6.1 第2课时菱形的判定-【练测考】2025-2026学年八年级下册数学（鲁教版五四制）

第2课时 (教材P5 ~基础夯实 知识点一利用对角线的位置关系判定菱形 1.如图，□ABCD的对角线AC和BD相交于 点O,下列说法正确的是 A.若OB=OD,则□ABCD是菱形 B.若AC=BD,则□ABCD是菱形 C.若OA=OD,则□ABCD是菱形 D.若AC⊥BD,则□ABCD是菱形 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点 E,F分别在线段AD及其延长线上，且 DE=DF.下列条件使四边形BECF为菱形 的是 () A.BE⊥CE B.BF∥CE C.BE=CF D.AB-AC 知识点二利用边的关系判定菱形 3.[教材P29复习题T16变式]如图，在△ABC 中，AB=AC,将△ABC沿边BC翻折，得到 的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC, 则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据 是 A.一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.四边相等的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D 第3题图 第4题图 4.如图，添加下列一个条件，能使口ABCD成 为菱形的是 A.AB=CD B.AC-BD C.∠BAD=90° D.AB=BC 数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支，它 第六章特殊平行四边形 菱形的判定 -P7内容) 5.(深圳中考)如图，在平行四边形ABCD中， AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a 个单位得到线段EF,若四边形ECDF为菱 形，则a的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 B D 第5题图 第6题图 6.如图，在△ABC中，点D,E,F分别是边BC, CA,AB的中点，要使四边形AFDE为菱形，则 △ABC应满足的条件是 .(添加 一个条件即可) 7.(2024·聊城东昌府区期中)如图，△ABC 中，D,E分别是AC,AB的中点，DE= 2CE,过点B作BF∥CE,交DE的延长线 于点F.求证：四边形BCEF是菱形. 易错点悟臆造菱形的判定方法导致出错 8.在数学活动课上，老师和同学判断教室中的 瓷砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种 方案，其中不正确的是 ( A.测量两条对角线是否分别平分两组内角 B.测量四个内角是否相等 C.测量两条对角线是否互相垂直且平分 D.测量四条边是否相等 愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了。 3 一冯纽曼 练测考八年级数学下册LJ ~能力提升 9.(2024·通辽)如图，□ABCD的对角线AC, BD交于点O,以下条件不能证明□ABCD 是菱形的是 ( A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD C.OA2+OD2=AD2 D.AD2+OA2-OD2 D 3 第9题图 第10题图 10.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC, BD交于点O,BD=2AD,E,F,G分别是 OC,OD,AB的中点.下列结论正确的是 ( ①EG=EF;②△EFG≌△GBE;③FB平 分∠EFG;④EA平分∠GEF;⑤四边形 BEFG是菱形. A.③⑤ B.①②④ C.①②③④ D.①②③④⑤ 11.(2024·青岛市南区校级模拟)如图，四边 形ABCD是平行四边形，延长DA,BC,使 得AE=CF,连接BE,DF (1)求证：△ABE≌△CDF; (2)连接BD,若∠1=32°，∠ADB=22°，请 直接写出当∠ABE= °时，四边形 BFDE是菱形 4数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。 12.如图，在平行四边形ABCD中，对角线 AC,BD相交于点O,M是BD上任意一 点，连接AM并延长至点N,使AM= MN,交BC于点H,连接CN,BN. (1)求证：OM/CN; (2)连接CM,若AD⊥AN,且AC=AB, 求证：四边形BNCM是菱形. D ~素养培优 13.如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O, AO=CO=4,BO=DO=3,点P为线段AC上 的一个动点.过点P分别作PM⊥AD于点 M,作PN⊥DC于点N.连接PB,在点P 运动过程中，PM+PN+PB的最小值为 努瓦列斯第六章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 1.B解析：由题意，可得OA=OB=AC=BC,则四边形 OACB是菱形. 2.C3.B4.C5.A6.A 7.57°解析：四边形ABCD是菱形， ∴.AB=BC, .∠BAC=∠BCA ∠ABC=66°， ÷∠RAC-a80-6)=5 8.证明：，四边形ABCD是菱形， ..AD=CD. .AE⊥CD,CF⊥AD, ,∴.∠AED=∠CFD=90° ∠D=∠D ,∴.△AED≌△CFD(AAS), ..DE=DF, ..AD-DF=CD-DE, ..AF=CE 9.B10.3 11.16解析：，四边形ABCD为菱形， .'.AB=BC. :∠B=60, .△ABC是等边三角形， ∴.AC=AB=4,∴.正方形ACEF的周长为4×4=16. 12.80 13.证明：.四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°， ∴.ADBC,CD=CB,∴∠BCD=180°-∠ADC=60°， .△BCD是等边三角形，∴.∠CBD=60°， ∴.∠FBC=180°-∠CBD=120°，∴.∠EDC=∠FBC. 在△EDC和△FBC中， CD=CB,∠EDC=∠FBC,DE=BF, ∴.△EDC≌△FBC(SAS),.CE=CF,∠DCE=∠BCF. :∠ECF=∠BCE十∠BCF=∠BCE+∠DCE= ∠BCD=60°， .△EFC是等边三角形 14.(1)证明：如图1，连接AC,延长CE交 AD于H. 四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ,△ABC,△ACD都是等边三角形， 图1 ∠ABD=∠CBD=30°， ∴.AB=AC,∠BAC=60°，∠CAH=60°. ,△APE是等边三角形，∴AP=AE,∠PAE=60. ∠BAC=∠PAE,∠BAP=∠CAE, ∴.△BAP2△CAE(SAS),∴.BP=CE. .BD=BP+PD,.'.BD=CE+PD. (2)解：如图2，BD=CE+PD. 连接AC,设AC与BD交于点O, ,四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴.△ABC,△ACD为等边三角形. 图2 在△ABP和△ACE中， AB=AC,AP=AE, 又.'∠BAP=∠BAC+∠CAP=60°+∠CAP ∠CAE=∠EAP+∠CAP=60°+∠CAP, ∴，∠BAP=∠CAE, ∴.△ABP≌△ACE(SAS),∴.BP=CE BD=BP+PD,.'BD=CE+PD. 如图3，BD=CE-PD. 连接AC,设AC与BD交于点O, ,四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴△ABC,△ACD为等边三角形， ∠BAD=120°. 在△ABP和△ACE中， AB=AC,AP=AE. 又I∠BAP=∠BAD+∠DAP= 120°+∠DAP, 图3 ∠CAE=∠CAD+∠DAP+∠PAE= 120°+∠DAP, ∴.∠BAP=∠CAE,∴.△ABP≌△ACE(SAS), ..BP=CE. .'BD=BP-PD..'.BD=CE-PD. 第2课时菱形的判定 1.D 2.D解析：AB=AC能使四边形BECF为菱形 理由：，AB=AC,点D是BC的中点， ∴EF⊥BC,BD=DC. ,DE=DF,四边形BECF是平行四边形 EF⊥BC,.四边形BECF是菱形.故选项D正确. 选项A,B,C的条件都不能推出四边形BECF是菱形. 故选D, 3.B4.D 5.B解析：四边形ABCD是平行四边形， .∴.AB∥CD,CE∥FD,CD=AB=4. ·将线段AB水平向右平移得到线段EF ∴.AB//EF//CD,.四边形ECDF为平行四边形. 当CD=CE=4时，□ECDF为菱形， 此时a=BE=BC-CE=6-4=2. 故选B. 6.AB=AC(答案不唯一) 7.证明：.D,E分别是AC,AB的中点， ∴DE/BC,即EF/BC,DE=2BC. BFCE,.四边形BCEF是平行四边形 :DE=CE,BC=CE四边形BCEF是菱形， 8.B解析：A.测量两条对角线是否分别平分两组内角，能判 断是否为菱形，故选项A不符合题意； B.测量四个内角是否相等，不能判断是否为菱形，故选项B 符合题意； C.测量两条对角线是否互相垂直且平分，能判断是否为菱 形，故选项C不符合题意； D.测量四条边是否相等，能判断是否为菱形，故选项D不 符合题意 故选B. 9.D10.B 11.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,∠BAD=∠BCD,∴.∠1=∠DCF 在△ABE和△CDF中， AE=CF,∠1=∠DCF,AB=CD, ∴.△ABE≌△CDF(SAS). (2)解：当∠ABE=12时，四边形BFDE是菱形. 理由如下： ,△ABE≌△CDF,.BE=DF,AE=CF,BF=DE, ∴.四边形BFDE是平行四边形 ,∠1=32°，∠ADB=22°， ,∴.∠ABD=∠1-∠ADB=10 :∠ABE=12°，∴.∠DBE=∠ABD+∠ABE=22, ∴.∠DBE=∠ADB=22°，.BE=DE, ∴.平行四边形BFDE是菱形 答案：12 12.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形，∴.OA=OC ,AM=MN,∴.OM是△ACN的中位线，∴.OM/CN. (2).四边形ABCD是平行四边形， ,∴.AD∥BC.,'AD⊥AN,.BC⊥AN AB=AC,∴.BH=CH. 由(1)可知OMCN,.∴.∠MBH=∠VCH. ∠MBH=∠NCH, 在△MBH和△NCH中，BH=CH, ∠BHM=∠CHN, ∴.△MBH≌△NCH(ASA),.MH=NH, ∴.四边形BNCM是平行四边形. 又，BC⊥MN,∴.平行四边形BVCM是菱形. 13.7.8解析：AO=CO=4,B0=DO=3, ∴AC=8,四边形ABCD是平行四边形. AC⊥BD于点O, ∴.平行四边形ABCD是菱形， AD2=A02+D02=4+32,即AD=5, ..CD=AD=5. 连接PD,如图所示」 :'S△ADp+S△cDP=S△Ac, AD·PM+号DC· PN-TAC OD. 即2×5×PM+号X5xPN=2 1 ×8×3, ∴.5×(PM+PN)=8X3, ∴.PM+PN=4.8, .当PB最短时，PM十PN十PB有最小值. 由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短， ∴.当点P与点O重合时，PM十PN十PB有最小值，最小 值为4.8十3=7.8. 第3课时菱形的性质与判定的综合运用 1.D2.B3.B4.C 5.36cm 6.解：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,∴.∠DAC=∠BCA. 又.AC平分∠DAB,.∠DAC=∠BAC, ∴∠BCA=∠BAC,.AB=BC .平行四边形ABCD是菱形， ACLBD.ZAOB-90,AO-AC-4. BO-BD-3, 在Rt△AOB中，由勾股定理，得 AB=√AO+B02=√42+32=5， ∴.AB=BC=5, .△ABC的周长为AB+BC+AC=5+5+8=18. 7.C8.C 9.D解析：在菱形ABCD中，，BC∥AD, ,.∠BAD+∠ABC=180°，且∠BAD=120°， ∴.∠ABC=60°. 文.CE⊥AD,且BC∥AD, ,.CE⊥BC,可得∠BCE=90° 又，'CE=BC, .△BCE为等腰直角三角形，∠CBE=45, ∴.∠ABE=∠ABC-∠CBE=60°-45°=15 故选D. 10.2√5 ∠EAO=∠DCO. 11.(1)证明：在△AOE和△COD中， AO-CO. ∠AOE=∠COD. .△AOE2△COD(ASA),∴.OD=OE. 又AO=CO,∴.四边形AECD是平行四边形. (2)解：：AB=BC,AO=CO .BO为AC的垂直平分线，BOLAC, .平行四边形AECD是菱形. AC-.AC 在Rt△COD中，CD=5, ∴.0D=√CD2-C02=√52-4=3， .DE=2OD=6, 1 1 六S菱形Am=2DE·AC=2×6×8=24, .四边形AECD的面积为24. 12.证明：，四边形ABCD是平行四边形， .ADBC,∠EAO=∠FCO. .AC的中点是O,∴.OA=OC. |∠AOE=∠COF, 在△EOA和△FOC中，AO=CO, ∠EAO=∠FCO, ∴.△EOA≌△FOC(ASA),.OE=OF. 又AO=CO, .四边形AFCE是平行四边形. ,EF⊥AC,.四边形AFCE是菱形 13.证明：(1)如图1，过点B作 A BM∥AC交DC的延长线于点 M,则∠ACD=∠M. .AB//CD, 图1 .四边形ABMC为平行四边形， .'.AC=BM. 又.AC=BD,.BD=BM,