6.1菱形的性质与判定 同步练习 2025-2026学年 鲁教版 （五四制）（2012）数学八年级下册

第六章 特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 夯基础 1.如图,菱形 ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，则下列结论错误的是 ( ) A. AB=CD,BC=AD B. AB∥CD,AD∥BC C.∠BAC=∠DAC,∠ABD=∠CBD D. OA=OB=OC=OD 2.如图,四边形ABCD是菱形，直线 l 是菱形ABCD 的一条对称轴,点 E,F,G 分别是边AB,CD,AD 的中点，则点 E 关于直线l 的对称点是 () A.点C B.点 D C.点 F D.点G 3.如图,在菱形 ABCD 中,∠BAD =140°,AE⊥CD 于点E,AE 与对角线BD 交于点F,则∠DFE 的度数为 ( ) A.70° B.40° C.75° D.30° 4.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在x轴上，边BC 在 y 轴上,若点 A 的坐标为(4,5),则菱形 ABCD 的对角线交点的坐标为 ( ) A.(2,1) B.(2, C. D.(2, 5.如图,菱形 ABCD 的周长为52,过点 C 作CE⊥AC,交 AB 的延长线于点 E,若CE=10,则AC 的长为( ) A.22 B.24 C.26 D.28 6.如图,在菱形 ABCD 中,∠ABC=135°,DH⊥AB 于点 H,交对角线 AC 于点E,过点 E 作EF⊥AD 于点 F,若△DEF 的周长为 2,则菱形 ABCD 的边长为 . 7.如图,在菱形 ABCD中,AB =3,AF =2DF,∠ABC = 120°,∠EFG= 15°,FG⊥ BC,则 BE 的长为 8.如图，在菱形ABCD 中,AB=2,∠ABC=120°,点 P,E,F 分别是线段AC,AB,BC 上的任意一点,连接 PE,PF,则 PE+PF 的最小值是 9. 菱形 ABCD 中,AB=4,∠B=60°,E,F 分别是 AB,AD 上的动点,且BE=AF,连接EF,交 AC 于G,则下列结论:①△BEC≌△AFC ②△ECF 为等边三角形 ③CE 的最小值为2.其中正确的结论是 . 10.如图所示，在菱形ABCD 中,P,Q 是对角线 BD 上的两点,连接CP,CQ,且 BP=DQ. (1)求证:∠BCP=∠DCQ; (2)若 PQ=CQ,∠DCQ=2∠CDQ,求∠A 的度数. 11.如图，四边形ABCD 是菱形,延长AB 到点 F,使 BF=AB,连接DF 交CB 于点E. (1)请你用无刻度的直尺和圆规把图形补充完整(保留作图痕迹)，并证明 E 是 BC的中点； (2)连接DB,若 DF⊥BC,AD=4,求 BD的长. 练能力 12.造桥选址[2024·温江期末]如图，四边形ABCD 为菱形,AB=2,∠ABC=60°,E,F 为 BD 上的两个动点,且 BE+DF=EF,点 M 是 AD 的中点,连接CE,MF,则CE+MF 的最小值为 . 13.如图,在菱形ABCD中,AC=2,BD=4,对角线 AC 与 BD 交于点O,延长 AC 到点 E,使得CE=AC,连接DE,取 DE 的中点M,OB 的中点N,连接MN,则 MN 的长为 . 14.如图所示，在菱形ABCD 中,60°<∠ABC<90°,点 E 在边BC 上(不与点 B,点 C 重合),线段 EC 的中垂线交对角线 BD 于点 F，连接AE，AF,EF,CF. (1)求证:AF=EF; (2)若∠ABC=2∠AEF,AB=AE,AB∥FE,求证:BF=CF+CE. 第2课时 菱形的判定 夯基础 1.四边形 ABCD为平行四边形，延长 BC 到 E, 使CE = BC, 连 接EA，ED，AC，下列条件中不能使四边形ADEC 成为菱形的是 ( ) A. AE⊥DC B. AE 平分∠DAC C. AB=AE D.∠BAE=90° 2.用四张全等的含30°角的直角三角形纸片拼成一个图案，下列拼成的图案中，不含菱形的是 ( ) 3.如图,在△ABC 中,AD是角平分线,DE∥AC 交AB 于点E,DF∥AB 交AC 于点 F,若AE=3,那么四边形AEDF 周长为 ( ) A.9 B.12 C.15 D.18 4.如图，将四根长度相等的细木条首尾相连.用钉子钉成四边形ABCD,若 AB=2,∠A=120°.则 B,D 两点间的距离为 . 5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,点 E 为CD 的中点，射线 BE 交AD 的延长线于点F,连接CF.若 AD=1,CF=2,则 BF 为 6.以点A 为圆心,5 为半径画弧，再以点 B 为圆心，相同长度为半径画弧，交前弧于M，N 两点，已知AB=6，则以A，B，M，N四点为顶点的四边形的面积是 7.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,D 为斜边AB上一点,以 CD,CB 为边作□CDEB,当AD= ,□CDEB 为菱形. 8.动点问题 如图，平行四边形 ABCD 中， 点M,N 分别以A,C 为起点,以1 cm/秒的速度沿 AD,CB 边运动,设点 M,N 运动的时间为 t 秒(0≤t≤6),连接 AN,CM,当t= 时,四边形 AMCN 为菱形. 9.如图所示，在四边形 ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=6,CD=8,E,F 分别是边 AB,CD的中点,DH⊥BC 于点H,连接EH,EC,EF,现有下列结论: ①∠CDH=30°②EF=4 ③四边形 EFCH 是菱形 ④S△EFC=3S△BEH 你认为结论正确的有 .(填序号) 10.如图，平行四边形 ABCD 的两条对角线AC 与 BD 相交于点O,E,F 是线段BD上的两点,连接 AE,EC,CF,FA,已知∠AEB=∠CFD. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)若AB=BC,求证:四边形AECF 为菱形. 11.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=4,BC=3,D,E,F 分别为AC,BC,AB 上的点,四边形 ADEF为菱形. (1)请尺规作图画出 D，E，F点(不写作法，保留作图痕迹)； (2)求菱形 ADEF 的边长. 练能力 12.在平面直角坐标系中，点A，B，C，D的坐标分别为(-3,0),(x,y),(0,4),(-6,z),若以点A，B，C，D 为顶点的四边形是菱形，则x的值为 . 13.半角模型如图，△ABC 是边长为 1 的等边三角形，D，E为线段AC 上两动点，且∠DBE=30°,过点 D,E 分别作AB,BC的平行线相交于点 F，分别交 BC，AB 于点 H，G.现有以下结论： ②当点 D 与点 C 重合时, ④当AE=CD 时,四边形 BHFG 为菱形.则其中正确的结论的序号是 . 14. 如图,在 Rt△ABC 中,∠B =90°,∠C=30°,AB=5,点 D 从点 C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长度的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点 D，E运动的时间是t 秒(t>0).过点 D 作 DF⊥BC 于点F,连接DE,EF. (1)AE= ,DF= (用含t的式子表示)； (2)四边形 AEFD 能够成为菱形吗?如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由； (3)当t= 秒时,△DEF 为直角三角形. 第3课时 菱形的性质和判定的应用 夯基础 1.如图，已知平行四边形ABCD，要求利用所学知识在平行四边形ABCD 内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下： 甲:连接 AC,作AC 的中垂线交AD,BC 于 E,F，则四 边 形AFCE 是菱形. 乙:分别作∠A 与∠B 的平分线 AE,BF,分别交BC 于点 E,交 AD 于点F,则四边形 ABEF 是菱形. 下列判断正确的是 ( ) A.甲、乙均正确 B.甲错误，乙正确 C.甲正确，乙错误 D.甲，乙均错误 2.如图,在▱ABCD 中,E,F 分别是AB,CD 的中点,连接 EF.如果只添加一个条件即可证明四边形AEFD是菱形，那么这个条件可以是 ( ) A. AB⊥AD B.∠BAD=60° C. AD=EF D. CD=2AD 3.如图，两张宽度均为3c m的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为 60°，则重合部分构成的四边形ABCD 的周长为 ( ) A.12 cm B.6 cm 4.如 图，在菱 形ABCD 中,过点 C作CE⊥AB 于点E,连 接 BD. 若BD = 24, AD =13,则CE 的长为( ) A. B. C.10 D.12 5.小美同学按如下步骤作四边形 ABCD:①画∠MAN;②以点 A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM,AN 于点B,D;③分别以点 B,D 为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点 C；④连接 BC,CD, BD. 若∠A = 44°,则∠CBD 的大小是 ( ) A.64° B.66° C.68° D.70° 6.如图,过▱ABCD 的顶点 B 作边 AD 和CD 的高，垂足分别为M,N,连接AC,BD,MN,若 BM=BN,则下列说法错误的是 ( ) A.∠MBN=∠BAD B. MN∥AC C.△ABD 是等边三角形 D.四边形 ABCD 为菱形 7.已知菱形的周长为8 ，对角线之和为8，则菱形的面积为 . 8.如图，两个等宽的矩形叠合得到四边形 ABCD，若四边形 ABCD 的面积为8,连接AC,BD,设AC=x,BD=y.则y与x 之间的函数关系是 . 9.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于点 O, DH ⊥BC 于点 H.若AC=8,BD=6,则DH 的长度为 . 10.如图,在菱形ABCD中,对角线 AC 与 BD 相交于点O,OE⊥AB,垂足为 E,若 AC = 8,BD =6,则OE= . 11.如图,∠ACB =90°,∠BAC=30°,△ABD 和△ACE 都是等边三角形,F 为 AB 中点,DE 交 AB 于G点，下列结论中，正确的结论是 . ①EF⊥AC ②△DBF≌△EFA ③四边形 ADFE 是菱形 12.如图1所示，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形,∠A=100°,∠ACB=60°,将△DBC 沿着 BC 的方向以每秒 2cm 的速度运动得到△DFE(如图2),连接AF,CD. (1)求证：四边形 AFDC 是平行四边形； (2)若 AC=4 cm,BC=10 cm,设运动时间为 t 秒,当 t 为何值时,□AFDC 是菱形?请说明你的理由. 13.如图，在平行四边形ABCD 中,AE 平分∠BAD,交 BC 于点E,BF 平分∠ABC,交 AD 于点 F,AE 与BF 交于点 P,连接EF,PD. (1)求证:四边形 ABEF 是菱形; (2)若 AB=8,AD=12,∠ABC=60°,求线段 DP 的长. 练能力 14.如图,在菱形ABCD 中,∠BAD=60°,AC与BD 交于点O，E 为CD 延长线上的点,且CD=DE,连接BE 分别交AC,AD于点F，G，连接OG，则下列结论中一定成立的是 .(把所有正确结论的序号都填在横线上) ②与△EGD 全等的三角形共有5个 ③S四边形ODGE=S四边形ABOG ④由点 A，B，D，E 构成的四边形是菱形. 15.如图，在□ABCD中,AD=1,AB=x(x>1),作平行四边形四个内角中某一个内角的平分线. 【第一次操作】 作∠DAB 的平分线交 DC 于点 M,过点M 作MN∥AD,交 AB 于点 N,则四边形ADMN 为菱形,且另一个四边形 MNBC为平行四边形. 【第二次操作】 作【第一次操作】所得的□MNBC 某一个内角的平分线，再次画得一个菱形和一个平行四边形. 【第三次操作】 作【第二次操作】所得的平行四边形某一个内角的平分线，画得一个菱形和一个平行四边形. ……重复上述操作. (1)若四边形 MNBC 是菱形,则 x 的最小正整数值为 ； (2)若对▱ABCD 进行第三次操作后，发现共得到四个菱形，则x 有 个不同的取值. 16.如图,在边长为10的菱形ABCD 中,对角线BD=16,对角线AC,BD 相交于点G,点 O 是直线 BD 上的动点,OE⊥AB 于E,OF⊥AD 于 F. (1)求对角线AC 的长及菱形ABCD 的面积； (2)如图1,当点 O 在对角线 BD 上运动时，OE+OF 的值是否发生变化?请说明理由； (3)如图2，当点 O 在对角线 BD 的延长线上时，OE+OF 的值是否发生变化?若不变，请说明理由；若变化，请探究 OE，OF之间的数量关系. 第1课时菱形的性质 1. D 2. D 3. A 4. A 5. B 6.2 解析：首先作 FH⊥AB，垂足为 H.由四边形ABCD 是菱形,可得AD=AB=3,AD∥BC,求得AF=2,AH=1,FH= 证得△FHE是等腰直角三角形，继而求得答案. 8. 9.①② 10.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是菱形, ∴BC=CD,∠CBD=∠CDB, 在△BCP 和△DCQ 中, ∴△BCP≌△DCQ(SAS), ∴∠BCP=∠DCQ; (2)∵△BCP≌△DCQ, ∴CP=CQ, ∵PQ=CQ, ∴△PCQ 是等边三角形, ∴∠PQC=60°, ∵∠DCQ=2∠CDQ,∠PQC=∠DCQ+∠CDQ, ∴∠DCQ=∠BCP=40°, ∴∠BCD=140°, ∵四边形ABCD 是菱形, ∴∠A=∠BCD=140°. 11.解：(1)以点 B 为圆心，以AB为半径画弧交AB 的延长线于点 F,连接 DF 交 BC 于点E，如图所示： 证明∵四边形ABCD 是菱形， ∵AD=AB=BC=CD,AB∥CD, ∴∠CDE=∠F,∠C=∠FBE, ∵BF=AB, ∴CD=BF, 在△DCE 和△FBE中, ∴△DCE≌△FBE(ASA), ∴CE=BE, ∴点 E 是BC 的中点; (2)∵△DCE≌△FBE, ∴DE=EF, ∵DF⊥BC, ∴BC 是线段DF 的垂直平分线， ∴BD=BF, 在菱形ABCD中,AB=AD=4, ∵BF=AB=4, ∴BD=BF=4. 12. 13. 解析:在菱形ABCD 中,AC=2,BD=4,AC⊥BD, ∵N 为OB 的中点, 延长DB 到点F,使BF=OD=2,连接EF,如图： 则FN=DN=3, ∵M是DE的中点, ∴DM=EM, ∴MN 是△DEF 的中位线, ∵CE=AC=2, ∴OE=CE+OC=3, 在Rt△OEF 中,OF=OB+BF=4, 14.证明:(1)∵四边形 ABCD 是菱形, ∴∠ABD=∠CBD,AB=CB, ∵BF=BF, ∴△ABF≌△CBF(SAS), ∴AF=CF, 又∵线段 EC 的中垂线交BD 于点F， ∴EF=CF, ∴AF=FE; (2)∵AB=AE, ∴∠ABE=∠AEB, ∵AB∥FE, ∴∠FEC=∠ABE, ∴∠FEC=∠ABE=∠AEB=∠ECF, ∵∠AEB+∠CEF+∠AEF=180°,∠ABC=2∠AEF, ∴∠AEF = 36°= ∠CBF,∠FEC =∠BCF=72°, ∴∠BFC=72°,∠BFE=36°, ∵∠BFC=∠BCF=72°, ∴BF=BC, ∵∠BFE=∠FBC=36°, ∴BE=EF=CF, ∴BF=BC=BE+CE=CF+CE. 第2 课时菱形的判定 1. C 2. A 3. B 4.2 5.2 6.24 7. 8. 解析：由平行四边形的性质得 AB= 再由等腰直角三角形的性质求出AE 的长度，然后证四边形AMCN 为平行四边形，则当 AN =AM 时，四边形AMCN 为菱形.进而由AN=AM 列出方程 解方程即可. 9.①②③ 10.证明:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AO=CO,BO=DO,AB=CD,AB∥CD,∴∠ABE=∠CDF. 在△ABE 和△CDF 中, ∴△ABE≌△CDF(AAS); (2)∵△ABE≌△CDF(AAS), ∴BE=DF, ∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF, ∵AO=CO ∴四边形 AECF 是平行四边形. ∵AB=BC, ∴平行四边形ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD. ∴平行四边形AECF 是菱形. 11.解:(1)作∠BAC 平分线交BC 于点E;作AE 垂直平分线交AC 于点 D,交 AB 于点F，四边形ADEF 即为所求； (2)如图,过E作EH⊥AB 于点 H,由(1)可得EH=CE, 在 Rt△ACB 中,∠C=90°,AC=4,BC=3,根据勾股定理，得 设菱形ADEF 边长为x,则CD=4-x,在Rt△DCE 中,由勾股定理,得 解得 ∴菱形 ADEF 的边长为2 12.4或 解析：若AC为边，CD 是对角线，∵ADBC 为菱形, ∴AC=AD且A(-3,0),C(0,4),D(-6,z), -4(舍去), 若AC 为对角线，根据题意可求 AC 解析式 ∵BD⊥AC, ∴设 BD 解析式 且过AC中点 ∴BD 解析式 且过 13.①②④解析：①利用三角形的面积公式计算即可； ②依题意画出图形，利用等边三角形和平行线的性质求出FH 即可； ③(半角模型)将△CBD 绕点B 逆时针旋转60°,得到△ABN,过点 N 作 NP⊥CA,交CA 的延长线于点 P,由“SAS”可证△DBE≌△NBE,可得 DE=NE,在 Rt△PNE中，利用勾股定理可得AE，CD，DE 的关系，可判断③； ④先证△AGE,△DCH 都是等边三角形,可得AG=AE=CH=CD,利用菱形的判定定理判定即可. 14.解:(1)由题意,得CD=2t,AE=t. ∵DF⊥BC,∠C=30°, 故答案为:t₁t₁ (2)四边形 AEFD 能够成为菱形,t 值为 秒.理由： 由(1)知:AE=DF. ∵∠B=90°,∴AB⊥BC, ∵DF⊥BC,∴AE∥DF, ∴四边形AEFD 为平行四边形， ∴四边形AEFD 如果能够成为菱形，则需AE=AD. ∵∠B=90°,∠C=30°,AB=5, ∴AC=2AB=10, ∴AD=AC-CD=10-2t,∴t=10-2t, ∴四边形 AEFD 能够成为菱形，t 值为 秒；(3)①∵DF⊥BC,∴∠DFB=90°, ∵∠DFE<∠DFB,∴∠DFE<90°. ∴∠DFE 不可能为直角; ②当∠EDF=90°时, ∵DE⊥DF,DF⊥BC,∴DE∥BC, ∴∠ADE=∠C=30°, ∴AD=2AE,即 ③当∠DEF=90°时,如图, 由(1)知：四边形 AEFD 为平行四边形， ∴AD∥EF, ∵DE⊥EF,∴DE⊥AC, ∴∠AED+∠A=90°, ∵∠A+∠C=90°,∴∠AED=∠C=30°, 综上所述，当 秒或4秒时,△DEF 为直角三角形. 故答案为： 或4. 第 3课时 菱形的性质和判定的应用 1. A 2. D 3. C 4. B解析：首先，利用菱形对角线互相垂直平分的性质和已知边长计算出对角线 AC 的长度；然后，利用菱形面积的两种计算方法，通过已知的面积和边长求解CE 的长度. 5. C 6. C 7.4 8. y= 9. 10.2.4 11.①②④解析:连接CF,∵∠ACB=90°,F为AB 中点,∠BAC=30°, ∴CF=AB=AF, ∴点 F 在AC的垂直平分线上， ∵△ACE 是等边三角形, ∴AE=CE, ∴点 E在AC的垂直平分线上， ∴EF⊥AC,①正确; ∵△ABD 是等边三角形,F 是AB 中点, ∴DF⊥AB,∴AD>DF, ∴四边形ADFE 不可能是菱形；③不正确； ∵△ABD 是等边三角形, ∴AB=AD=BD,∠DAB=60°, ∵∠ACB=90°,∠BAC=30°, ∴∠ABC=60°, ∴∠DAB=∠ABC=60°, ∴AD∥BC, ∵AC⊥EF,∠ACB=90°, ∴EF∥BC,∴AD∥EF, ∵△ACE 是等边三角形,EF⊥AC, ∴∠AEC=∠CAE=60°,∠AEF=30°, ∴EF=2AF=AB,AE= AF, ∴AD=EF, ∴四边形ADFE 是平行四边形， ④正确； ∵四边形ADFE 是平行四边形， ∴AE=DF,AD=FE, ∵AD=BD,∴BD=FE,在△DBF 与△EFA 中, ∴△DBF≌△EFA(SSS),②正确. 12.解:(1)证明:∵△ABC≌△DEF, ∴∠ABC=∠DEF,AB=DE. 根据平移的性质得到：BF=EC. 在△ABF 与△DEC 中, ∴△ABF≌△DEC(SAS), ∴AF=CD,∠AFB=∠DCE, ∴∠AFC=∠DCF,∴AF∥DC, ∴四边形AFDC 是平行四边形； (2)当t=3秒时,四边形AFDC 是菱形,理由如下： ∵t=3,∴CF=10-3×2=4(cm), ∵AC=4 cm,∴CF=AC, ∵∠ACB=60°,∴△ACF 是等边三角形, ∴AF=AC, ∵四边形AFDC 是平行四边形， ∴四边形AFDC 是菱形. 13.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC.∴∠DAE=∠AEB. ∵AE平分∠BAD, ∴∠DAE=∠BAE, ∴∠BAE=∠AEB, ∴AB=BE. 同理:AB=AF,∴AF=BE. ∴四边形 ABEF 是平行四边形. ∵AB=BE, ∴四边形 ABEF 是菱形; (2)∵四边形ABEF 是菱形, ∴AE⊥BF, ∵∠ABC=60°,AB=BE, ∴∠ABF=30°,∠BAP =∠FAP =60°,△ABE为等边三角形， ∴AB=AE=8, ∵AB=8, ∴AP=4, 过点 P 作PM⊥AD 于M,如图所示: ∴PM=2 ,AM=2, ∵AD=12,∴DM=10, 4 14.①③④ 15.(1)2 (2)4 解析：(1)∵第一次操作后四边形 ADMN为菱形，四边形MNBC 为平行四边形， ∴AN=MN=AD,BN=MC, ∵四边形 MNBC 是菱形,AD=1, ∴MN=BN, ∴AN=MN=BN=AD=1, ∴AB=BN+AN=2,则x的最小正整数值为2， 故答案为：2； (2)根据题意：对▱ABCD 进行第三次操作后，得到四个菱形，共有四种可能结果，如图所示： 则x=1+1+1+1=4; ② 则 ③ 则 ④ 则 综上，x有4个不同的取值. 16.解:(1)在菱形 ABCD 中,AC⊥BD,BG= 由勾股定理，得 ∴AC=2AG=2×6=12,∴菱形ABCD 的面积 (2)如图1,连接AO,则 S△ADO, 即 解得OE+OF=9.6是定值,不变; (3)OE+OF 的值发生变化.如图2,连接AO,则 即 解得OE-OF=9.6,是定值,不变, ∴OE+OF 的值变化,OE,OF 之间的数量关系为:OE-OF=9.6. 学科网（北京）股份有限公司 $