6.3正方形的性质与判定 同步练习 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2012）数学八年级下册

第六章特殊平行四边形 3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 夯基础 1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 2.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质 ( ) A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线互相垂直 3.如图，在平面直角坐标系中,边长为2 的正方形ABCD 的边AB 在x轴上，AB 的中点是坐标原点O，固定点 A，B，把正方形向左偏移，使点 C 落在y 轴正半轴上点C'处，则点 D 的对应点D'的坐标为 ( ) A. B.(-2,1) C.(-1, D.(-2, 4.如图，四边形ABCD 是正方形,点 E 在 AD 上,连接BE,过点 A 作BE 的垂线交CD 于点 F,点G 为垂足，下列选项中的结论，不正确的是( ) A. AE=DF B.∠DFA=∠AEB C. AG=GF D. S△ABG=S四边形EGFD 5.如图,正方形 ABCD的面积为 144,点 F 在AD 上,点 E 在AB的延长线上,Rt△CEF 的面积为 84.5,则BE 的长为 ( ) A.5 B.6 C.8 D.9 6.如图,三个边长为6 cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分(阴影)的面积为 ( ) A. B. C. D. 7.如图,正方形ABCD的边长为2，其对角线 AC 与 BD 相交于点O,E 是BC 边上一点,F 是 BD 上一点,连接DE,EF.若△DEF 与△DEC 关于直线DE 对称,则ON 的长为 ( ) A.4 B. C. D. 8.如图,正方形 ABCD 的边长为4,点 M 在 DC上,且 DM=1,点 N是AC 上一动点，则 DN+MN 的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.4 9.将两个正方形ABCD,BEFG 如图摆放,点E 在AB 上,点 G 在 BC 上,若两个正方形面积之和为58，AE=4，则图中阴影部分面积是 ( ) A.16 B.18 C.20 D.22 10.如图，正方形ABCD 中,AB=1,点 E,F 分别在边BC,CD 上,∠EAF=45°,连接 AE,EF,AF,下列结论:①BE+DF=EF ②AE 平分∠BEF ③ △CEF 的 周 长 为 2④S△CEF=S△ABE+S△ADF,其中正确结论的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 11.如图,四边形ABCD是正 方形，以CD 为 边 向 外作等边△CDE,BE 与 AC 相交 于 点 M, 则∠AMB 的度数是 . 12.如图,正方形ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,E 是OC 的中点,连接 BE,过点 A作AM⊥BE 于点 M,交 BD 于点 F.若BD=4,则AF 的长为 . 13.如图,在正方形ABCD和正方形CEFG 中,点 D 在CG 上,BC=1,CE=2,若点 H 是AF 的中点,那么CH的长是 . 14.如图，正方形ABCD 中,点 M,N 分别在AB,BC 上,且BM=CN,AN 与DM 相交于点 P. (1)求证:△ABN≌△DAM; (2)求∠APM 的大小. 15.如图，以正方形ABCD 的边CD 为边向外作等边△DCE,AC 和BE 交于点 F,连接 DF. (1)求∠AFD 的度数; (2)求证:AF=EF. 16.如图,在正方形 ABCD 中,E 为 BC 延长线CG 上一点,AE⊥EF,CF 平分∠DCG并交EF 于F. (1)试说明:AE=EF; (2)直接写出 CF 与 BE 的数量关系. 练能力 17.如图,在边长为4 的正方形 ABCD 中,点 P 在对角线 BD 上,连接 AP,过点 P 作 AP 的垂线交边 BC于点Q,交 AB 的延长线于点 E.若EQ=2PQ,则 EP 的长度为 ( ) A.8 B. C.10 D. 18.如图，在正方形 ABCD 中，AB=4,H 为CD 的中点,G,E 分别为AB,AD 边上的点,且 BG=3AG,连接GH,过点 E 作 EF⊥GH 交 BC 于点 F,则 EF 的长为 . 19.有公共顶点 A 的正方形 ABCD与正方形AEGF 按如图1所示放置,点 E,F 分别在边 AB 和AD上,连接 BF,DE,M是 BF 的中点,连接AM 交DE 于点N. 【观察猜想】 (1)线段 DE 与 AM 之间的数量关系是 ，位置关系是 ； 【探究证明】 (2)将图1中的正方形AEGF 绕点A 顺时针旋转45°，点 G 恰好落在边AB 上，如图2，其他条件不变，线段 DE 与AM 之间的关系是否仍然成立?并说明理由； 【拓展应用】 (3)若正方形 ABCD 的边长为 4,将其沿EF 翻折,点 D 的对应点G 恰好落在 BC边上，直接写出 DG +DH 的最小值 第2课时 正方形的判定 夯基础 1.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图,(1)(2)(3)(4)处需要添加条件，则下列条件添加错误的是( ) A.(1)处可填∠A=90° B.(2)处可填AD=AB C.(3)处可填 DC=CB D.(4)处可填∠B=∠D 2.如图, Rt△ABC ≌Rt△DCB, 其 中∠ABC= 90°,AB =3,BC=4,M 为 BC的中点,EF 过点M 交AC,BD 于点E,F,连接 BE，CF，则下列结论错误的是 ( ) A.四边形 BECF 为平行四边形 B.当 BF=3.5时,四边形 BECF 为矩形 C.当 BF=2.5时,四边形 BECF 为菱形 D.四边形 BECF 不可能为正方形 3.下列说法错误的是( ) A.对角线互相垂直的矩形是正方形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的菱形是正方形 D.对角线相等的平行四边形是矩形 4.甲、乙、丙、丁四位同学到工厂实习，工人师傅拿一把尺子要他们帮助检测一个四边形构件是否为正方形，他们各自做了如下检测： 甲量得构件四边都相等； 乙量得构件的两条对角线相等； 丙量得构件的一组邻边相等； 丁量得构件的四边相等且两条对角线也相等. 检测后，他们都说是正方形，你认为说得最有把握的是 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 5.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,BC 的垂直平分线 EF 交 BC于点D,交 AB 于点E,且BE=BF,添加一个条件，仍不能证明四边形 BECF 为正方形的是 ( ) A. BC=AC B. BD=DF C. CF⊥BF D. AC=BF 6.如图,在菱形 ABCD中,AC,BD 相交于点O,AC=a,BD=b(a>b),E,F 分别为OA 和OC 上的点(不与点A,O,C 重合).其中 AE=OF.过点 E作GH⊥AC,分别交 AD,AB 于点G,H;过点 F 作IJ⊥AC 分别交CD,CB 于点J,I；连接GJ，HI，则下列结论正确的个数是( ) ①GH+IJ=b ②四边形GHIJ 的面积等于 ab③当 AE=OE 时,四边形GHIJ为正方形. A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 7.如图，正方形 ABCO 和正方形DEFO 的顶点A,O,E 在同一直线上，且EF=2 ,AB=6,给出下列结论:①OD 平分∠EOC ②CF= ③AE=10④ CF⊥AD,其中正确的是 ( ) A.①②③ B.③④ C.①③④ D.①②③④ 8.如图，在平行四边形ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 E,点G 为AD 的中点,连接CG,CG 的延长线交 BA 的延长线于点 F,连接 DF.当△ABC 满足 时,四边形ACDF 为正方形. 9.如图,在矩形ABCD 中,AC 交 BD 于点O,且 AB=24 cm,BC=10 cm,将 AC 绕点 C 顺时针旋转 90°至CE,连接AE,且 F,G分别为AE,EC 的中点，则四边形OFGC 的面积是 . 10.如图,□ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,且AE∥BD,BE∥AC,OE=CD.若 AD=2,则当四边形ABCD 的形状是 时，四边形AOBE 的面积取得最大值是 . 11.如图,在△ABC 中,AB=AC,BD=CD,AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线,CE⊥AN 于点 E.若 ，则四边形 ADCE 是一个正方形.请从①BD=AD ②∠DAE=90° ③CD=CE.这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由. 12.如图,在矩形 ABCD中,M,N 分别是AD,BC 的中点,P,Q分别是BM,DN 的中点. (1)求证:BM=DN; (2)连接MQ,PN,判断四边形 MPNQ 的形状，并说明理由； (3)矩形 ABCD 的边AB 与AD 满足什么长度关系时，四边形 MPNQ 是正方形?请说明理由. 13.如图,在 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D 是AB 的中点,E,F 分别是AC,BC 上的点(点 E 不与端点A ,C 重合),且AE=CF,连接EF并取EF 的中点O，连接 DO 并延长至点G,使GO=OD,连接DE,DF,GE,GF. (1)求证:四边形 EDFG 是正方形; (2)当点 E 在什么位置时,四边形 EDFG的面积最小?并求四边形 EDFG 面积的最小值. 14.问题提出： (1)如图1,在四边形 ABCD 中∠ABC=90°,对角线 AC⊥BD,AC=BD,E,F,G,H 分别是各边 的中点，求证：四边形EFGH 是正方形. 问题解决： (2)如图 2，某市有一块四边形 土地ABCD,AD=60米,DC=80米,∠ADC是直角，P是该四边形土地内的一点，计划在四个三角 形土 地 △APD,△APB,△BCP,△CPD 中分别种植不同的花草,为了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形ABCD 各边的中点E,F,G,H,然后在四边形 EFGH 的四条边 EF,FG,GH，EH 铺上人行道地砖(人行道宽度不计)，铺设地砖成本为 20 元/米，经测量，AP=BP,CP=DP,∠APB=∠CPD=90°，设计要求是四边形 EFGH 为正方形，请问王师傅的设计方案是否符合要求?若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由. 练能力 15.如图,点 A,B,C 为平面内不在同一条直线上的三个点，点D为平面内一点,线段 AB,BC,CD,DA 的中点分别为M,N,P,Q,在连接M,N,P,Q 组成的凸四边形中，下列叙述正确的是： ①存在无数个这样的凸四边形为平行四边 形 ②这样的凸四边形不可能是菱形 ③仅存在一个这样的凸四边形是矩形 ④恰好存在两个这样的凸四边形是正方形. 16.四边形 ABCD为正方形，点E 为对角线AC 上一点,连接 DE,BE.过点 E 作EF⊥DE,交射线 BC 于点F. (1)如图 1,若点 F 在边 BC 上,求证:DE=EF; (2)如图 2,以 DE,EF 为邻边作矩形DEFG,连接CG,若AB=4,CE=3 求CG 的长度; (3)若矩形 DEFG 的边 DE 与正方形ABCD 一边的夹角是 35°时，直接写出∠EFC 的度数. 第1课时正方形的性质 1. C 2. B 3. D 4. C 5. A 6. B 7. D 8. C解析：由正方形的对称性可知点 B 与D关于直线AC 对称,连接BM 交AC 于N'点,当点 N 与点 N'重合时,DN+MN 的值最小为 BM.在 Rt△BCM 中利用勾股定理求出BM 的长即可. 9. C 10. C 解析:①延长CB 到G,使 BG=DF,连接AG,则 EG=BE+DF,先证△ABG 和△ADF 全等得∠BAG=∠DAF,AG =AF,由此可证∠EAG=∠EAF=45°,进而再证△AEG和△AEF 全等得EG=EF,据此可对结论①进行判断； ②由△AEG≌△AEF 得∠GEA=∠FEA,据此可对结论②进行判断； ③根据BE+DF=EF 得CE+CF+EF=BC+CD=2，据此可对结论③进行判断； ④设DF=a,BE=b,则CF=1-a,CE=1-b,EF=a+b,由勾股定理得. 整理得 ab =1-a-b,则 而 据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案. 11.60° 12. 14.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=AD=BC,∠DAM=∠ABN=90°,∵BM=CN, ∴BC-CN=AB-BM, 即BN=AM, 在△ABN 和△DAM中, ∴△ABN≌△DAM(SAS); (2)由(1)知△ABN≌△DAM, ∴∠MAP=∠ADM, ∴ ∠MAP + ∠AMP = ∠ADM + ∴∠APM=180°-(∠MAP+∠AMP)=90°. 15.解:(1)在△ADF 和△ABF 中, ∴△ADF≌△ABF(SAS). 又∵△DCE 是等边三角形， ∴CE=CD=CB, 2=15°,∠ABF=75°, (2)证明:∵由(1)可得∠ABF=∠ADF=75°,∴∠FDC=15°, ∴∠EDF=75°,∠EDF=∠ADF,在△AFD 和△EFD中, ∴△AFD≌△EFD(SAS),∴AF=EF. 16.解:(1)证明:如图,延长BA 到M,使AM=CE, ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=BC,∠BCD=∠B=90°, ∴∠DCG=90°, ∵CF 平分∠DCG,∴∠FCE=45°, ∵∠AEF=90°,∴∠FEG+∠AEB=90°. ∵∠BAE+∠AEB=90°, ∴∠BAE=∠FEG,∴∠MAE=∠CEF. ∵AB=BC,∴AB+AM=BC+CE,即BM=BE.∴∠M=45°, ∴∠M=∠FCE. 在△AME 和△ECF中, ∴△AME≌△ECF(ASA),∴AE=EF; (2)∵BM=BE,∠B=90°, ∴△BME 是等腰直角三角形， ∵△AME≌△ECF,∴ME=CF, 即CF 与BE 的数量关系为 17. D 解析:过点 P 作 PM⊥AB 于点 M,PN⊥BC 于点 N,设 PQ=a,则 EQ =2PQ=2a,EP=3a,证明四边形 PMBN 是正方形得PM=PN,∠MPN=90°,进而证明△APM 和△QPN 全等得PA=PQ=a,由勾股定理得. 由三角形的面积公式得 继而得 在 Rt△PAM 中,由勾股定理求出 即可得出PE 的长. 18. 解析:分别过点 A、D 作AN∥GH,DM∥EF,分别交CD,BC 于点 N,M,由正方形的性质得出 AB∥CD,AB = CD,∠ADC=∠C=90°,推出四边形AGHN 是平行四边形,HN=AG=1,AN=GH,证出AN⊥EF,同理,四边形 DMFE 是平行四边形,由 ASA 证得△ADN≌△DCM,得出AN=DM，由勾股定理得出AN，即可得出结果. 19.解:(1)∵四边形ABCD 和四边形AEGF 都是正方形， ∴AD=AB,AE=AF,∠DAE=∠BAF=90°, ∴△DAE≌△BAF(SAS), ∴DE=BF,∠ADE=∠ABF, ∵M是BF 的中点, ∴BF=2AM, ∴DE=2AM; ∴AM=BM, ∴∠MAB=∠ABF, ∴∠MAB=∠ADE, ∴∠MAB+∠AEN=∠ADE+∠AEN=90°, ∴∠ANE=90°,∴DE⊥AM,故答案为,DE=2AM,DE⊥AM. (2)成立，理由如下： 如图2,延长AM到点 H,使 HM=AM,连接BH,则AH=2AM, ∵∠BMH=∠FMA,BM=FM, ∴△HMB≌△AMF(SAS), ∴∠MBH=∠MFA,BH=AF=AE, ∴BH∥AF, ∵AF=GF,∠AFG=90°, ∴∠FAG=∠FGA=45°, 同理∠EAG=∠EGA=45°, ∴∠ABH=∠DAE, ∵AB=AD,∴△ABH≌△DAE(SAS), ∴DE=AH=2AM,∠BAH=∠ADE, ∴∠ADE+∠DAN=∠BAH+∠DAN=∠BAD=90°, ∴∠AND=90°,∴DE⊥AM. (3)如图3,延长DC 到点K,使 CK =CD,连接AK 交BC于点L,连接KG,GA, ∵∠BCD=90°, ∴BC⊥DK, ∴BC垂直平分DK, ∴KG=DG,由翻折得 AD= HG,∠ADG=∠HGD, ∵DG=GD, ∴△ADG≌△HGD(SAS), ∴GA=DH,∴DG+DH=KG+GA, ∵KG+GA≥AK,∴DG+DH≥AK, ∴当点G 与点L 重合时,KG+GA=AK,此时KG+GA 的值最小, ∴DG+DH=AK 的值也最小, ∵∠ADK=90°,AD=4,DK=2CD=8, ∴DG+DH 的最小值为4 故答案为：4 第2课时正方形的判定 1. D 2. B 3. B 4. D 5. D 6. B 7. C 解析:①根据正方形性质得∠COE=90°, 进而得∠DOC =∠DOE=45°，由此可对结论①进行判断； ②连接 DF 交OE 于点 P,FD 的延长线交BC 的延长线于点 H，先求出OE=4，进而得 证明四边形OCHP 是矩形得CH=OP=2,PH=OC=6,则FH=8,DH=4,BH=8,再由勾股定理可求出 由此可对结论②进行判断； ③根据OA=6,OE=4得AE=OA+OE=10,由此可对结论③进行判断； ④设CF 与AD 交于点M,AD与OC 交于点N,证明△AOD 和△COF 全等得∠OAD=∠OCF，再由三角形内角和定理得∠AOC=∠CMN=90°,由此可对结论④进行判断,综上所述即可得出答案. 8. AB=AC,∠BAC=90° 9.169 cm² 10.正方形 2 11.解:在△ABC中,AB=AC,BD=CD, ∵AN 是∠CAM 的平分线, ∵AD⊥BC,CE⊥AN, ∴∠ADC=∠CEA=90°, ∴四边形ADCE 为矩形. 选择①BD=AD,∴AD=CD, ∴矩形 ADCE 是正方形. 选择③CD=CE, ∵四边形 ADCE 为矩形, ∴矩形 ADCE 是正方形. 选择②∠DAE=90°,无法证明矩形 ADCE是正方形. 故答案为：①或③. 12.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形, ∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C=90°, ∵M,N 分别是AD,BC的中点, ∴AM=CN, ∴△MBA≌△NDC(SAS),∴BM=DN; (2)四边形MPNQ 是菱形，理由如下：如图，连接MN， ∵四边形ABCD 是矩形, ∴AD=BC,AD∥BC,AB⊥AD, ∵M,N 分别是AD,BC 的中点, ∴四边形ABNM 是平行四边形， 又∵AB⊥AM,∴四边形ABNM 是矩形, ∵P 是BM 的中点,∴MP=PB=PN,同理可得MQ=DQ=NQ, ∵BM=DN,∴MP=PN=MQ=NQ, ∴四边形MPNQ 是菱形; (3)当 AD=2AB 时,四边形 MPNQ 是正方形，理由如下： 如图,连接PQ,AP. 由(2)可知,四边形MPNQ 是菱形,PQ∥AD,∵P,Q分别是AN,DN 的中点, ∴PQ 为△ADN 的中位线, ∴AD=2PQ, ∵AD=2AB,∴PQ=AB, ∵在矩形 ABNM中,MN=AB, ∴MN=PQ,∴菱形MPNQ 是正方形. 13.解:(1)证明:连接CD,如图1所示. ∵△ABC 为等腰直角三角形,∠ACB=90°,D 是AB 的中点, ∴∠A=∠DCF=45°,AD=CD. 在△ADE 和△CDF中, ∴△ADE≌△CDF(SAS), ∴DE=DF,∠ADE=∠CDF. ∵∠ADE+∠EDC=90°, ∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°, ∴△EDF 为等腰直角三角形. ∵OE=OF,OG=OD, ∴四边形 EDFG 为平行四边形， ∵DE=DF, ∴平行四边形EDFG 为菱形， ∵∠EDF=90°, ∴四边形 EDFG 是正方形; (2)过点 D 作 DE'⊥AC 于点 E',如图2所示. ∵△ABC 为等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC=4, 点 E'为AC的中点， (点E 与点 E'重合时取等号). ∴当点 E 为线段 AC 的中点时，四边形EDFG 的面积最小，该最小值为4. 14.解:(1)证明∵E,F,G,H 分别是各边的中点,∴EF∥AC,FG∥BD,EF=GH= AC, ∵AC=BD, ∴EF=HG=EH=FG, ∴四边形EFGH 是菱形, ∵AC⊥BD,∴EF⊥FG, ∴四边形 EFGH 是正方形; (2)符合. 如图,连接AC,BD,AC 与BD 相交于点O. ∵∠APB=∠CPD, ∴∠APC=∠BPD. 在△APC 和 △BPD 中, AP = BP,∠APC=∠BPD,CP=DP, ∴△APC≌△BPD(SAS), ∴AC=BD,∠ACP=∠BDP. ∵∠CPD=90°, ∴∠PDC+∠PCD=90°, ∴∠ODC+∠OCD=90°, ∴∠COD=90°,∴AC⊥BD,由(1)可知,四边形 EFGH 为正方形. ∵AD=60米,DC=80米,∠ADC=90°, ∴由勾股定理,得 AC=100(米),HG= (米),50×4×20=4000(元), ∴铺设地砖所需的费用为4 000元。 15.①④解析:连接AC,BD, ∵AB,BC,CD,DA 的中点分别为M,N,P,Q, ∴PQ∥MN,PQ=MN,QM∥PN,QM=PN, ①当AC 与BD 不平行时,如图1, ∵PQ∥MN,PQ= MN,∴中点四边形MNPQ 是平行四边形， 故存在无数个中点四边形 MNPQ 是平行四边形，故①符合题意； ②当AC=BD 且AC与BD 不平行时,如图2, AC=BD,∴PQ=MN=QM=PN, ∴中点四边形 MNPQ 是菱形， 故存在无数个中点四边形 MNPQ 是菱形，故②不符合题意； ③当AC⊥BD(B,D 不重合)时,如图3, ∵PQ∥MN∥AC,QM∥PN∥BD,AC⊥BD, ∴PQ⊥PN, ∴中点四边形 MNPQ 是矩形， 放存在无数个中点四边形 MNPQ 是矩形，故③不符合题意； ④当AC⊥BD,AC=BD 时,如图4, ∵PQ∥MN∥AC,QM∥PN∥BD,AC⊥BD,∴PQ⊥PN, ∴PQ=MN=QM=PN ∴中点四边形 MNPQ 是正方形， 故存在两个中点四边形 MNPQ 是正方形；故④符合题意. 16.解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,AC 为其对角线， ∴BC=DC,∠BCE=∠DCE, ∵EC=EC, ∴△BCE≌△DCE(SAS), ∴∠EBF=∠EDC,BE=DE. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DCF=90°, ∵DE⊥EF, ∴∠DEF=90°, ∴∠CDE +∠CFE =360°—(∠DCF +∠DEF)=180°, ∵∠CFE+∠EFB=180°, ∴∠EDC=∠EFB, ∴∠EBF=∠EFB, ∴BE=EF, ∴DE=EF; (2)∵四边形 DEFG 为矩形,DE=EF, ∴四边形 DEFG 为正方形, ∴DE=DG, ∵四边形 ABCD 为正方形, ∴AD=DC,∠ADC=90°=∠EDG, ∴∠ADE=∠CDG, ∴△ADE≌△CDG(SAS), ∴AE=CG, ∵AB=4, ∴AC= AB=4 ∵CE=3 (3)当∠ADE=35°时,如图2, ∴∠CDE=90°-∠ADE=55°, ∵∠CDE+∠EFC=180°, ∴∠EFC=125°; 当∠CDE=35°时,如图3, ∵∠DEH=∠HCF=90°,∠DHE=∠CHF, ∴∠EFC=∠CDE=35°, 综上所述,∠EFC=125°或35°. 学科网（北京）股份有限公司 $