PMN周长的最小值是_· 问题探究 (2)如图3，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2,点D是AC的中点.在AB上取点P,连接 DP,CP,试求DP+CP的最小值. / 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 问题解决 (3)如图4，四边形ACBD为一个矩形绿地，点O为矩形ACBD的中心，通过测量得∠BAC=30°， BC=20米，在绿地边AC上存在一点P,使得P0+BP+OB的值最小.请直接写出这个最小值. P 0 N B 图1 图2 图3 图4 5.(24-25八年级上陕西西安·月考)【问题发现】 (1)如图1所示，将军每天从军营A出发，先到河边1饮马，再去河岸同侧的军营B开会，为了方便， 将军给自己制定了方案，找到了饮马的最佳位置，如图2，作B关于直线的对称点B,连接AB'与直线 交于C,点C就是所求位置 B D A E 直线I是点B,B的 图1 图2 图3 图4 对称轴， .CB=CB'. :AC +CB=AC+CB'. 根据“”可得AC+CB的最小值是AB'. 【问题探究】(2)如图3，在正方形ABCD中，AB=8,E是AB边上的一点，且AE=2,F是BD上 的一个动点，求△AEF周长的最小值， 【问题解决】(3)如图4、在长方形ABCD中，AB=120,AD=220,P是CB边上一点，且CP=100, 点E是线段CD上的任一点，连接EP,以EP为直角边在BC上方作等腰直角三角形EPF,FE为斜边.连 接AP,AP边上存在一个点M,且AM=40√，连接FM,△PFM的周长是否存在最小值？若存在， 请求出周长最小值；若不存在，请说明理由 6.（2025·陕西延安·二模)【问题提出】 / 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (I)如图1，BD为正方形ABCD的对角线，N为BC的中点，M为BD上任意一点，连接CM,MN, 若AB=2,则CM+MN的最小值为 【问题解决】 (2)如图2，△BCG是李叔叔家的农场平面示意图，李叔叔欲对该农场进行扩建，扩建部分为口ABCD, 其中点D在GC的延长线上，E,F分别为边AD,BC的中点，在四边形AECF内养殖家禽，AC为一道 栅栏，经测量，AC∥BG,BG⊥DG,CE=180米，∠AFC=120°，P,H为两个饲料储存点，其中H为 CE的中点，点P在AC上，现要沿PE,PH修建两条运输通道，问运输通道的总长度(PE+PH)是否 存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由. 7.(24-25八年级下·全国期中)李明酷爱数学，勤于思考，善于反思.在学习八年级下册数学知识之后， 他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路 径长”等问题，提供了具体的数学方法.于是他撰写了一篇数学作文.请你认真阅读思考，帮助李明完 成相关问题 “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的将军饮马”问题： 将军从A地出发到河边1饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ ·B A 【数学模型】如图1，A,B是直线1同旁的两个定点.在直线1上确定一点P,使PA+PB的值最小. 【问题解决】作点A关于直线I的对称点，连接A'B交I于点P,则点P即为所求.此时，PA+PB的 值最小，且PA+PB=PA'+PB=A'B·