微专题2 勾股定理与方程思想在矩形中的应用-【练测考】2025-2026学年八年级下册数学（鲁教版五四制）

第六章特殊平行四边形 微专题二勾股定理与方程思想在矩形中的应用 应用一矩形十折叠 5.四边形ABCD为矩形，AD=12,AB>AD, 1.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=5,点 线段AB上有一动点E,连接DE,将△DEA E是AB上一点，沿DE折叠矩形，BC边恰 沿DE折叠得到△DEA'. 好经过点A,则BE的长是 A.2 b.2 C.√3 D.2 图1 图2 B------- (1)如图1，若AB=16,当点A'落在BD上 时，求AE的长； (2)如图2，G,H,K分别是线段AD,A'D, A'E的中点，当点E在AB边上运动时， B 第1题图 第2题图 ∠GHK的度数是否会发生变化？若不变， 2.(2024·淄博模拟)如图，在平面直角坐标系 求出这个度数；若变化，请说明理由 中，矩形ABCO的边CO,OA分别在x轴， y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折 叠，点B恰好落在边OC上的F处.若OA= 8,CF=4,则点E的坐标是 () A.(-10,3) B.(-9,3) C.(-10,2.5) D.(-9,2.5) 3.[教材P29复习题T14变式]如图，矩形 ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折 叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC 的面积为 A.6 B.8 C.10 D.12 D 第3题图 第4题图 4.如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后， 恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH,EH=3cm,EF=4cm,则矩形 ABCD的周长为 A.18 cm B.18.4cm C.19.6cm D.20 cm 数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。一恩格斯 15 练测考八年级数学下册LJ 应用二矩形十垂直平分线 应用三矩形十角平分线 6.(2024·济南长清区期中)如图，AC是矩形 9.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且 ABCD的对角线，分别以点A,C为圆心，以 EC平分∠BED,AB=1,∠ABE=45°，则 BC的长为 () 大于，AC的长为半径画弧，两弧交于点E, A.√2 B.1.5 C.3 D.2 F,直线EF交AD于点M,交BC于点N, 若AM=8,DM=2,则边AB的长为() A.6 B.10 C.20 D.60 E￥ 第9题图 第10题图 10.如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=8,连接 B AC,以点C为圆心，以任意长为半径作弧， 分别交AC,CD于点E,F;分别以点E,F 第6题图 第7题图 7.[教材P20习题6.6T1变式]如图，在矩形 ABCD中，AE⊥BD,垂足为点E,若BE= 为圆心，以大于EF长为半径作孤，两弧 OE=1cm,则∠AOB= °，S矩形ABCD= 相交于点P;作射线CP,交AD于点H.则 △ACH的面积为 cm2. 11.如图，矩形ABCD中，∠ABD,∠CDB的 8.(2024·东莞校级模拟)如图，矩形ABCD 平分线BE,DF分别交边AD,BC于点 中，过对角线BD的中点O作BD的垂线 E.F. EF,分别交AD,BC于点E,F,连接 (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； BE,DF. (2)当四边形BEDF是菱形时，∠ABD= (1)求证：△BOF≌△DOE; 60°，ED=2,求BD的长. (2)若AB=4,AD=8,求四边形EBFD的 周长 16 数学是一切知识中的最高形式。一柏拉图,∴.四边形EDFB是矩形， ∴.EF=BD. BD的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即4.8， ∴.E℉的最小值为4.8. 故选B. 7.C解析：如图，作AG⊥ED于点 G,交BC于点F. 四边形BCDE是矩形， ∴.∠FBE=∠BEG=∠FGE=90, BC∥ED,BC=ED,BE=CD, .四边形BFGE是矩形，∠AFB= ∠FGE=90°， .FG=BE=CD,AF⊥BC, S-S-S,=2ED·AG-2BE·EBG-2CD·DG= 2ED·AG-2FG·ED-2BC·AF=Sm, ∴只需知道S△Ac,就可求出S-S1-S2的值， 故选C. 8.B解析：如图，连接OE ,四边形ABCD是菱形，AC 10,BD=24, ..OA=OC=5,OB=OD=12, AC⊥BD. 在Rt△AOD中，AD=√AO+DO2=13. 又.E是边AD的中点， 0E=7AD=号×13=6.5 1 .EF⊥BD,EG⊥AC,AC⊥BD, .∠EFO=∠EGO=∠GOF=90°， ∴.四边形EFOG为矩形， .FG=OE=6.5.故选B. 9.6 10.(1)证明：BE=CF, ..BE+CE=CF+CE,BC=EF ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.ADBC,AD=BC,∴.AD=BC=EF 又，ADEF,∴.四边形AEFD为平行四边形. ,AE⊥BC,.∠AEF=90°， ∴.平行四边形AEFD为矩形. (2)解：由(1)知，四边形AEFD为矩形， ..DF=AE,AF=DE=20E=4. ,AB=3,AF=4,BF=5, :.AB2+AF2=BF2, ∴△BAF为直角三角形，∠BAF=90°， ∴SaAe=AB·AF=合BF·AE, ∴AB·AF=BF·AE,即3×4=5AE, AE-号DF=AE-是 11.解：(1)四边形PECF是矩形. 理由：在△ABC中，AC=3,BC=4,AB=5, ∴.AC2+BC2=32+4=52=AB2, ∠ACB=90°. :PE⊥AC,PF⊥BC, .∠PEC=∠ACB=∠CFP=90°， 四边形PECF是矩形 (2)CM的长度会改变. 如图，连接PM由(1)知，四边 形PECF是矩形，则M为PO 的中点CM=PC 过点C作CD⊥AB于点D.CD=AC:BC-2=2.4. AB 5 ,点P在斜边AB上（不与A,B重合）， .CD≤PC<BC..PC的变化范围是2.4≤PC<4. .CM的变化范围是1.2CM2. 微专题二 勾股定理与方程思想 在矩形中的应用 1.B 2.A解析：由题意，得BC=OA=8. 设CE=a,则BE=8-a, 由折叠，可得EF=BE=8一a. ∠EC℉=90°，CF=4,∴a2+4=(8-a)2,解得a=3. AB=6,.'.AF=OC=6...OF=6-4. :∠AOF=90°，∴b2=(b-4)2+82,解得b=10, ∴.点E的坐标为（一10,3） 故选A. 3.C解析：·四边形ABCD是矩形， ∴.ABCD,..∠DCA=∠BAC. 由折叠的性质，可知∠DCA=∠D'CA, .∠CAF=∠D'CA,.FA=FC. 在Rt△BFC中，BF+BC2=CF2,即(8-AF)2+42= AF2,解得AF=5, 则△AFC的两积=号XAFXnc-合X5X4=I0 故选C 4.C 5.解：(1)设AE=x 四边形ABCD为矩形，AD=12,AB=16, ∴.BE=16-x,BD=√122+162=20. ,将△DEA沿DE折叠到△DEA', ..A'E=AE=x,A'D=AD=12, ∴.BA'=20-12=8. 在Rt△A'EB中，A'E2十A'B2=EB2, 即x2+82=(16-x)2,解得x=6,∴.AE=6. (2)当点E在AB边上运动时，∠GHK的度数不会发生变 化，∠GHK=90. 理由如下： 如图，连接AA',与DE交于点O,设DO D 与GH交于点P, 由题意，知∠DOA'=90. ,G,H,K分别是线段DA,DA',EA'的 中点， .GH∥A'O,HKDE,∴.DO⊥HG,∠DPH=90 HKDE,∴.∠GHK=90. 6.D解析：如图，连接CM. 由作图可知，MN垂直平分线段AC .∴.MA=MC=8. 四边形ABCD是矩形，.∠D=90° 在Rt△CDM中，CD2+DM=CMP, 即CD2+22=82,得CD=√60. 由四边形ABCD是矩形，得AB=CD=√60 故选D. 7.604√3解析：.BE=OE=1cm,AE⊥BD, ∴.OB=2cm,AE是BO的垂直平分线，.AB=AO. ,四边形ABCD是矩形，.AC=BD,AO=CO,BO=DO, ,∴.AO=BO=AB=2cm, .△ABO是等边三角形，∠AOB=60. 由勾股定理，得AE2十BE2=AB2,即AE2+12=22, 则AE=√3cm, Sam号×2X5=5(am 根据三角形等底等高面积相等，则矩形ABCD的面积= 4S△ABo=4W3cm. 8.(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.ADBC,∴.∠OED=∠OFB. O是BD的中点，.OD=OB, 在△DOE和△BOF中， ∠OED=∠OFB,∠DOE=∠BOF,OD=OB, ∴.△DOE≌△BOF(AAS). (2)解：ADBC,点E,点F分别在AD,BC上， ..DE//BF. △DOE≌△BOF,.DE=BF, ∴.四边形BFDE是平行四边形. .EF⊥BD,.四边形BFDE是菱形 ..BE=DE=BF=DF. ∠A=90°，AB=4,AD=8, ,∴.AB2+AE2=BE2,AE=8-DE=8一BE ∴.4+(8-BE)2=BE2,解得BE=5, ..BE+DE+BF+DF=4BE=4X5=20, .四边形EBFD的周长为20. 9.A解析：，四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC,∴.∠DEC=∠BCE. ,EC平分∠DEB,∴∠DEC=∠BEC, .∴.∠BEC=∠ECB,∴.BE=BC. ,四边形ABCD是矩形，.∠A=90. ∠ABE=45°，.∠ABE=∠AEB=45, ..AB=AE=1. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE2=AB2+AE, 即BE2=12+12,则BE=2 ∴.BC=√2.故选A. 10.15解析：：四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC=8,CD=AB=6,∠ADC=90° 由勾股定理，可得AB2+BC2=AC2,即62十82=AC2,则 AC=10, 如图，作HQ⊥AC交AC于点Q. 由作图可知CP是∠ACD的平分线， 又.∠ADC=∠HQC=90°， ∴.HQ=HD,CQ=CD=6. 设HQ=HD=x, 则AH=8-x,AQ=10-6=4, 在Rt△AHQ中，由勾股定理，可得AQ+HQ=AH, 即42+x2=(8-x)2,解得x=3, Saam=2·AC·HQ=号×10X3=15, 11.(1)证明：四边形ABCD是矩形， .ABDC,ADBC,∴∠ABD=∠CDB. ,BE平分∠ABD,DF平分∠BDC, ∴∠EBD=∠ABD,∠FDB=∠BDC ∴∠EBD=∠FDB,∴.BE∥DF. 又，ADBC,.四边形BEDF是平行四边形. (2)解：，∠ABD=60°，BE平分∠ABD, ∴.∠ABE=∠DBE=30°. 四边形BEDF是菱形，.DE=BE=2, ∠EDB=∠EBD=30°，∴BD=2AB. “∠ABE=30,∠A=90,AE=2BE=1, 则根据勾股定理得AB2十AE2=BE2,即AB2十12=2， 得AB=√3， ∴.BD=2AB=23 滚动练习一(1~2节) 1.C2.D3.D4.60°5.①④ 6.46或106°解析：当F在AB上时，如 图1， ·四边形ABCD是矩形， ∴.OD=OA,∠OAD=∠ODA=38°， .∠AOB=∠ADO+∠DAO=76. 图1 .∠BOF=30°， ∴.∠AOF=∠AOB-∠BOF=46°： 当F在BC上时，如图2， ,四边形ABCD是矩形， .OD=OA,∠OAD=∠ODA=38°， ∴.∠AOB=∠ADO+∠DAO=76°. :∠BOF=30, 图2 ∴.∠AOF=∠AOB+∠BOF=106. 故∠AOF=46°或106. 7.解：四边形BCEF是平行四边形. 理由如下：，四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，DC=AB,DC∥AB, .∠CDF=∠DBA. :∠ECD=∠DBA,.∠ECD=∠CDF,∴.ECBF. AF⊥BD,∠CED=90°，.∠BFA=∠CED=90° ∠CED=∠BFA, 在△ECD和△FBA中，∠ECD=∠FBA, CD=BA. .△ECD≌△FBA(AAS),∴.EC=BF. 又，ECBF,四边形BCEF是平行四边形. 8证明：(1)，四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC,∠B=∠D=90°，ABCD, .∠EAH=∠FCG. 由折叠可得AG=AD,CH=CB,∠CHE=∠B=90°， ∠AGF=∠D=90°，