6.1 第3课时菱形的性质与判定的综合运用-【练测考】2025-2026学年八年级下册数学（鲁教版五四制）

第六章特殊平行四边形 第3课时 菱形的性质与判定的综合运用 (教材P8一P11内容) ~基础夯实 5.已知平行四边形的两条对角线互相垂直且 1.如图，分别以点A,B为圆心，以大于2AB 长分别为12cm和6cm,那么这个平行四边 形的面积为 的长为半径作弧，两弧相交于C,D两点，连 6.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交 接AB,CD,AC,BC,AD,BD,则下列说法 于点O,AC平分∠BAD,AC=8,BD=6,求 中正确的是 △ABC的周长. A.CD⊥AB,但CD不一定平分AB B.CD垂直平分AB,但AB不一定垂直平分CD C.AC⊥BC且AC=BC D.CD与AB互相垂直平分 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC 交AB于E,DF∥AB交AC于F,若AE 4cm,那么四边形AEDF的周长为() 能力提升 A.12 cm B.16 cm C.20 cm D.22 cm 7.如图，在△ABC中，D,E,F分别是边AB, 3.[教材P8做一做变式]如图，剪两张等宽且 BC,AC的中点，连接AE,DF,要使AE, 对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部 DF互相垂直平分，还需要添加一个条件，这 分构成一个四边形ABCD,其中一张纸条在转 个条件不可能是 动过程中，下列结论一定成立的是( ) A.AE⊥BC A.四边形ABCD周长不变 B.AB=AC B.AD=CD C.AE=BC C.四边形ABCD面积不变 D.AE是△ABC的角平分线 D.AC-BD 8.如图，在菱形ABCD中，对 角线AC,BD相交于点O, 延长CB至E使BE=CD, 连接AE,下列结论： ①AE=2OD;②∠EAC= 第3题图 第4题图 90°；③四边形ADBE为菱 4.如图，四边形ABCD和AECF都是菱形，点E,F 3 在对角线BD上，∠ABC=60°，∠AEC=120°， 形：④S间边形AB0=S芝彩C.其中正确的结 AE=2,则AB= () 论有 ) A.22 B.1+√2C.23 D.1+3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。 一柯普宁 5 练测考八年级数学下册LJ 9.(2024·菏泽鄄城县模拟)如图，在菱形ABCD 12.如图，在平行四边形ABCD中，过对角线 中，∠BAD=120°，CE⊥AD,且CE=BC,连接 AC的中点O作AC的垂线，分别交射线 BE,则∠ABE= () AD,CB于点E,F,连接AF,CE.求证：四 A.45° B.50° C.35 D.15° 边形AFCE是菱形. D 第9题图 第10题图 10.如图，四边形ABCD中，AD∥BC,∠C= 90°，AB=AD,连接BD,作∠BAD的平分 线AE交BD,BC于点F,E.若EC=3, CD=4,那么AE的长为 11.(聊城中考)如图，在四边形ABCD中，AC 素养培优 与BD相交于点O,且AO=CO,点E在 13.[推理能力][教材P11习题6.3T4变式]如 BD上，满足∠EAO=∠DCO. 图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB≠ (1)求证：四边形AECD是平行四边形； CD,BD=AC (2)若AB=BC,CD=5,AC=8,求四边形 (1)求证：AD=BC; AECD的面积. (2)若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD 的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂 直平分 没有任何问题可以向无穷那样深深的触动人的情感，很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富 6 有成果的思想，然而也没有任何其他的概念能向无穷那样需要加以阐明。一希尔伯特9.D10.B 11.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,∠BAD=∠BCD,∴.∠1=∠DCF 在△ABE和△CDF中， AE=CF,∠1=∠DCF,AB=CD, ∴.△ABE≌△CDF(SAS). (2)解：当∠ABE=12时，四边形BFDE是菱形. 理由如下： ,△ABE≌△CDF,.BE=DF,AE=CF,BF=DE, ∴.四边形BFDE是平行四边形 ,∠1=32°，∠ADB=22°， ,∴.∠ABD=∠1-∠ADB=10 :∠ABE=12°，∴.∠DBE=∠ABD+∠ABE=22, ∴.∠DBE=∠ADB=22°，.BE=DE, ∴.平行四边形BFDE是菱形 答案：12 12.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形，∴.OA=OC ,AM=MN,∴.OM是△ACN的中位线，∴.OM/CN. (2).四边形ABCD是平行四边形， ,∴.AD∥BC.,'AD⊥AN,.BC⊥AN AB=AC,∴.BH=CH. 由(1)可知OMCN,.∴.∠MBH=∠VCH. ∠MBH=∠NCH, 在△MBH和△NCH中，BH=CH, ∠BHM=∠CHN, ∴.△MBH≌△NCH(ASA),.MH=NH, ∴.四边形BNCM是平行四边形. 又，BC⊥MN,∴.平行四边形BVCM是菱形. 13.7.8解析：AO=CO=4,B0=DO=3, ∴AC=8,四边形ABCD是平行四边形. AC⊥BD于点O, ∴.平行四边形ABCD是菱形， AD2=A02+D02=4+32,即AD=5, ..CD=AD=5. 连接PD,如图所示」 :'S△ADp+S△cDP=S△Ac, AD·PM+号DC· PN-TAC OD. 即2×5×PM+号X5xPN=2 1 ×8×3, ∴.5×(PM+PN)=8X3, ∴.PM+PN=4.8, .当PB最短时，PM十PN十PB有最小值. 由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短， ∴.当点P与点O重合时，PM十PN十PB有最小值，最小 值为4.8十3=7.8. 第3课时菱形的性质与判定的综合运用 1.D2.B3.B4.C 5.36cm 6.解：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,∴.∠DAC=∠BCA. 又.AC平分∠DAB,.∠DAC=∠BAC, ∴∠BCA=∠BAC,.AB=BC .平行四边形ABCD是菱形， ACLBD.ZAOB-90,AO-AC-4. BO-BD-3, 在Rt△AOB中，由勾股定理，得 AB=√AO+B02=√42+32=5， ∴.AB=BC=5, .△ABC的周长为AB+BC+AC=5+5+8=18. 7.C8.C 9.D解析：在菱形ABCD中，，BC∥AD, ,.∠BAD+∠ABC=180°，且∠BAD=120°， ∴.∠ABC=60°. 文.CE⊥AD,且BC∥AD, ,.CE⊥BC,可得∠BCE=90° 又，'CE=BC, .△BCE为等腰直角三角形，∠CBE=45, ∴.∠ABE=∠ABC-∠CBE=60°-45°=15 故选D. 10.2√5 ∠EAO=∠DCO. 11.(1)证明：在△AOE和△COD中， AO-CO. ∠AOE=∠COD. .△AOE2△COD(ASA),∴.OD=OE. 又AO=CO,∴.四边形AECD是平行四边形. (2)解：：AB=BC,AO=CO .BO为AC的垂直平分线，BOLAC, .平行四边形AECD是菱形. AC-.AC 在Rt△COD中，CD=5, ∴.0D=√CD2-C02=√52-4=3， .DE=2OD=6, 1 1 六S菱形Am=2DE·AC=2×6×8=24, .四边形AECD的面积为24. 12.证明：，四边形ABCD是平行四边形， .ADBC,∠EAO=∠FCO. .AC的中点是O,∴.OA=OC. |∠AOE=∠COF, 在△EOA和△FOC中，AO=CO, ∠EAO=∠FCO, ∴.△EOA≌△FOC(ASA),.OE=OF. 又AO=CO, .四边形AFCE是平行四边形. ,EF⊥AC,.四边形AFCE是菱形 13.证明：(1)如图1，过点B作 A BM∥AC交DC的延长线于点 M,则∠ACD=∠M. .AB//CD, 图1 .四边形ABMC为平行四边形， .'.AC=BM. 又.AC=BD,.BD=BM, .∠M=∠BDC, ,∴.∠ACD=∠BDC 又CD=DC,AC=BD, .△ACD≌△BDC(SAS),∴.AD=BC (2)如图2，连接EH,HF,FG,GE E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD 的中点， .∴.HE∥AD,且HE= AD.RGAD. 图2 且PG=号AD,BG=号BC, ∴.HE∥FG,HE=FG .四边形HFGE为平行四边形 由(1)知AD=BC, ∴.HE=EG,∴.☐HFGE为菱形， ∴.线段EF与线段GH互相垂直平分 微专题一将菱形问题转化成三角形问题 1.B2.C3.B4.D 5.120°解析：E为AB的中点，且DE⊥AB,∴AD=BD. ,四边形ABCD是菱形， .∴.AD=AB=BD,∠ABC=2∠ABD, .△ABD是等边三角形，∴.∠ABD=60° .∴.∠ABC=120°. 6.24解析：，四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD, ∴.四边形ABCD是菱形， ..AB=BC=CD=AD,OB=OD 又，点E为AB的中点，OE=3, .∴.AD=2OE=6, ..菱形ABCD的周长为4×6=24 7.96 8.(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， ∴.OD=OB,OA=OC. .DE=BF...OD+DE=OB+BF,..OE=OF .OA=O℃，.四边形AFCE为平行四边形. (2)解：，AC平分∠EAF,∴.∠EAC=∠FAC ,四边形AFCE为平行四边形，OA=4, .CE∥AF,OC=OA=4, .∠ECA=∠FAC,AC=4+4=8, ∴∠EAC=∠ECA,∴AE=CE,∴.四边形AFCE是菱形 ∠AEC=60°，.△EAC是等边三角形， ..AE=AC=8,..AF+CF+CEAE=4AE=4X8=32, ,∴.四边形AFCE的周长是32. 9.(1)证明：在菱形ABCD中，AC⊥BD,ADBC, ∴.ADCE.BD⊥DE,∴.AC∥DE. ∴.四边形ACED是平行四边形 ∠ABC=60°，BD是菱形ABCD的对角线， .∠CBD=30°，∠BDC=30°， .∴.∠DCE=609 又BD⊥DE, ∴∠CDE=60°，则△CDE是等边三角形. .CE=DE,∴.平行四边形ACED是菱形. (2)解：由(1)知四边形ACED是菱形， ∴.AC=DE=3. BD=4,BD⊥DE,.由勾股定理，得BE=5. 又，在菱形ABCD中，BC=CD, ∴.△DCE的周长为DC+CE+DE=BC+CE+DE= BE+DE=5+3=8. 10.证明：(1)如图1，连接AC. 在菱形ABCD中，∠B=60°， .AB=BC=CD,∠BCD=180°-∠B=120°， ∴.△ABC是等边三角形. .E是BC的中点，.AE⊥BC. :∠AEF=60°，∠FEC=90°-∠AEF=30°， ∴.∠CFE=180°-∠FEC-∠ECF=180°-30° 120°=30°， ∴.∠FEC=∠CFE,∴.EC=CF,∴.BE=DF. D 图1 图2 (2)如图2，连接AC 由(1)知，△ABC是等边三角形，∠BCD=120°， .AB=AC,∠ACB=60°，∠B=∠ACF=60° .AD//BC. .∴.∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD, ∠AFC=∠D+∠FAD=6O°+∠FAD, .∠AEB=∠AFC. I∠AEB=∠AFC, 在△ABE和△ACF中，∠B=∠ACF, AB=AC, ∴.△ABE≌△ACF(AAS),∴.AE=AF ,∠EAF=60°，.△AEF是等边三角形. 2矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 1.D解析：如图，四边形ABCD是矩形， .ABCD,∠ABC=90°， ∠ABF=180°-90°-27=63° AE∥BF,∴∠EAB=∠ABF=63 :AB/CD,∴.∠AED=∠EAB=63 279 2.C3.矩形4.C5.C B 6.5√3解析：，四边形ABCD是矩形， .∴.OA=OB=OC,∠ABC=90° ,∠AOD=120°， ,∴.∠AOB=180°-∠AOD=180°-120°=60°， ∴.△AOB是等边三角形， ∴∠BAO=60°， ∴.∠ACB=180°-∠ABC-∠BAO=180°-90°-60°=30°. .AB=5,.∴.AC=2AB=2×5=10. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=5,AC=10, 根据勾股定理，得BC=√AC2-AB2=√102-5=53. 7.C